SUME DE PUTERI CU ACEEAȘI BAZĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Când aduni mai multe puteri care au exact aceeași bază și exact același exponent, nu atingi nici baza, nici exponentul: aduni doar coeficienții din fața puterii. Mai jos găsești regula pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Regula sumelor de puteri cu aceeași bază

Regula de bază. Când aduni mai mulți termeni care sunt exact aceeași putere, tratezi acea putere ca pe o singură unitate și aduni doar coeficienții din fața ei.

$k \cdot a^{n} + m \cdot a^{n} =$ $(k + m) \cdot a^{n}$

De exemplu, $3^{4} + 3^{4}$ înseamnă „de două ori $3^{4}$ ", adică $2 \cdot 3^{4}$ . E aceeași idee ca la $x + x = 2 x$ , doar că aici $3^{4}$ joacă rolul lui $x$ .

Nu confunda cu produsul de puteri. Regula de mai sus e pentru adunare. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții chiar se adună: $a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$ . Cele două reguli seamănă la prima vedere, dar sunt pentru operații diferite, adunare și înmulțire, așa că nu le amesteca.

Când exponenții sunt diferiți. Dacă termenii au aceeași bază, dar exponenți diferiți, nu poți combina puterile într-una singură. Calculezi fiecare putere separat, apoi aduni rezultatele numerice obținute.

Scoaterea factorului comun. Uneori poți scoate ca factor comun cea mai mică putere din sumă: $a^{n} + a^{n + 1} =$ $a^{n} \cdot (1 + a)$ . E o tehnică utilă, dar nu obligatorie, mai ales când poți calcula direct valorile puterilor.

Gândește-te la o putere ca la un obiect complet, nu ca la o operație pe care trebuie să o desfaci imediat. Dacă cineva îți spune că are trei cutii identice, fiecare cu exact aceleași lucruri în ea, nu te apuci să deschizi fiecare cutie ca să numeri conținutul de la zero: știi direct că ai de trei ori conținutul unei cutii. La fel funcționează și cu puterile identice dintr-o sumă. Recunoști întâi „cutia" repetată, adică puterea comună, apoi numeri de câte ori apare ea. Restul e o simplă înmulțire cu numărul de apariții, urmată, dacă chiar ai nevoie de valoarea finală, de calculul propriu-zis al puterii. Această schimbare de perspectivă, de la „trebuie să calculez fiecare putere separat" la „recunosc întâi ce se repetă", te ajută să rezolvi mult mai rapid sumele lungi, cu mulți termeni identici, fără să te încurci în calcule inutile.

Exerciții rezolvate : sume de puteri cu aceeași bază

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Doi termeni identiciușor

Calculează $3^{2} + 3^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Ambii termeni sunt exact $3^{2}$ , deci am de două ori aceeași putere.
Scriu $3^{2} + 3^{2} =$ $2 \cdot 3^{2}$ .
Calculez: $2 \cdot 9 = 18$ .

Răspuns: $3^{2} + 3^{2} = 18$

EXERCIȚIUL 2Coeficienți diferiți de 1ușor

Calculează $4 \cdot 2^{3} + 2^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

Al doilea termen, $2^{3}$ , e de fapt $1 \cdot 2^{3}$ .
Adun coeficienții: $4 + 1 = 5$ , deci suma e $5 \cdot 2^{3}$ .
Calculez: $5 \cdot 8 = 40$ .

Răspuns: $4 \cdot 2^{3} + 2^{3} =$ $40$

EXERCIȚIUL 3Scădere de puteri identicemediu

Calculează $6 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Ambii termeni au aceeași putere, $5^{2}$ , deci scad doar coeficienții: $6 - 2 = 4$ .
Suma devine $4 \cdot 5^{2}$ .
Calculez: $4 \cdot 25 = 100$ .

Răspuns: $6 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5^{2} =$ $100$

EXERCIȚIUL 4Trei termeni identicimediu

Calculează $2^{4} + 2^{4} + 2^{4}$ .

Rezolvare pas cu pas

Am trei termeni identici, deci coeficientul total este $3$ .
Scriu $2^{4} + 2^{4} + 2^{4} =$ $3 \cdot 2^{4}$ .
Calculez: $3 \cdot 16 = 48$ .

Răspuns: $2^{4} + 2^{4} + 2^{4} = 48$

EXERCIȚIUL 5Exponenți diferițimediu

Calculează $3 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 7^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

Exponenții sunt diferiți ( $2$ și $3$ ), deci nu pot scoate o putere comună.
Calculez fiecare termen separat: $3 \cdot 7^{2} =$ $3 \cdot 49 =$ $147$ și $2 \cdot 7^{3} =$ $2 \cdot 343 =$ $686$ .
Adun rezultatele: $147 + 686 = 833$ .

Răspuns: $3 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 7^{3} =$ $833$

EXERCIȚIUL 6Adunare și scădere combinategreu

Calculează $5 \cdot 3^{4} - 3^{4} + 2 \cdot 3^{4}$ .

Rezolvare pas cu pas

Toți termenii au aceeași putere, $3^{4}$ ; al doilea termen e de fapt $1 \cdot 3^{4}$ .
Adun și scad coeficienții, în ordine: $5 - 1 + 2 = 6$ .
Suma devine $6 \cdot 3^{4} =$ $6 \cdot 81 =$ $486$ .

Răspuns: $5 \cdot 3^{4} - 3^{4} + 2 \cdot 3^{4} =$ $486$

EXERCIȚIUL 7Află exponentul necunoscutgreu

Dacă $4 \cdot 2^{n} + 2^{n} =$ $80$ , află numărul natural $n$ .

Rezolvare pas cu pas

Scot factor comun puterea $2^{n}$ : $(4 + 1) \cdot 2^{n} = 80$ , adică $5 \cdot 2^{n} = 80$ .
Împart prin $5$ : $2^{n} = 16$ .
Recunosc $16 = 2^{4}$ , deci $n = 4$ .

Răspuns: $n = 4$

EXERCIȚIUL 8Provocare: puteri mari ale lui 2greu

Calculează $2^{10} + 2^{10}$ și scrie rezultatul tot ca o putere a lui $2$ .

Rezolvare pas cu pas

Cei doi termeni sunt identici, deci suma este $2 \cdot 2^{10}$ .
Dar $2 = 2^{1}$ , deci $2 \cdot 2^{10} =$ $2^{1 + 10} =$ $2^{11}$ (aici chiar înmulțesc puteri cu aceeași bază, deci adun exponenții).
Calculez valoarea: $2^{11} = 2048$ .

Răspuns: $2^{10} + 2^{10} =$ $2^{11} =$ $2048$

Cum recunoști un exercițiu cu sume de puteri cu aceeași bază

Enunțul cere „calculează” o sumă sau o diferență de termeni scriși ca puteri.
Toți termenii (sau o parte din ei) au exact aceeași bază și exact același exponent.
Unii termeni au aceeași bază, dar exponenți diferiți, situație în care nu poți scoate o putere comună.

Greșeli frecvente la sume de puteri cu aceeași bază

Aduni și bazele, și exponenții. $2^{3} + 2^{3}$ nu este $4^{6}$ . Puterea nu se comportă ca un produs. $2^{3} = 8$ , deci $2^{3} + 2^{3} =$ $8 + 8 =$ $16$ , nu un număr uriaș ca $4^{6}$ .
Încerci să simplifici și când exponenții sunt diferiți. $2^{3} + 2^{4}$ nu are o formă mai simplă ca o singură putere. Calculezi fiecare termen separat: $8 + 16 = 24$ .
Confunzi regula de la adunare cu regula de la înmulțire. La adunarea puterilor identice, aduni coeficienții și păstrezi puterea: $a^{n} + a^{n} = 2 a^{n}$ . La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, aduni exponenții: $a^{n} \cdot a^{n} =$ $a^{2 n}$ . Sunt reguli diferite, pentru operații diferite.

Exersează : sume de puteri cu aceeași bază

Fișă de lucru: Sume de puteri cu aceeași bază, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Puteri, clasa a V-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Puteri, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre sume de puteri cu aceeași bază

Pot aduna

2^{3} + 2^{4}

direct, ca o singură putere?

Nu. Regula de combinare a coeficienților funcționează doar când baza și exponentul sunt identice la toți termenii. Aici exponenții diferă, deci calculezi fiecare putere separat, apoi aduni: $8 + 16 = 24$ .

De ce nu adun exponenții la adunarea puterilor, dar îi adun la înmulțire?

Pentru că sunt operații diferite. La adunare, tratezi puterea ca pe o variabilă și aduni coeficienții din fața ei. La înmulțire, chiar aduni exponenții, pentru că $a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$ e o proprietate a înmulțirii puterilor, nu a adunării.

Ce fac dacă am mai mulți termeni cu aceeași putere, dar cu coeficienți diferiți?

Aduni sau scazi coeficienții, în ordinea din enunț, și păstrezi puterea neschimbată la final. De exemplu, $5 \cdot 3^{4} - 3^{4} + 2 \cdot 3^{4} =$ $6 \cdot 3^{4}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 21. Sume de puteri cu aceeași bază.

Exersează cu fișa de lucru: Sume de puteri cu aceeași bază — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul sumei $2^{3} + 2^{3}$ ?
2. Cum se poate scrie mai simplu suma $3^{4} + 3^{4} + 3^{4}$ ?
3. Care dintre expresiile de mai jos reprezintă corect suma $5^{2} + 5^{2} + 5^{2} + 5^{2} + 5^{2}$ ?
4. Care este valoarea numerică a expresiei $2 \cdot 2^{3}$ ?
5. Câți termeni egali cu $7^{2}$ trebuie adunați pentru a obține $4 \cdot 7^{2}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 31 iulie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ÎMPĂRȚIREA aprofundare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

OPERAȚII CU NUMERE NATURALE, recapitulare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

COMPARAREA ȘI ORDONAREA PUTERILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ULTIMA CIFRĂ A UNEI PUTERI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

PĂTRATE PERFECTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună