MĂRIMI INVERS PROPORȚIONALE, ce înseamnă și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. a) De două ori mai multe caiete costă de două ori mai mult. Ambele mărimi cresc în același raport, deci sunt direct proporționale.
2. b) La viteză dublă, drumul durează de două ori mai puțin. Produsul viteză $\cdot$ timp este chiar distanța, care nu se schimbă. Sunt invers proporționale.
3. c) De două ori mai mulți muncitori termină de două ori mai repede. Sunt invers proporționale.
4. d) Perimetrul este $4\cdot$ latura: dacă latura se dublează, și perimetrul se dublează. Sunt direct proporționale.

Răspuns: Invers proporționale: b) și c)

1. Calculăm produsul fiecărei perechi: $2\cdot 18=36$, $3\cdot 12=36$, $4\cdot 9=36$, $6\cdot 6=36$.
2. Toate produsele sunt egale, deci mărimile sunt invers proporționale.
3. Coeficientul de proporționalitate este valoarea comună a produselor: $k=36$.

Răspuns: Da, sunt invers proporționale; $k=36$

1. Coeficientul este $k=2\cdot 30=60$, deci pentru orice pereche $x\cdot y=60$.
2. Pentru $x=3$: $y=60:3=20$.
3. Pentru $x=5$: $y=60:5=12$.
4. Pentru $y=4$: $x=60:4=15$.

Răspuns: $y=20$, $y=12$, $x=15$

1. Mai mulți muncitori termină în mai puține zile, deci mărimile sunt invers proporționale.
2. Scriem datele: 6 muncitori ... 20 de zile; 8 muncitori ... $x$ zile.
3. Produsul rămâne același: $8\cdot x=$ $6\cdot 20=$ $120$.
4. $x=120:8=15$ zile. Verificare: $15<20$, are sens, pentru că sunt mai mulți muncitori.

Răspuns: 15 zile

1. Pe același drum, viteza și timpul sunt invers proporționale: viteza scade, deci timpul crește.
2. Produsul viteză $\cdot$ timp este distanța: $80\cdot 3=240$ km.
3. Cu viteza de 60 km/h: $60\cdot t=240$, deci $t=240:60=4$ ore.

Răspuns: 4 ore

1. Din definiție: $3\cdot a=$ $5\cdot b=$ $k$, deci $a={\displaystyle \frac{k}{3}}$ și $b={\displaystyle \frac{k}{5}}$.
2. Înlocuim în sumă: ${\displaystyle \frac{k}{3}}+{\displaystyle \frac{k}{5}}=$ $32$, adică ${\displaystyle \frac{5k+3k}{15}}=$ $32$.
3. ${\displaystyle \frac{8k}{15}}=32$, deci $8k=480$ și $k=60$.
4. $a=60:3=20$ și $b=60:5=12$. Verificare: $20+12=32$ și $3\cdot 20=$ $5\cdot 12=$ $60$.

Răspuns: $a=20$, $b=12$

1. Notăm părțile cu $x$, $y$, $z$. Avem $2x=3y=4z=k$ și $x+y+z=390$.
2. Exprimăm părțile: $x={\displaystyle \frac{k}{2}}$, $y={\displaystyle \frac{k}{3}}$, $z={\displaystyle \frac{k}{4}}$.
3. Suma: ${\displaystyle \frac{k}{2}}+$ ${\displaystyle \frac{k}{3}}+$ ${\displaystyle \frac{k}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{6k+4k+3k}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{13k}{12}}=$ $390$.
4. $13k=$ $390\cdot 12=$ $4680$, deci $k=360$.
5. $x=360:2=180$, $y=360:3=120$, $z=360:4=90$. Verificare: $180+120+90=390$.
6. Observă că cea mai mare parte corespunde celui mai mic număr, $2$.

Răspuns: $180$, $120$ și $90$

1. Dacă ar fi continuat doar cei 12 muncitori, ar mai fi avut de lucrat $15-5=10$ zile.
2. Acum lucrează $12+3=15$ muncitori. Pentru restul lucrării, numărul de muncitori și numărul de zile sunt invers proporționale.
3. Scriem: 12 muncitori ... 10 zile; 15 muncitori ... $x$ zile. Deci $15\cdot x=$ $12\cdot 10=$ $120$.
4. $x=120:15=8$ zile pentru restul lucrării.
5. În total: $5+8=13$ zile.

Răspuns: 13 zile