ULTIMA CIFRĂ A UNEI PUTERI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Ultima cifră a unei puteri se repetă într-un ciclu fix, care depinde doar de ultima cifră a bazei. Găsești ciclul, împarți exponentul la lungimea lui, iar restul îți spune exact ce cifră cauți. Mai jos găsești metoda pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Metoda ciclurilor pentru ultima cifră a unei puteri

De ce se repetă ultima cifră. Când înmulțești două numere, ultima cifră a rezultatului depinde doar de ultimele cifre ale factorilor, nu de restul numărului. De aceea, ultima cifră a puterilor lui $a$ depinde doar de ultima cifră a lui $a$ , și se repetă după un anumit număr de pași, numit lungimea ciclului.

$2^{1},$ $2^{2},$ $2^{3},$ $2^{4},$ $2^{5},$ $\dots \to 2,$ $4,$ $8,$ $6,$ $2,$ $4,$ $8,$ $6,$ $\dots$

Ciclurile ultimei cifre, pentru fiecare cifră de la $0$ la $9$ :

Cifrele $0, 1, 5, 6$ : ciclu de lungime $1$ ; ultima cifră rămâne mereu aceeași ( $0$ , $1$ , $5$ , respectiv $6$ ).
Cifrele $4, 9$ : ciclu de lungime $2$ ; pentru $4$ : ${4, 6}$ ; pentru $9$ : ${9, 1}$ .
Cifrele $2, 3, 7, 8$ : ciclu de lungime $4$ ; pentru $2$ : ${2, 4, 8, 6}$ ; pentru $3$ : ${3, 9, 7, 1}$ ; pentru $7$ : ${7, 9, 3, 1}$ ; pentru $8$ : ${8, 4, 2, 6}$ .

Metoda, pas cu pas. Ca să afli ultima cifră a lui $a^{n}$ : reții ultima cifră a lui $a$ , construiești ciclul ei (scriind primele puteri până se repetă), apoi împarți exponentul $n$ la lungimea ciclului.

$n =$ $q \cdot (lungimea ciclului) + r,$ $0 \leq r < lungimea ciclului$

Restul $r$ îți spune poziția din ciclu: dacă $r \neq 0$ , iei a $r$ -a cifră din ciclu; dacă $r = 0$ , exponentul e multiplu exact al ciclului, deci iei ultima cifră din ciclu (adică ai terminat exact un număr întreg de cicluri complete).

Doar ultima cifră a bazei contează. Pentru un număr mare, cum ar fi $237$ , nu construiești ciclul pentru $237$ întreg, ci pentru ultima lui cifră, $7$ . Ultima cifră a lui $237^{n}$ este identică cu ultima cifră a lui $7^{n}$ .

Exerciții rezolvate : ultima cifră a unei puteri

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ciclu de lungime 4ușor

Care este ultima cifră a lui $2^{7}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $2$ este ${2, 4, 8, 6}$ , cu lungimea $4$ .
Împart exponentul la lungimea ciclului: $7 \div 4 = 1$ rest $3$ .
Restul $3$ arată că iau a treia cifră din ciclu: $2,$ $4,$ $8,$ $6$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $2^{7}$ este $8$

EXERCIȚIUL 2Ciclu de lungime 2ușor

Care este ultima cifră a lui $9^{15}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $9$ este ${9, 1}$ , cu lungimea $2$ .
Împart exponentul la lungimea ciclului: $15 \div 2 = 7$ rest $1$ .
Restul $1$ arată că iau prima cifră din ciclu: $9, 1$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $9^{15}$ este $9$

EXERCIȚIUL 3Ciclu de lungime 1mediu

Care este ultima cifră a lui $6^{123}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Cifra $6$ are ciclu de lungime $1$ : ultima cifră a oricărei puteri a lui $6$ este mereu $6$ .
Nu mai e nevoie să împart exponentul la nimic, pentru că nu există variație.
Indiferent de exponent, ultima cifră rămâne $6$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $6^{123}$ este $6$

EXERCIȚIUL 4Rest zeromediu

Care este ultima cifră a lui $4^{58}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $4$ este ${4, 6}$ , cu lungimea $2$ .
Împart exponentul la lungimea ciclului: $58 \div 2 = 29$ rest $0$ .
Restul $0$ înseamnă că exponentul e multiplu exact al ciclului, deci iau ultima cifră din ciclu: $4, 6$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $4^{58}$ este $6$

EXERCIȚIUL 5Bază cu mai multe cifremediu

Care este ultima cifră a lui $234^{37}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Contează doar ultima cifră a bazei, adică $4$ ; ultima cifră a lui $234^{37}$ e identică cu cea a lui $4^{37}$ .
Ciclul lui $4$ este ${4, 6}$ , cu lungimea $2$ ; $37 \div 2 = 18$ rest $1$ .
Restul $1$ arată prima cifră din ciclu: $4, 6$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $234^{37}$ este $4$

EXERCIȚIUL 6Exponent foarte maregreu

Care este ultima cifră a lui $3^{2024}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $3$ este ${3, 9, 7, 1}$ , cu lungimea $4$ .
Împart exponentul la lungimea ciclului: $2024 \div 4 = 506$ rest $0$ .
Restul $0$ înseamnă că $2024$ e multiplu exact de $4$ , deci iau ultima cifră din ciclu: $3,$ $9,$ $7,$ $1$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $3^{2024}$ este $1$

EXERCIȚIUL 7Exponent care nu se împarte exactgreu

Care este ultima cifră a lui $7^{777}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $7$ este ${7, 9, 3, 1}$ , cu lungimea $4$ .
Împart exponentul la lungimea ciclului: $777 \div 4 = 194$ rest $1$ .
Restul $1$ arată prima cifră din ciclu: $7,$ $9,$ $3,$ $1$ .

Răspuns: Ultima cifră a lui $7^{777}$ este $7$

EXERCIȚIUL 8Provocare: ultima cifră a unei sume de puterigreu

Care este ultima cifră a sumei $4^{50} + 9^{50}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Aflu separat ultima cifră a fiecărei puteri. Pentru $4^{50}$ : ciclul ${4, 6}$ , $50 \div 2 = 25$ rest $0$ , deci ultima cifră este $6$ .
Pentru $9^{50}$ : ciclul ${9, 1}$ , $50 \div 2 = 25$ rest $0$ , deci ultima cifră este $1$ .
Adun ultimele cifre găsite: $6 + 1 = 7$ , iar cum $7$ e sub $10$ , nu apare niciun transport care să schimbe cifra.

Răspuns: Ultima cifră a sumei $4^{50} + 9^{50}$ este $7$

Cum recunoști un exercițiu pe ultima cifră a unei puteri

Enunțul cere „ultima cifră” a unei puteri cu exponent mare, unde calculul direct al puterii ar fi imposibil de făcut.
Baza puterii are mai multe cifre, semn că trebuie să te uiți doar la ultima ei cifră.
Apar sume sau diferențe de puteri mari, unde afli întâi ultima cifră a fiecărui termen, apoi le combini.

Greșeli frecvente la ultima cifră a unei puteri

Tratezi restul $0$ ca pe „poziția zero”, care nu există în ciclu. Când restul împărțirii exponentului la lungimea ciclului e $0$ , înseamnă că exponentul e multiplu exact al ciclului, deci alegi ultima cifră din ciclu, nu o poziție inexistentă. De exemplu, la $7^{20}$ : $20 \div 4 = 5$ rest $0$ , deci ultima cifră e ultima din ciclul ${7,9,3,1}$ , adică $1$ .
Construiești ciclul pentru numărul întreg, nu pentru ultima lui cifră. La $37^{15}$ , nu ai nevoie de puterile lui $37$ , ci doar de cele ale lui $7$ , ultima lui cifră. Ultima cifră a lui $37^{15}$ este identică cu ultima cifră a lui $7^{15}$ .
Uiți că ciclurile au lungimi diferite. Nu toate cifrele au ciclu de lungime $4$ . Cifrele $0, 1, 5, 6$ au ciclu de lungime $1$ , iar $4$ și $9$ au ciclu de lungime $2$ . Dacă aplici mecanic lungimea $4$ peste tot, îți iese rest greșit și, implicit, cifră greșită.

Exersează : ultima cifră a unei puteri

Fișă de lucru: Ultima cifră a unei puteri, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Puteri, clasa a V-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Puteri, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre ultima cifră a unei puteri

De ce contează doar ultima cifră a bazei, nu tot numărul?

Pentru că la înmulțire, ultima cifră a rezultatului depinde doar de ultimele cifre ale factorilor. Restul cifrelor bazei influențează celelalte cifre ale puterii, dar nu și ultima.

Ce fac dacă restul împărțirii exponentului la lungimea ciclului este

0

Alegi ultima cifră din ciclu, nu o poziție inexistentă. Rest $0$ înseamnă că exponentul este exact un multiplu al lungimii ciclului, deci ai terminat un număr întreg de cicluri complete.

Toate cifrele au cicluri de aceeași lungime?

Nu. Cifrele $0, 1, 5, 6$ au ciclu de lungime $1$ , cifrele $4$ și $9$ au ciclu de lungime $2$ , iar cifrele $2, 3, 7, 8$ au ciclu de lungime $4$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 24. Ultima cifră a unei puteri. Ultima cifră a puterilor lui 2, 3, 7, 8.

Exersează cu fișa de lucru: Ultima cifră a unei puteri — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este ultima cifră a lui $2^{1}$ ?
2. Ultima cifră a lui $2^{5}$ este aceeași cu ultima cifră a lui:
3. Care este ultima cifră a lui $3^{4}$ ?
4. Care este ultima cifră a lui $7^{10}$ ?
5. Care este ultima cifră a lui $8^{13}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 3 august 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SUME DE PUTERI CU ACEEAȘI BAZĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

COMPARAREA ȘI ORDONAREA PUTERILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

PĂTRATE PERFECTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

SCRIEREA ÎN BAZA 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

METODA REDUCERII LA UNITATE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 2: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună