de Echipa Școala Virtuală8 iulie 2026

Teorema celor trei perpendiculare — definiție, proprietăți

Q: Teorema asta e valabilă și invers?

Da, și asta e frumos. Dacă d⟂AB (perpendiculară pe oblică), atunci d⟂A′B (perpendiculară pe proiecție). Adică merge în ambele sensuri — teorema e o echivalență, nu doar o implicație. Înseamnă că poți demonstra perpendicularitatea pe oblică demonstrând-o pe proiecție, și invers. Foarte util în exerciții.

Ai ajuns vreodată la un exercițiu cu o piramidă sau un corp geometric și pur și simplu nu știai cum să tragi o perpendiculară din punctul ăla suspendat în aer pe un plan? Nu știai nici de unde să începi, nici ce legătură are cu ce e deja desenat. Ei bine, exact asta rezolvă teorema celor trei perpendiculare — îți dă o metodă clară să lucrezi cu perpendiculare în spațiu, folosind ce știi deja din plan. Sună tehnic, știu. Dar de fapt e una dintre acele teoreme pe care, odată ce le înțelegi cu adevărat, le vezi peste tot: în piramide, prisme, orice corp cu fețe înclinate. Hai să o luăm de la zero, fără grabă.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă perpendiculara unei drepte pe un plan și cum o recunoști
Vei ști să formulezi corect teorema celor trei perpendiculare, direct și cu sens
Vei putea aplica teorema în exerciții cu piramide și prisme din programa de clasa 8
Vei știi care sunt greșelile tipice și cum să le eviți înainte să le faci

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Mai întâi, ce înseamnă că o dreaptă e perpendiculară pe un plan?

Imaginează-ți că ții un creion perfect vertical deasupra mesei. Creionul e perpendicular pe masă — adică e drept față de orice linie ai trasa pe suprafața mesei. Nu față de una, față de toate. Asta e definiția: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin piciorul ei. Piciorul e punctul unde dreapta atinge planul. În exerciții, adesea nu știi direct că o dreaptă e perpendiculară pe plan — trebuie să demonstrezi asta. Și pentru asta există o teoremă mai simplă: dacă o dreaptă e perpendiculară pe două drepte distincte din plan care se intersectează, atunci e perpendiculară pe întreg planul. Asta e fundația pe care stă totul ce urmează.

💡 Regula de bază

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din $α$ . Notăm: $d ⟂ α$ . Piciorul perpendicularei este punctul $O = d \cap α$ .

Acum, teorema celor trei perpendiculare — cum gândesc eu ea

Okay, să zicem că ai o dreaptă oblică față de un plan — adică nu cade perfect vertical, ci e înclinată. Are o proiecție pe plan: umbra ei, dacă vrei. Teorema celor trei perpendiculare spune ceva elegant despre relația dintre oblică, proiecția ei și o a treia dreaptă din plan. Hai să o formulez direct, fără artificii. Ai un plan $α$ , o perpendiculară $A A^{'}$ pe planul acela cu piciorul $A^{'}$ , și o dreaptă oblică $A B$ — unde $B$ e pe plan. Proiecția oblicei pe plan este $A^{'} B$ . Acum: dacă dreapta $d$ din plan este perpendiculară pe proiecție $A^{'} B$ , atunci $d$ este perpendiculară și pe oblică $A B$ . Și invers: dacă $d ⟂ A B$ , atunci $d ⟂ A^{'} B$ . Cele trei perpendiculare sunt: perpendiculara pe plan $(A A^{'})$ , proiecția $(A^{'} B)$ și dreapta $d$ din plan. De-aia se cheamă „teorema celor trei perpendiculare".

💡 Regula de bază

Fie $A A^{'} ⟂ α$ , $A B$ oblică pe $α$ , cu $A^{'} B$ proiecția ei pe $α$ , și $d \subset α$ o dreaptă. Atunci: $d ⟂ A^{'} B \Leftrightarrow d ⟂ A B$ . Practic, perpendicularitatea pe oblică și pe proiecția ei sunt echivalente, atâta timp cât ai perpendiculara pe plan.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Fie piramida regulată $V A B C D$ cu baza pătrat $A B C D$ și vârful $V$ . Știm că $V A = 6$ cm și $A B = 4 \sqrt{2}$ cm. Notăm cu $O$ centrul bazei. Demonstrați că $V O ⟂$ planului bazei și calculați lungimea $V O$ .

🔢 Rezolvare

Diagonala bazei: A C = A B \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 cm

O A = \frac{A C}{2} = \frac{8}{2} = 4 cm

Piramidă regulată \Rightarrow V O ⟂ O A și V O ⟂ O B \Rightarrow V O ⟂ plan (A B C D)

V O = \sqrt{V A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm

✅ Explicație

La o piramidă regulată, vârful se află exact deasupra centrului bazei — asta e definiția. Deci $V O$ e perpendiculară pe orice dreaptă din bază care trece prin $O$ . Concluzionăm că $V O ⟂$ planul bazei, și apoi aplicăm pur și simplu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $V O A$ pentru a găsi înălțimea.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii confundă proiecția oblicei cu piciorul perpendicularei. Scriu că proiecția lui $A B$ pe plan este chiar $B$ , fără să arate că $A^{'}$ (piciorul) e diferit de $B$ .

✅ Corect: Proiecția oblicei $A B$ pe plan este segmentul $A^{'} B$ , unde $A^{'}$ e piciorul perpendicularei duse din $A$ pe plan. $B$ e deja pe plan, deci rămâne fix. Proiecția nu e un punct — e un segment.

❌ Greșeala #2: Se aplică teorema celor trei perpendiculare fără a verifica mai întâi că există o perpendiculară pe plan. Mulți sar direct la „deci $d ⟂ A B$ " fără să arate că $A A^{'} ⟂ α$ .

✅ Corect: Teorema funcționează doar dacă ai sigur o dreaptă perpendiculară pe plan. Primul pas dintr-o rezolvare e întotdeauna să identifici sau să demonstrezi perpendiculara pe plan — abia după aplici teorema.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Fie $A A^{'} ⟂ α$ , cu $A^{'} \in α$ , și dreapta $d \subset α$ astfel încât $d ⟂ A^{'} B$ , unde $B \in α$ . Demonstrați că $d ⟂ A B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Recunoaștem elementele teoremei: $A A^{'}$ este perpendiculara pe planul $α$ , cu piciorul în $A^{'}$ . Dreapta $A B$ este oblică față de plan, pentru că $A$ nu e în plan, iar $B$ e deja pe plan. Proiecția oblicei pe plan este chiar $A^{'} B$ , pentru că $A^{'}$ e piciorul perpendicularei duse din $A$ , iar $B$ rămâne fix.

Pasul 2. Din ipoteză, dreapta din plan e perpendiculară pe proiecție: $d ⟂ A^{'} B$ .

Pasul 3. Aplicăm sensul direct al teoremei celor trei perpendiculare: dacă o dreaptă din plan e perpendiculară pe proiecția unei oblice, atunci e perpendiculară și pe oblica însăși.

d ⟂ A^{'} B \Rightarrow d ⟂ A B

Perpendicularitatea pe proiecție „se transferă" automat la oblică, atâta timp cât există o perpendiculară pe plan care leagă cele două drepte.

Răspuns: $d ⟂ A B$ , demonstrat direct din sensul direct al teoremei celor trei perpendiculare.

Exercițiul 2. Într-o piramidă regulată triunghiulară $V A B C$ cu $A B = 6 cm$ și $V A = 6 \sqrt{3} cm$ , notăm $O$ centrul bazei. Calculați înălțimea $V O$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Triunghiul $A B C$ e echilateral cu latura $6 cm$ . Centrul $O$ e centrul cercului circumscris, deci $O A$ e raza acestui cerc:

O A = \frac{A B \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} cm

Pasul 2. Piramidă regulată $\Rightarrow$ $V O ⟂$ planul bazei, adică $O A$ este proiecția oblicei $V A$ pe bază, iar triunghiul $V O A$ e dreptunghic în $O$ .

Pasul 3. Aplicăm Pitagora în triunghiul $V O A$ :

V O = \sqrt{V A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{(6 \sqrt{3})^{2} - (2 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{108 - 12} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} cm

Cheia e să recunoști că centrul cercului circumscris unui triunghi echilateral se află la distanța $a \sqrt{3} / 3$ de fiecare vârf, de-acolo pornește tot calculul.

Răspuns: $V O = 4 \sqrt{6} cm$

Exercițiul 3. Fie cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $a = 5 cm$ . Demonstrați că diagonala $A^{'} C$ este perpendiculară pe dreapta $B D$ și calculați distanța de la $B$ la dreapta $A^{'} C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. $A B C D$ e pătrat, deci diagonalele sunt perpendiculare: $A C ⟂ B D$ . Notăm $O$ intersecția lor, e mijlocul ambelor diagonale:

O C = O B = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} cm

Pasul 2. $A A^{'} ⟂$ planul bazei (proprietate a cubului), deci $A A^{'}$ e perpendiculară pe orice dreaptă din bază, inclusiv pe $A C$ și pe $B D$ .

Pasul 3 (teorema celor trei perpendiculare). $A^{'} C$ e oblică față de bază, cu piciorul perpendicularei în $A$ , iar proiecția ei pe bază e chiar $A C$ . Cum proiecția $A C ⟂ B D$ , rezultă direct că și oblica e perpendiculară pe $B D$ :

A^{'} C ⟂ B D

Pasul 4. Din pasul 2 mai știm și $A A^{'} ⟂ A C$ . Combinat cu $B D ⟂ A C$ și $B D ⟂ A^{'} C$ , dreapta $B D$ e perpendiculară pe două drepte concurente din planul $(A C C^{'} A^{'})$ , deci e perpendiculară pe tot planul. Segmentul $B O$ (parte din $B D$ ) este chiar perpendiculara din $B$ pe acest plan.

Pasul 5. Calculăm diagonala $A^{'} C$ , din triunghiul dreptunghic $A^{'} A C$ (drept în $A$ ):

A^{'} C = \sqrt{A A^{'}^{2} + A C^{2}} = \sqrt{5^{2} + (5 \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{25 + 50} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3} cm

Pasul 6. În planul $(A C C^{'} A^{'})$ , distanța de la $O$ (mijlocul lui $A C$ ) la dreapta $A^{'} C$ se află scriind aria triunghiului $A^{'} O C$ în două moduri:

\frac{1}{2} \cdot O C \cdot A A^{'} = \frac{1}{2} \cdot A^{'} C \cdot d \Rightarrow d = \frac{O C \cdot A A^{'}}{A^{'} C} = \frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot 5}{5 \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{6}}{6} cm

Pasul 7. Cum $B O ⟂$ planul $(A C C^{'} A^{'})$ , triunghiul format de $B$ , $O$ și piciorul perpendicularei din $O$ pe $A^{'} C$ e dreptunghic în $O$ , deci distanța căutată e:

\sqrt{B O^{2} + d^{2}} = \sqrt{(\frac{5 \sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{5 \sqrt{6}}{6})^{2}} = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25}{6}} = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3} cm

Lung, dar fiecare pas folosește doar teorema celor trei perpendiculare și teorema lui Pitagora, nimic altceva.

Răspuns: $A^{'} C ⟂ B D$ (demonstrat) și distanța de la $B$ la dreapta $A^{'} C$ este $\frac{5 \sqrt{6}}{3} cm$ .

Exercițiul 4. Piramida regulată $V A B C D$ are baza pătrat $A B C D$ cu latura $A B = 8 cm$ și înălțimea $V O = 3 cm$ ( $O$ este centrul bazei). Fie $M$ mijlocul laturii $B C$ . Demonstrați că $V M ⟂ B C$ și calculați lungimea $V M$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. $O M$ e segmentul din centrul pătratului până la mijlocul laturii $B C$ (apotema bazei). Într-un pătrat, acest segment e perpendicular pe latură:

O M ⟂ B C, O M = \frac{A B}{2} = 4 cm

Pasul 2. $V O ⟂$ planul bazei (proprietatea piramidei regulate), deci $O M$ este proiecția oblicei $V M$ pe planul bazei ( $V$ se proiectează în $O$ , iar $M$ e deja în bază).

Pasul 3 (teorema celor trei perpendiculare). Proiecția $O M ⟂ B C$ , deci și oblica: $V M ⟂ B C$ .

Pasul 4. Triunghiul $V O M$ e dreptunghic în $O$ :

V M = \sqrt{V O^{2} + O M^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 cm

Observă tiparul 3-4-5, apare des la piramide regulate cu proporții simple.

Răspuns: $V M ⟂ B C$ (demonstrat) și $V M = 5 cm$ .

Exercițiul 5. Provocare: Piramida regulată $V A B C D$ are baza pătrat $A B C D$ cu diagonala $A C = 8 \sqrt{2} cm$ și înălțimea $V O = 8 cm$ ( $O$ centrul bazei). Demonstrați că $V C ⟂ B D$ și calculați lungimea muchiei laterale $V C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare: $A C ⟂ B D$ , cu $O$ mijlocul ambelor. Deci $O C ⟂ B D$ , unde:

O C = \frac{A C}{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} cm

Pasul 2. $V O ⟂$ planul bazei, deci proiecția oblicei $V C$ pe planul bazei este chiar $O C$ ( $V$ se proiectează în $O$ , $C$ e deja în bază).

Pasul 3 (teorema celor trei perpendiculare). Proiecția $O C ⟂ B D$ , deci și oblica: $V C ⟂ B D$ .

Pasul 4. Triunghiul $V O C$ e dreptunghic în $O$ :

V C = \sqrt{V O^{2} + O C^{2}} = \sqrt{8^{2} + (4 \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} cm

Aceeași structură ca la exercițiul anterior, dar pornind de la diagonală, nu de la latură, verifică mereu ce segment e de fapt proiecția oblicei pe bază.

Răspuns: $V C ⟂ B D$ (demonstrat) și $V C = 4 \sqrt{6} cm$ .

Întrebări frecvente

De ce se numește „a celor trei perpendiculare" și nu „a două"?

Pentru că sunt exact trei drepte implicate: perpendiculara pe plan $(A A^{'})$ , proiecția oblicei pe plan $(A^{'} B)$ și dreapta din plan $(d)$ . Toate trei sunt perpendiculare între ele în sensul descris de teoremă. Dacă ar fi doar două, ar fi o simplă proprietate de perpendicularitate obișnuită — a treia e cea care face legătura dintre spațiu și plan.

Teorema asta e valabilă și invers?

Da, și asta e frumos. Dacă $d ⟂ A B$ (perpendiculară pe oblică), atunci $d ⟂ A^{'} B$ (perpendiculară pe proiecție). Adică merge în ambele sensuri — teorema e o echivalență, nu doar o implicație. Înseamnă că poți demonstra perpendicularitatea pe oblică demonstrând-o pe proiecție, și invers. Foarte util în exerciții.

Cum știu când să aplic teorema celor trei perpendiculare și când altceva?

O recunoști când ai o dreaptă oblică față de un plan și vrei să arăți că o altă dreaptă din plan îi este perpendiculară. Sau invers. Dacă există o perpendiculară pe plan în problemă — și de obicei există, e fie înălțimea piramidei, fie o muchie a cubului — aproape sigur teorema celor trei perpendiculare e instrumentul potrivit.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 56. Teorema celor trei perpendiculare..

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună