de Echipa Școala Virtuală15 mai 2026

Criterii de divizibilitate — ghid complet cu teorie

Ai un număr mare în față — să zicem 4.728 — și trebuie să știi dacă se împarte exact la 3. Sau la 9. Sau la 6. Îl împarți efectiv, cifră cu cifră, și pierzi două minute? Nu trebuie. Există un set de reguli scurte, numite criterii de divizibilitate, care îți spun în câteva secunde dacă un număr se împarte exact la altul — fără să faci împărțirea completă. Practic, e ca un cod secret al matematicii. Odată ce îl înveți, nu mai pierzi vremea cu calcule lungi. Și nu e complicat — fiecare criteriu are o logică clară în spate, nu e ceva de memorat forțat. Hai să le luăm pe rând, să vedem cum funcționează și de ce funcționează.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă că un număr este divizibil cu altul și de ce contează asta
Vei ști să aplici criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 și 6 direct, fără calcule lungi
Vei recunoaște greșelile clasice și vei ști cum să le eviți în exerciții
Vei rezolva singur probleme din programa de clasa 5-8, inclusiv cele cu mai multe condiții simultan

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, că un număr e divizibil cu altul?

Să zicem că ai 12 bomboane și vrei să le împarți la 4 prieteni în mod egal. Merge perfect — fiecare primește 3. Adică 12 este divizibil cu 4. Acum încearcă cu 13 bomboane și 4 prieteni. Nu mai iese exact — rămâne una în plus. Adică 13 nu este divizibil cu 4. Asta-i tot. Un număr $a$ este divizibil cu un număr $b$ dacă împărțirea $a \div b$ dă un rezultat întreg, fără rest. Notăm asta $b | a$ , adică „ $b$ divide pe $a$ ”. Criteriile de divizibilitate sunt exact niște scurtături — reguli care îți spun dacă restul e zero, fără să faci împărțirea efectivă. Îți economisesc timp și te scapă de erori de calcul.

💡 Regula de bază

Un număr $a$ este divizibil cu $b$ dacă există un număr natural $c$ astfel încât $a = b \cdot c$ . Adică împărțirea $a \div b$ dă rest zero. Criteriile de divizibilitate îți arată cum să verifici asta rapid, uitându-te doar la una sau câteva cifre ale numărului.

Criteriile de divizibilitate — fiecare explicat pe înțelesul tău

Divizibilitate cu 2. Simplu de tot. Te uiți doar la ultima cifră. Dacă e 0, 2, 4, 6 sau 8 — numărul e par și se împarte la 2. Dacă e 1, 3, 5, 7 sau 9 — nu se împarte. De ce? Pentru că 10 se împarte la 2, deci orice multiplu de 10 se împarte la 2. Contează doar ultima cifră, restul „se rezolvă singur”. Exemplu: 4.736 — ultima cifră e 6, deci da, este divizibil cu 2.

Divizibilitate cu 5. Tot ultima cifră. Dacă e 0 sau 5 — se împarte la 5. Dacă nu — gata, nu se împarte. Exemplu: 4.730 — ultima cifră e 0, deci da. Dar 4.733? Ultima cifră e 3 — nu.

Divizibilitate cu 10. Ultima cifră trebuie să fie 0. Doar 0. Exemplu: 5.820 — da. Dar 5.825 — nu.

Divizibilitate cu 3. Uite unde devine mai interesant. Nu te mai uiți la ultima cifră — te uiți la suma tuturor cifrelor. Dacă suma respectivă se împarte la 3, atunci și numărul se împarte la 3. Exemplu: 4.728 — suma cifrelor e $4 + 7 + 2 + 8 = 21$ . Și 21 se împarte la 3 (21 = 3 × 7). Deci da, 4.728 este divizibil cu 3. Poți repeta procesul: dacă suma e tot mare, aduni din nou cifrele ei.

Divizibilitate cu 9. Aceeași idee ca la 3, dar condiția e mai strictă: suma cifrelor trebuie să se împartă la 9. Exemplu: 4.728 — suma e 21. Se împarte 21 la 9? Nu (21 = 9 × 2 + rest 3). Deci 4.728 nu este divizibil cu 9. Dar 4.725? Suma: $4 + 7 + 2 + 5 = 18$ . Și 18 se împarte la 9 (18 = 9 × 2). Deci da.

Divizibilitate cu 6. Asta-i combinată. Un număr se împarte la 6 dacă se împarte și la 2, și la 3 în același timp. Are sens, nu? Că 6 = 2 × 3. Deci verifici două condiții: ultima cifră e pară, și suma cifrelor e divizibilă cu 3. Ambele trebuie să fie adevărate. Una singură nu ajunge.

💡 Regula de bază

Pe scurt: cu 2 și 5 — ultima cifră. Cu 3 și 9 — suma cifrelor. Cu 10 — ultima cifră e 0. Cu 6 — verifici simultan criteriul pentru 2 și cel pentru 3. Dacă amândouă sunt îndeplinite, numărul se împarte la 6.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Stabilește prin care dintre numerele 2, 3, 5, 6, 9, 10 este divizibil numărul 5.418.

🔢 Rezolvare

$Ultima cifră: 8 \Rightarrow pară \Rightarrow divizibil cu 2 ✓$
$Suma cifrelor: 5 + 4 + 1 + 8 = 18$
$18 \div 3 = 6 \Rightarrow divizibil cu 3 ✓$
$18 \div 9 = 2 \Rightarrow divizibil cu 9 ✓$
$Ultima cifră 8 \neq 0 și 8 \neq 5 \Rightarrow NU este divizibil cu 5 sau cu 10$
$Divizibil cu 2 și cu 3 \Rightarrow divizibil cu 6 ✓$
$Concluzie: 5.418 este divizibil cu 2, 3, 6, 9$

✅ Explicație

Ai văzut cum merg pașii: mai întâi ultima cifră — rezolvă dintr-o privire întrebările cu 2, 5 și 10. Apoi suma cifrelor — răspunde la 3 și 9 deodată. La final, 6 nu mai are nevoie de calcul separat, îl deduci direct din ce știai deja. Metoda asta te scapă de orice împărțire lungă.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La criteriul pentru 9, elevii verifică dacă suma cifrelor e pară sau dacă se termină în 9 — în loc să verifice dacă suma se împarte la 9. De exemplu, văd numărul 279 și zic „se termină în 9, deci e divizibil cu 9″. Greșit. Suma cifrelor: $2 + 7 + 9 = 18$ . 18 se împarte la 9 — deci da, dar nu din cauza ultimei cifre.

✅ Corect: La 3 și la 9 te uiți exclusiv la suma cifrelor, nu la ultima cifră. Regula cu ultima cifră e valabilă doar pentru 2, 5 și 10.

❌ Greșeala #2: La criteriul pentru 6, unii verifică doar una dintre condiții. Văd că numărul e par și zic gata, e divizibil cu 6. Sau verifică doar că suma cifrelor se împarte la 3. Una singură nu-i de ajuns.

✅ Corect: Trebuie să fie adevărate ambele condiții simultan — numărul e par (criteriu pentru 2) și suma cifrelor se împarte la 3 (criteriu pentru 3). Altfel nu merge.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Prin care dintre numerele 2, 5, 10 este divizibil numărul 3.450?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Ultima cifră a lui 3.450 este 0

0 este pară \Rightarrow divizibil cu 2

ultima cifră 0 \Rightarrow divizibil cu 5 și cu 10

Criteriile pentru 2, 5 și 10 se verifică toate din ultima cifră. Cum aceasta e 0, toate cele trei condiții sunt îndeplinite deodată.

Răspuns: 3.450 este divizibil cu 2, cu 5 și cu 10.

Exercițiul 2. Este numărul 7.236 divizibil cu 6? Justifică.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Ultima cifră: 6 \Rightarrow pară \Rightarrow divizibil cu 2

Suma cifrelor: 7 + 2 + 3 + 6 = 18

18 \div 3 = 6 \Rightarrow divizibil cu 3

Fiindcă numărul e divizibil și cu 2, și cu 3 în același timp, ambele condiții pentru 6 sunt îndeplinite.

Răspuns: Da, 7.236 este divizibil cu 6 (e par și suma cifrelor, 18, se împarte la 3).

Exercițiul 3. Află cea mai mică cifră $a$ pentru care numărul $34 a 5$ este divizibil cu 3.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Suma cifrelor cunoscute, fără $a$ , este:

3 + 4 + 5 = 12

Trebuie ca $12 + a$ să se împartă exact la 3. Cum 12 e deja divizibil cu 3, e nevoie ca $a$ însuși să fie divizibil cu 3, adică 0, 3, 6 sau 9. Cea mai mică dintre aceste cifre este:

a = 0

Verificare: $12 + 0 = 12$ , iar $12 \div 3 = 4$ . Corect.

Răspuns: $a = 0$

Exercițiul 4. Este numărul 6.831 divizibil cu 9? Justifică răspunsul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Suma cifrelor: 6 + 8 + 3 + 1 = 18

18 \div 9 = 2 \Rightarrow divizibil cu 9

La criteriul pentru 9 te uiți exclusiv la suma cifrelor, nu la ultima cifră a numărului. Suma aici este 18, care se împarte exact la 9.

Răspuns: Da, 6.831 este divizibil cu 9 (suma cifrelor, 18, se împarte exact la 9).

Exercițiul 5. Provocare: Află cea mai mare cifră $b$ pentru care numărul $52 b 4$ este divizibil cu 6.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pentru divizibilitate cu 6, trebuie îndeplinite simultan criteriile pentru 2 și pentru 3.

Ultima cifră este 4 \Rightarrow pară pentru orice b \Rightarrow condiția pentru 2 e mereu îndeplinită

Suma cifrelor: 5 + 2 + b + 4 = 11 + b

Pentru divizibilitate cu 3, $11 + b$ trebuie să se împartă exact la 3. Cifrele care merg sunt 1, 4 și 7, iar cea mai mare este 7.

11 + 7 = 18, iar 18 \div 3 = 6

Verificare: numărul devine 5.274, iar $5.274 \div 6 = 879$ . Corect.

Răspuns: $b = 7$

Întrebări frecvente

Trebuie să știu pe dinafară toate criteriile sau le pot deduce?

Sincer? Merită să le știi automat pe cele pentru 2, 3, 5, 9 și 10 — le folosești des și câștigați timp. Criteriul pentru 6 nu-l memorezi separat: dacă știi regulile pentru 2 și 3, îl deduci instant. Asta-i și frumusețea lui — nu e o regulă nouă, e o combinație din ce știai deja.

De ce funcționează suma cifrelor pentru 3 și 9? Pare magic.

Nu-i magie, e algebră. Orice cifră de pe o poziție reprezintă un multiplu de 10, iar 10 = 9 + 1. Practic, fiecare putere a lui 10 lasă rest 1 la împărțirea cu 9. Asta înseamnă că restul întregului număr la împărțirea cu 9 e egal cu restul sumei cifrelor la împărțirea cu 9. La clasa a 5-a nu trebuie să demonstrezi asta — dar e bine să știi că există un motiv real în spate.

Pot afla dacă un număr e divizibil cu 4 sau cu 8 folosind criterii?

Da, există și criterii pentru 4 și 8, chiar dacă nu sunt în programa de clasa 5. Pe scurt: un număr e divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4. E divizibil cu 8 dacă ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8. Exemplu: 5.312 — ultimele două cifre sunt 12, iar 12 ÷ 4 = 3, deci 5.312 este divizibil cu 4.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 4. Criterii de divizibilitate: cu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 la o putere.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună