de Echipa Școala Virtuală31 iulie 2026

Sume de puteri cu aceeași bază: greșeli și exerciții

Q: Pot aduna puteri cu aceeași bază dar exponenți diferiți?

Nu poți simplifica expresia sub formă de putere. Dacă ai 23+25 , nu există o singură putere a lui 2 care să fie egală cu suma asta. Ce poți face: calculezi fiecare termen separat și aduni rezultatele numerice. Sau, uneori, scoți în față cel mai mic termen ca factor comun — dar asta e o tehnică separată, nu o regulă obligatorie.

Q: Ce fac dacă am un termen cu puterea zero, de exemplu 30 ?

Simplu: 30=1 . Orice număr (diferit de zero) la puterea zero e egal cu 1. Deci dacă ai 2⋅53+50 , calculezi 2⋅125+1=251 . Nu trebuie să tratezi 50 special — îl înlocuiești cu 1 și continui normal cu restul operațiilor.

Toată lumea face aceeași greșeală când vede prima dată sume de puteri cu aceeași bază: adună și bazele, și exponenții, și iese ceva complet greșit. Adică vede $2^{3} + 2^{3}$ și scrie $4^{6}$ . Înțeleg de ce — pare logic. Dacă aduni mere cu mere, aduni tot ce e acolo, nu? Dar puterea nu funcționează așa. Deloc. Și tocmai asta vreau să-ți arăt azi: de unde vine confuzia, cum gândești corect și de ce, odată ce înțelegi logica, nu mai poți greși. E mai simplu decât pare. Promit.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă de fapt o sumă de puteri cu aceeași bază și de ce NU aduni exponenții
Vei ști să recunoști când poți simplifica și când nu ai ce face
Vei vedea pas cu pas cum se rezolvă exerciții de tipul celor din manualele de clasa 5-8
Vei cunoaște cele mai frecvente greșeli — ca să nu le faci tu

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce e o sumă de puteri cu aceeași bază — și cum gândești corect

Hai să zicem că ai $3^{4} + 3^{4}$ . Ce ai de fapt? Ai un termen de $3^{4}$ și încă un termen de $3^{4}$ . Adică două bucăți identice. La fel cum $x + x = 2 x$ , exact la fel $3^{4} + 3^{4} = 2 \cdot 3^{4}$ . Atât. Nu atingi exponentul. Nu atingi baza. Scoți în față câți termeni identici ai — adică un număr simplu — și atât. Asta-i toată logica. Suma de puteri cu aceeași bază nu e o regulă magică. E doar adunare normală, unde termenii se întâmplă să fie puteri. Tratezi $3^{4}$ ca pe o variabilă oarecare și aduni coeficienții din fața ei. Dacă ai $5 \cdot 3^{4} + 3 \cdot 3^{4}$ , obții $8 \cdot 3^{4}$ . Simplu.

💡 Regula de bază

Când aduni puteri cu aceeași bază și același exponent, aduni coeficienții și păstrezi puterea neschimbată: $k \cdot a^{n} + m \cdot a^{n} = (k + m) \cdot a^{n}$ . Dacă exponenții sunt diferiți, nu poți simplifica direct — calculezi fiecare putere separat și aduni rezultatele.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează: $3 \cdot 2^{5} + 5 \cdot 2^{5} - 2^{5}$

🔢 Rezolvare

3 \cdot 2^{5} + 5 \cdot 2^{5} - 1 \cdot 2^{5}

= (3 + 5 - 1) \cdot 2^{5}

= 7 \cdot 2^{5}

= 7 \cdot 32 = 224

✅ Explicație

Observi că toți termenii au aceeași putere — $2^{5}$ . Asta înseamnă că $2^{5}$ e ca o variabilă comună. O scot în față și adun doar coeficienții: 3, 5 și 1 (acel $2^{5}$ fără număr în față e de fapt $1 \cdot 2^{5}$ ). La final calculez $2^{5} = 32$ și înmulțesc. Ușor, odată ce știi ce cauți.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Aduni și bazele, și exponenții — scrii $2^{3} + 2^{3} = 4^{6}$ . Pare intuitiv, dar e complet greșit. Puterea nu se comportă ca o fracție sau ca un produs. $2^{3} = 8$ , deci $2^{3} + 2^{3} = 8 + 8 = 16$ . Nu $4^{6}$ , care e un număr uriaș — 4096.

✅ Corect: $2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2 \cdot 8 = 16$ . Aduni coeficienții, nu exponenții.

❌ Greșeala #2: Încerci să "simplifici" și când exponenții sunt diferiți — scrii $2^{3} + 2^{4} = 2^{7}$ sau altceva inventat. Asta nu există. Suma $2^{3} + 2^{4}$ nu are o formă mai simplă cu puteri.

✅ Corect: Calculezi fiecare putere separat: $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ . Gata. Uneori poți scoate în față cel mai mic factor comun — $2^{3} (1 + 2) = 8 \cdot 3 = 24$ — dar asta e deja un pas în plus, nu obligatoriu.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Calculează $4 \cdot 5^{3} + 6 \cdot 5^{3}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

= (4 + 6) \cdot 5^{3}

= 10 \cdot 5^{3}

= 10 \cdot 125 = 1250

Ambii termeni au aceeași putere, $5^{3}$ , deci o scoatem factor comun și adunăm doar coeficienții 4 și 6.

Răspuns: $1250$

Exercițiul 2. Calculează $2^{4} + 3 \cdot 2^{4} - 2 \cdot 2^{4}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

= (1 + 3 - 2) \cdot 2^{4}

= 2 \cdot 2^{4}

= 2 \cdot 16 = 32

Primul termen, $2^{4}$ , e de fapt $1 \cdot 2^{4}$ . Adunăm coeficienții 1, 3 și −2, apoi înmulțim cu puterea calculată.

Răspuns: $32$

Exercițiul 3. Calculează $5 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{4}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Exponenții sunt diferiți (3 și 4), deci nu putem scoate o putere comună, calculăm fiecare termen separat:

5 \cdot 3^{3} = 5 \cdot 27 = 135

2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162

135 + 162 = 297

Regula „aduni coeficienții, păstrezi puterea" funcționează doar când baza și exponentul sunt identice la toți termenii. Aici exponenții diferă, deci fiecare putere se calculează separat, apoi se adună rezultatele.

Răspuns: $297$

Exercițiul 4. Simplifică și calculează: $9 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6^{2}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

= (9 - 4 - 2) \cdot 6^{2}

= 3 \cdot 6^{2}

= 3 \cdot 36 = 108

Aceeași idee ca mai sus, dar cu două scăderi. Calculăm mai întâi $9 - 4 - 2 = 3$ , apoi înmulțim cu $6^{2}$ .

Răspuns: $108$

Exercițiul 5. Provocare: Dacă $3 \cdot 5^{n} + 2 \cdot 5^{n} = 625$ , află valoarea lui $n$ (număr natural).

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scoatem factor comun puterea $5^{n}$ :

(3 + 2) \cdot 5^{n} = 625

5 \cdot 5^{n} = 625

5^{n + 1} = 625

Recunoaștem că $625 = 5^{4}$ , deci exponenții trebuie să fie egali:

n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3

Verificare: $3 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5^{3} = 3 \cdot 125 + 2 \cdot 125 = 375 + 250 = 625$ . Corect.

Răspuns: $n = 3$

Întrebări frecvente

Pot aduna puteri cu aceeași bază dar exponenți diferiți?

Nu poți simplifica expresia sub formă de putere. Dacă ai $2^{3} + 2^{5}$ , nu există o singură putere a lui 2 care să fie egală cu suma asta. Ce poți face: calculezi fiecare termen separat și aduni rezultatele numerice. Sau, uneori, scoți în față cel mai mic termen ca factor comun — dar asta e o tehnică separată, nu o regulă obligatorie.

De ce nu adun și exponenții când baza e aceeași?

Pentru că adunarea și înmulțirea puterilor sunt operații complet diferite. La înmulțire — adică $2^{3} \cdot 2^{4}$ — da, aduni exponenții. Dar la adunare nu există o regulă similară. $2^{3} + 2^{3}$ înseamnă literalmente $8 + 8$ , nu altceva. Confuzia vine din faptul că la înmulțire exponenții chiar se adună — și creierul tău generalizează greșit.

Ce fac dacă am un termen cu puterea zero, de exemplu 30 ?

Simplu: $3^{0} = 1$ . Orice număr (diferit de zero) la puterea zero e egal cu 1. Deci dacă ai $2 \cdot 5^{3} + 5^{0}$ , calculezi $2 \cdot 125 + 1 = 251$ . Nu trebuie să tratezi $5^{0}$ special — îl înlocuiești cu 1 și continui normal cu restul operațiilor.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 21. Sume de puteri cu aceeași bază.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună