PROPORȚII MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

O proporție este o egalitate dintre două rapoarte, scrisă $\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d}$ . Mai jos găsești proprietatea fundamentală a proporțiilor și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce este o proporție și proprietatea ei fundamentală

Știi deja ce este un raport: o comparație a două numere prin împărțire. Când două rapoarte sunt egale, împreună formează o proporție.

Definiție. Dacă $\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d}$ , spunem că numerele $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt în proporție. Numerele $a$ și $d$ (primul și ultimul) se numesc extremii proporției, iar $b$ și $c$ (al doilea și al treilea) se numesc mezii proporției.

Proprietatea fundamentală. Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

$\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d} ⟺$ $a \cdot d =$ $b \cdot c$

Această proprietate merge în ambele sensuri: dacă ai patru numere și vrei să știi dacă formează o proporție, calculezi produsul extremilor și produsul mezilor. Dacă sunt egale, numerele formează o proporție. Dacă știi deja că ai o proporție, poți folosi proprietatea ca să afli un termen necunoscut, aflarea unui termen necunoscut fiind subiectul unui articol separat.

De ce funcționează. Gândește-te la o proporție ca la o balanță echilibrată: $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt aceeași valoare, scrisă în două feluri. Când înmulțești ambele fracții cu $b \cdot d$ , obții exact $a \cdot d =$ $b \cdot c$ . E doar o consecință a faptului că cele două rapoarte sunt egale.

Exerciții rezolvate : proporția

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Verifici dacă patru numere sunt în proporțieușor

Verifică dacă numerele 4, 6, 10 și 15 formează, în această ordine, o proporție.

Rezolvare pas cu pas

Scriem produsul extremilor, primul și ultimul termen: $4 \cdot 15 = 60$ .
Scriem produsul mezilor, al doilea și al treilea termen: $6 \cdot 10 = 60$ .
Cele două produse sunt egale, $60 = 60$ , deci numerele formează o proporție.

Răspuns: Da, $\frac{4}{6} =$ $\frac{10}{15}$ este o proporție adevărată.

EXERCIȚIUL 2O rețetă dublată rămâne în proporțieușor

O rețetă folosește 2 căni de făină la 3 căni de apă. Dacă dublezi cantitățile, folosești 4 căni de făină la 6 căni de apă. Arată că numerele 2, 3, 4 și 6 formează o proporție.

Rezolvare pas cu pas

Scriem produsul extremilor: $2 \cdot 6 = 12$ .
Scriem produsul mezilor: $3 \cdot 4 = 12$ .
Produsele sunt egale, deci $\frac{2}{3} =$ $\frac{4}{6}$ este o proporție.

Răspuns: Da, cele patru numere formează o proporție, pentru că rețeta dublată păstrează același raport făină la apă.

EXERCIȚIUL 3Găsești termenul necunoscut cu proprietatea fundamentalămediu

Află valoarea lui $x$ din proporția $\frac{x}{7} =$ $\frac{15}{21}$ , folosind proprietatea fundamentală.

Rezolvare pas cu pas

Aplicăm proprietatea fundamentală: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, $x \cdot 21 =$ $7 \cdot 15$ .
Calculăm partea dreaptă: $7 \cdot 15 = 105$ , deci $21 x = 105$ .
Împărțim ambii membri la 21: $x = 105 : 21 = 5$ .

Răspuns: Valoarea lui $x$ este $5$ .

EXERCIȚIUL 4Câte sticle de suc cumperi cu același prețmediu

La un magazin, 4 sticle de suc costă 28 de lei. Scrie o proporție și calculează cât costă 9 sticle, la același preț pe sticlă.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ prețul pentru 9 sticle și scriem proporția: $\frac{4}{28} =$ $\frac{9}{x}$ , sticle la numărător, lei la numitor, în ambele rapoarte.
Aplicăm proprietatea fundamentală: $4 \cdot x =$ $28 \cdot 9$ .
Calculăm partea dreaptă: $28 \cdot 9 = 252$ , deci $4 x = 252$ .
Împărțim la 4: $x = 252 : 4 = 63$ .

Răspuns: 9 sticle costă $63$ de lei.

EXERCIȚIUL 5Verifici o proporție cu rapoarte nesimplificatemediu

Arată că rapoartele $\frac{15}{25}$ și $\frac{18}{30}$ formează o proporție.

Rezolvare pas cu pas

Scriem produsul extremilor: $15 \cdot 30 = 450$ .
Scriem produsul mezilor: $25 \cdot 18 = 450$ .
Produsele sunt egale, deci $\frac{15}{25} =$ $\frac{18}{30}$ este o proporție adevărată.

Răspuns: Da; ambele rapoarte se simplifică, de altfel, la $\frac{3}{5}$ .

EXERCIȚIUL 6Identifici extremii și mezii scriși cu două punctegreu

Se dă proporția $20 : 5 = 24 : 6$ . Precizează care sunt extremii și care sunt mezii, apoi verifică proprietatea fundamentală.

Rezolvare pas cu pas

Extremii sunt primul și ultimul termen: $20$ și $6$ . Mezii sunt al doilea și al treilea termen: $5$ și $24$ .
Produsul extremilor este $20 \cdot 6 = 120$ .
Produsul mezilor este $5 \cdot 24 = 120$ .
Produsele sunt egale, deci proporția este corectă.

Răspuns: Extremii sunt 20 și 6, mezii sunt 5 și 24, iar proporția este adevărată, pentru că $120 = 120$ .

EXERCIȚIUL 7O rețetă pentru mai multe persoanegreu

O rețetă pentru 6 persoane are nevoie de 900 g de făină. Scrie o proporție și află câtă făină este nevoie pentru 10 persoane, la aceleași cantități pe persoană.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ cantitatea de făină pentru 10 persoane și scriem proporția: $\frac{6}{900} =$ $\frac{10}{x}$ , persoane la numărător, grame la numitor.
Aplicăm proprietatea fundamentală: $6 \cdot x =$ $900 \cdot 10$ .
Calculăm partea dreaptă: $900 \cdot 10 =$ $9 000$ , deci $6 x = 9 000$ .
Împărțim la 6: $x =$ $9 000 : 6 =$ $1 500$ .

Răspuns: Sunt necesare $1 500$ g, adică $1,5$ kg de făină.

EXERCIȚIUL 8Debitul unui robinet, la același ritmgreu

Un robinet umple 15 litri de apă în 3 minute. Scrie o proporție și calculează câți litri umple în 15 minute, la același debit.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ numărul de litri în 15 minute și scriem proporția: $\frac{15}{3} =$ $\frac{x}{15}$ , litri la numărător, minute la numitor.
Aplicăm proprietatea fundamentală: $15 \cdot 15 =$ $3 \cdot x$ .
Calculăm partea stângă: $15 \cdot 15 = 225$ , deci $3 x = 225$ .
Împărțim la 3: $x = 225 : 3 = 75$ .

Răspuns: Robinetul umple $75$ de litri în 15 minute.

Cum recunoști un exercițiu cu proporții

Enunțul dă două rapoarte și te întreabă dacă sunt egale, sau îți cere să scrii o egalitate de tipul $\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d}$ .
Apare cuvântul „proporție” sau formularea „la același preț”, „la același ritm”, „la aceleași cantități”, care arată că raportul rămâne constant.
Poți verifica sau rezolva exercițiul cu o singură regulă: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Greșeli frecvente la proporția

Înmulțești numărător cu numărător, ca la înmulțirea fracțiilor. La proporții nu înmulțești în paralel, ci în cruce: extremul stâng cu extremul drept, mediul stâng cu mediul drept, adică $a \cdot d =$ $b \cdot c$ , nu $a \cdot c =$ $b \cdot d$ .
Confunzi extremii cu mezii. Extremii sunt primul și ultimul termen din proporție, cei „de la capete”. Mezii sunt al doilea și al treilea, cei „din mijloc”. Ordinea contează pentru identificarea lor corectă, deși produsul e simetric.
Nu verifici răspunsul la final. După ce afli un termen necunoscut, înlocuiește-l înapoi în proporție și verifică, prin proprietatea fundamentală, că cele două produse sunt egale.

Exersează : proporția

Fișă de lucru: Proporții, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Rapoarte și proporții, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporțieclasa a VI-a, subiectul următor

Din același capitol

Întrebări frecvente despre proporția

Ce este o proporție?

Este o egalitate dintre două rapoarte, $\frac{a}{b} =$ $\frac{c}{d}$ . Spunem că cele patru numere sunt în proporție, cu extremii $a$ , $d$ și mezii $b$ , $c$ .

Ce este proprietatea fundamentală a proporțiilor?

Este regula prin care produsul extremilor este mereu egal cu produsul mezilor, $a \cdot d =$ $b \cdot c$ . O folosești ca să verifici o proporție sau ca să afli un termen lipsă.

Orice două rapoarte formează o proporție?

Nu. Formează o proporție doar dacă sunt egale, adică produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Dacă produsele sunt diferite, cele patru numere nu sunt în proporție.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Proporții..

Exersează cu fișa de lucru: Proporții — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele reprezintă o proporție?
2. În proporția $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , care este proprietatea fundamentală a proporțiilor?
3. Află termenul necunoscut $x$ din proporția $\frac{3}{x} = \frac{6}{10}$ .
4. Care dintre următoarele este un termen mediu în proporția $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ ?
5. Dacă $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$ , atunci $x$ este egal cu: