NUMERELE PRIME - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

1. $21=3\cdot 7$, deci are mai mult de doi divizori: nu e prim.
2. $23$ nu se împarte exact nici la $2$, nici la $3$, nici la $5$ (singurele prime până la $\sqrt{23}\approx \mathrm{4,8}$): este prim.
3. $27=$ $3\cdot 3\cdot 3$, deci are mai mult de doi divizori: nu e prim.
4. $29$ nu se împarte exact la $2$, $3$ sau $5$ (singurele prime până la $\sqrt{29}\approx \mathrm{5,4}$): este prim.

Răspuns: $23$ și $29$ sunt numere prime; $21$ și $27$ sunt compuse

1. Calculezi până unde trebuie să verifici: $\sqrt{89}\approx \mathrm{9,4}$, deci încerci doar numerele prime $2,3,5,7$.
2. $89$ este impar, deci nu se împarte la $2$.
3. Suma cifrelor este $8+9=17$, care nu se împarte la $3$.
4. Nu se termină în $0$ sau $5$, deci nu se împarte la $5$; iar $89:7$ dă rest, nu $0$.
5. Niciunul dintre $2,3,5,7$ nu îl divide exact, deci $89$ este prim.

Răspuns: Da, $89$ este număr prim

1. $\sqrt{91}\approx \mathrm{9,5}$, deci încerci numerele prime $2,3,5,7$.
2. $91$ este impar, nu se împarte la $2$; suma cifrelor $9+1=10$ nu se împarte la $3$; nu se termină în $0$ sau $5$.
3. Încerci $7$: $91:7=13$, fără rest.
4. Cum $7$ îl divide exact, $91$ are mai mult de doi divizori: este compus.

Răspuns: $91$ este compus, $91=7\cdot 13$

1. $\sqrt{111}\approx \mathrm{10,5}$, deci încerci numerele prime $2,3,5,7$.
2. $111$ este impar, nu se împarte la $2$.
3. Suma cifrelor este $1+1+1=3$, care se împarte exact la $3$: $111:3=37$.
4. Cum $3$ îl divide exact, $111$ are mai mult de doi divizori: este compus.

Răspuns: $111$ este compus, $111=3\cdot 37$

1. Treci în revistă numerele impare din interval (numerele pare, în afară de $2$, nu pot fi prime): $41,$ $43,$ $45,$ $47,$ $49,$ $51,$ $53,$ $55,$ $57,$ $59$.
2. Elimini pe cele care au un divizor evident: $45$ (se termină în $5$), $49=7\cdot 7$, $51=3\cdot 17$, $55$ (se termină în $5$), $57=3\cdot 19$.
3. Rămân $41,43,47,53,59$, care nu au niciun alt divizor în afară de $1$ și ele însele.

Răspuns: $41,43,47,53,59$

1. Aduni cifrele lui $51$: $5+1=6$.
2. $6$ se împarte exact la $3$, deci, după criteriul de divizibilitate cu $3$, și $51$ se împarte exact la $3$.
3. Cum $51$ are cel puțin trei divizori ($1$, $3$ și $51$), nu poate fi prim.

Răspuns: $51$ este compus, pentru că se împarte exact la $3$ ($51=3\cdot 17$)

1. Cauți perechi de numere prime $p$ și $30-p$, cu $p\le 30-p$.
2. Pentru $p=7$: $30-7=23$, care este prim. Perechea $(7,23)$ funcționează.
3. Pentru $p=11$: $30-11=19$, care este prim. Perechea $(11,19)$ funcționează.
4. Pentru $p=13$: $30-13=17$, care este prim. Perechea $(13,17)$ funcționează.
5. Pentru celelalte numere prime mai mici decât $15$ (adică $2,3,5$), diferența până la $30$ nu este număr prim ($28,27,25$).

Răspuns: $(7,23)$, $(11,19)$ și $(13,17)$

1. Treci în revistă numerele impare din interval: $51,$ $53,$ $55,$ $57,$ $59,$ $61,$ $63,$ $65,$ $67,$ $69$.
2. Elimini pe cele cu divizori evidenți: $51=3\cdot 17$, $55$ și $65$ se termină în $5$, $57=3\cdot 19$, $63=3\cdot 21$, $69=3\cdot 23$.
3. Rămân $53,59,61,67$.
4. Numărându-le, sunt $4$ numere prime în acest interval.

Răspuns: $4$ numere prime: $53,59,61,67$