ÎNĂLȚIMEA PIRAMIDEI unde cade piciorul și cum o calculezi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 4 octombrie 2026

Înălțimea piramidei este segmentul perpendicular dus din vârf pe planul bazei, iar lungimea lui o afli aproape mereu dintr-un triunghi dreptunghic, cu teorema lui Pitagora. Pasul greu este să știi unde cade piciorul înălțimii. Mai jos găsești regula pentru fiecare tip de piramidă, pe scurt înălțimea conului, a prismei și a trunchiurilor și 9 exerciții rezolvate pas cu pas, cele mai multe pe piramidă, de la ușor la greu.

Unde cade înălțimea și cum o calculezi

Înălțimea unei piramide este segmentul $V O$ dus din vârful $V$ perpendicular pe planul bazei, cu $O$ în planul bazei. Lungimea lui este distanța de la vârf la planul bazei. Pentru că $V O$ este perpendiculară pe plan, ea face unghi drept cu orice dreaptă din bază care trece prin $O$ : de aici vin toate triunghiurile dreptunghice din exerciții.

Înălțimea

V O

este perpendiculară pe

O A

și pe

O M

. În

V O A

lucrezi cu muchia laterală, în

V O M

cu apotema.

Unde cade piciorul înălțimii:

piramida regulată: în centrul bazei (la triunghiul echilateral, punctul de intersecție a medianelor; la pătrat, intersecția diagonalelor; la hexagonul regulat, centrul lui);
piramida cu toate muchiile laterale egale: în centrul cercului circumscris bazei (la dreptunghi, intersecția diagonalelor; la triunghiul dreptunghic, mijlocul ipotenuzei);
piramida cu o muchie laterală perpendiculară pe bază: chiar în vârful bazei de care se sprijină muchia, iar muchia aceea este înălțimea.

Cele două triunghiuri dreptunghice ale piramidei regulate. Dacă $R = O A$ este raza cercului circumscris bazei și $a_{b} = O M$ este apotema bazei ( $M$ mijlocul unei laturi), atunci, cu $V A$ muchia laterală și $V M$ apotema piramidei:

$V O^{2} = V A^{2} - R^{2}$

$V O^{2} = V M^{2} - a_{b}^{2}$

Reține razele și apotemele: la triunghiul echilateral $R =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ și $a_{b} =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ ; la pătrat $R =$ $\frac{l \sqrt{2}}{2}$ și $a_{b} = \frac{l}{2}$ ; la hexagonul regulat $R = l$ și $a_{b} =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ .

Conul. Înălțimea $V O$ unește vârful cu centrul bazei. În triunghiul dreptunghic cu raza $R$ și generatoarea $G$ : $h^{2} = G^{2} - R^{2}$ .

Prisma dreaptă și cilindrul. Înălțimea este distanța dintre planele celor două baze. La prisma dreaptă este egală cu muchia laterală, iar la cilindru cu generatoarea.

Trunchiurile. Înălțimea este distanța dintre planele bazelor, $O O^{'}$ , unde $O$ și $O^{'}$ sunt centrele bazelor. O afli în trapezul dreptunghic $O A A^{'} O^{'}$ (cu muchia laterală) sau $O M M^{'} O^{'}$ (cu apotema trunchiului): cobori din $A^{'}$ perpendiculara pe $O A$ și aplici Pitagora, cu cateta orizontală egală cu diferența $R - r$ . La trunchiul de con, la fel: $h^{2} =$ $G^{2} - {(R - r)}^{2}$ .

Exerciții rezolvate : înălțimea piramidei

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Piramida patrulateră regulată, din muchia lateralăușor

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 8$ cm și muchia laterală de $9$ cm. Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Piramida este regulată, deci piciorul înălțimii este centrul $O$ al pătratului, adică punctul de intersecție a diagonalelor.
Diagonala pătratului: $A C = 8 \sqrt{2}$ cm, deci $O A =$ $\frac{A C}{2} =$ $4 \sqrt{2}$ cm.
$V O$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $V O ⟂ O A$ : triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ , cu ipotenuza $V A = 9$ cm.
$V O^{2} =$ $V A^{2} - O A^{2} =$ $81 - 32 =$ $49$ , deci $V O = 7$ cm.

Răspuns: $V O = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Piramida triunghiulară regulată: piciorul în centrul triunghiuluiușor

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei de $12$ cm și muchia laterală de $8$ cm. Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Baza este triunghi echilateral, iar piciorul înălțimii este centrul lui $O$ , punctul de intersecție a medianelor.
$O A$ este raza cercului circumscris bazei: $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{3} =$ $4 \sqrt{3}$ cm, deci $O A^{2} = 48$ .
Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $V A^{2} - O A^{2} =$ $64 - 48 =$ $16$ .
$V O = 4$ cm.

Răspuns: $V O = 4$ cm

EXERCIȚIUL 3Înălțimea conului din generatoareușor

Un con circular drept are vârful $V$ , centrul bazei $O$ , raza $O A = 8$ cm și generatoarea $V A = 17$ cm. Calculează înălțimea conului.

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea $V O$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $V O ⟂ O A$ . Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ , cu ipotenuza $V A$ .
$V O^{2} =$ $V A^{2} - O A^{2} =$ $289 - 64 =$ $225$ .
$V O = \sqrt{225} = 15$ cm.

Răspuns: $h = 15$ cm

EXERCIȚIUL 4Piramida hexagonală: raza este chiar laturamediu

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 21$ cm și muchia laterală $V A = 29$ cm. Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Piramida este regulată, deci piciorul înălțimii este centrul $O$ al hexagonului, iar $V O ⟂ O A$ .
Hexagonul regulat este format din șase triunghiuri echilaterale cu vârful în $O$ , deci $O A = A B = 21$ cm.
În triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $29^{2} - 21^{2} =$ $841 - 441 =$ $400$ .
$V O = 20$ cm.

Răspuns: $V O = 20$ cm

EXERCIȚIUL 5Din apotema piramidei patrulateremediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 14$ cm, iar apotema ei este $V M = 25$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Piciorul înălțimii este centrul $O$ al pătratului. $O M$ este apotema bazei: $O M =$ $\frac{A B}{2} =$ $7$ cm.
$V O$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $V O ⟂ O M$ : triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ .
$V O^{2} =$ $V M^{2} - O M^{2} =$ $625 - 49 =$ $576$ , deci $V O = 24$ cm.

Răspuns: $V O = 24$ cm

EXERCIȚIUL 6Când o muchie laterală este chiar înălțimeamediu

Piramida $V A B C D$ are baza dreptunghiul $A B C D$ , cu $A B = 9$ cm și $B C = 12$ cm. Muchia $V A$ este perpendiculară pe planul bazei, iar $V C = 25$ cm. Calculează înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

$V A$ este perpendiculară pe planul bazei și pleacă din vârf, deci $V A$ este înălțimea piramidei. Piciorul ei este vârful $A$ al bazei, nu centrul dreptunghiului.
Diagonala dreptunghiului: $A C^{2} =$ $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $A C = 15$ cm.
$V A ⟂ A C$ , deci triunghiul $V A C$ este dreptunghic în $A$ : $V A^{2} =$ $25^{2} - 15^{2} =$ $625 - 225 =$ $400$ .
$V A = 20$ cm.

Răspuns: $h = V A = 20$ cm

EXERCIȚIUL 7Muchii laterale egale peste un triunghi dreptunghicgreu

Piramida $V A B C$ are baza triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm, iar muchiile laterale sunt $V A = V B = V C = 13$ cm. Punctul $O$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ . Arată că $V O$ este înălțimea piramidei și calculează-o.

Figura nu arată unghiul drept în

O

: faptul că

V O

este perpendiculară pe bază trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza: $B C^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $B C = 10$ cm. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $O A = O B = O C = 5$ cm.
Triunghiul $V B C$ este isoscel ( $V B = V C$ ), deci mediana $V O$ este și înălțime: $V O ⟂ B C$ .
Triunghiurile $V O A$ și $V O B$ au $V A = V B$ , $O A = O B$ și latura $V O$ comună, deci sunt congruente (cazul LLL). Rezultă $m (∠ V O A) =$ $m (∠ V O B) =$ $90^{\circ}$ , adică $V O ⟂ O A$ .
$V O$ este perpendiculară pe dreptele concurente $B C$ și $O A$ din planul bazei, deci $V O ⟂ (A B C)$ : $V O$ este înălțimea.
În triunghiul $V O B$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $V O = 12$ cm.

Răspuns: $V O ⟂ (A B C)$ , $V O = 12$ cm

EXERCIȚIUL 8Înălțimea trunchiului de piramidă din muchia lateralăgreu

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are latura bazei mari $A B = 16$ cm, latura bazei mici $A^{'} B^{'} = 4$ cm și muchiile laterale de $11$ cm. Calculează înălțimea trunchiului.

Rezolvare pas cu pas

Fie $O$ și $O^{'}$ centrele bazelor. Înălțimea este $O O^{'}$ , iar $O A A^{'} O^{'}$ este un trapez dreptunghic ( $O A ∥ O^{'} A^{'}$ , $O O^{'}$ perpendiculară pe ambele baze).
Razele cercurilor circumscrise bazelor sunt jumătăți de diagonale: $O A =$ $\frac{16 \sqrt{2}}{2} =$ $8 \sqrt{2}$ cm și $O^{'} A^{'} =$ $\frac{4 \sqrt{2}}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ cm.
Cobori din $A^{'}$ perpendiculara $A^{'} T$ pe $O A$ . $O T A^{'} O^{'}$ este dreptunghi, deci $A^{'} T = O O^{'}$ și $T A =$ $8 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
În triunghiul $A^{'} T A$ , dreptunghic în $T$ , ipotenuza este muchia $A A^{'} = 11$ cm: $A^{'} T^{2} =$ $11^{2} - {(6 \sqrt{2})}^{2} =$ $121 - 72 =$ $49$ , deci $A^{'} T = 7$ cm.

Răspuns: $h = O O^{'} = 7$ cm

EXERCIȚIUL 9Tip Evaluare Națională: piramida tăiată paralel cu bazagreu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 18$ cm și apotema $V M = 15$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $A B$ , iar $O$ este centrul bazei. Un plan paralel cu baza taie înălțimea $V O$ în punctul $O^{'}$ , cu $V O^{'} = 8$ cm, și piramida după pătratul $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ; $M^{'}$ este mijlocul lui $A^{'} B^{'}$ . a) Calculează înălțimea piramidei. b) Calculează latura $A^{'} B^{'}$ . c) Calculează înălțimea trunchiului $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ și arată că apotema lui, $M M^{'}$ , are $5$ cm.

Rezolvare pas cu pas

a) $O M =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm. În triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $V O = 12$ cm.
b) Piramida mică $V A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este asemenea cu cea mare, cu raportul $\frac{V O^{'}}{V O} =$ $\frac{8}{12} =$ $\frac{2}{3}$ . Deci $A^{'} B^{'} =$ $\frac{2 \cdot 18}{3} =$ $12$ cm.
c) Înălțimea trunchiului este distanța dintre plane: $O O^{'} =$ $V O - V O^{'} =$ $12 - 8 =$ $4$ cm.
Apotema bazei mici este $O^{'} M^{'} =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm. În trapezul dreptunghic $O M M^{'} O^{'}$ , cateta orizontală este $9 - 6 = 3$ cm, deci apotema trunchiului: $M M^{' 2} =$ $4^{2} + 3^{2} =$ $25$ , adică $M M^{'} = 5$ cm.
Verificare: $V M^{'} =$ $\frac{2 \cdot 15}{3} =$ $10$ cm, iar $M M^{'} =$ $V M - V M^{'} =$ $15 - 10 =$ $5$ cm.

Răspuns: a) $V O = 12$ cm; b) $A^{'} B^{'} = 12$ cm; c) $O O^{'} = 4$ cm, $M M^{'} = 5$ cm

Cum afli repede unde cade înălțimea

Cuvântul „regulată” îți spune că piciorul înălțimii este centrul bazei. Alegi apoi triunghiul dreptunghic după ce ți se dă: cu muchia laterală folosești raza $R$ , cu apotema piramidei folosești apotema bazei.
Dacă piramida nu este regulată, dar toate muchiile laterale sunt egale, piciorul înălțimii este egal depărtat de vârfurile bazei, deci este centrul cercului circumscris bazei.
Dacă enunțul spune că o muchie laterală este perpendiculară pe planul bazei, acea muchie este înălțimea. La prismă dreaptă și cilindru, înălțimea este muchia laterală, respectiv generatoarea.

Greșeli frecvente la înălțimea piramidei

Iei muchia laterală sau apotema drept înălțime. La piramida regulată, muchia laterală $V A$ și apotema $V M$ sunt ipotenuze, deci sunt mai lungi decât înălțimea $V O$ . Înălțimea este singurul dintre ele perpendicular pe bază.
Pui piciorul înălțimii în centrul bazei la orice piramidă. Regula e valabilă doar la piramida regulată și la cea cu muchiile laterale egale (atunci e centrul cercului circumscris). Dacă o muchie laterală este perpendiculară pe bază, piciorul înălțimii este vârful bazei de la capătul acelei muchii.
La trunchi scazi lungimile greșite. Cateta orizontală din trapezul dreptunghic este diferența razelor $R - r$ (sau a apotemelor bazelor), nu diferența laturilor bazelor. La trunchiul cu laturile $16$ și $4$ , diferența razelor este $6 \sqrt{2}$ , nu $12$ .

Exersează : înălțimea piramidei

Fișă de lucru: Înălțimea piramidei, înălțimea conului, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Fișă de lucru: Înălțimea trunchiului de piramidă și a trunchiului de con, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre înălțimea piramidei

Care este diferența dintre înălțimea piramidei și apotema ei?

Înălțimea $V O$ coboară din vârf perpendicular pe planul bazei. Apotema $V M$ este înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf pe o latură a bazei. În triunghiul $V O M$ , apotema este ipotenuza, deci este mai lungă decât înălțimea.

Poate cădea înălțimea piramidei în afara bazei?

Da, la unele piramide care nu sunt regulate. De exemplu, dacă muchiile laterale sunt egale, piciorul este centrul cercului circumscris bazei, iar la un triunghi obtuzunghic acest centru este în afara triunghiului. La piramida regulată piciorul este în interiorul bazei, iar la cea cu o muchie perpendiculară pe bază, într-un vârf al bazei.

Cum se află înălțimea unui trunchi de piramidă?

Lucrezi în trapezul dreptunghic format de înălțime, cele două raze (sau apoteme) ale bazelor și muchia laterală (sau apotema trunchiului). Cobori o perpendiculară din baza mică și aplici Pitagora, cu cateta orizontală egală cu diferența razelor, respectiv a apotemelor bazelor.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este definiția înălțimii unei piramide?
2. La o piramidă regulată, piciorul înălțimii se află în:
3. Care este definiția înălțimii unui con?
4. Într-un con drept cu raza bazei $r = 3$ cm și generatoarea $l = 5$ cm, înălțimea $h$ este:
5. O piramidă regulată cu baza pătrată are latura bazei $a = 6$ cm și apotema feței laterale $a p = 5$ cm. Care este înălțimea piramidei?