UNGHIUL DINTRE O DREAPTĂ ȘI UN PLAN: proiecție și calcul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan, mereu cel mai mic unghi posibil. Mai jos găsești construcția pas cu pas, formulele cu sinus, cosinus și tangentă, și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

O dreaptă $d$ care nu este nici paralelă, nici cuprinsă în planul $α$ se numește oblică față de plan: îl intersectează într-un singur punct. Proiecția ei pe plan este dreapta obținută unind piciorul perpendicularei coborâte dintr-un punct al lui $d$ pe $α$ cu punctul de intersecție al lui $d$ cu $α$ .

Diagonala

A^{'} C

este oblică pe baza

(A B C)

; proiecția ei este

A C

, iar unghiul căutat este

∠ A^{'} C A

, în triunghiul dreptunghic

A C A^{'}

, drept în

C

$∠ (d, α) =$ $∠ (d, d^{'})$

unde $d^{'}$ este proiecția lui $d$ pe $α$ . Acesta este cel mai mic unghi pe care $d$ îl face cu orice dreaptă din $α$ , motiv pentru care se ia mereu față de proiecție, nu față de o dreaptă oarecare din plan.

Construcția, pas cu pas:

Alegi un punct $A$ pe dreapta oblică $d$ și cobori perpendiculara $A A^{'}$ pe planul $α$ , cu $A^{'} \in α$ .
Notezi cu $B$ punctul în care $d$ intersectează planul $α$ .
Unești $A^{'}$ cu $B$ : dreapta $A^{'} B$ este proiecția lui $d$ pe $α$ .
Unghiul căutat este $∠ A B A^{'}$ , în triunghiul dreptunghic $A A^{'} B$ , drept în $A^{'}$ .

Formulele, în triunghiul dreptunghic $A A^{'} B$ (cu $A B$ oblica, $A A^{'}$ perpendiculara pe plan și $A^{'} B$ proiecția):

$\sin θ =$ $\frac{A A^{'}}{A B}$ $\cos θ =$ $\frac{A^{'} B}{A B}$ $\tan θ =$ $\frac{A A^{'}}{A^{'} B}$

Cazuri particulare: dacă dreapta este paralelă cu planul (sau cuprinsă în el), unghiul este $0^{\circ}$ . Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul este $90^{\circ}$ , pentru că proiecția se reduce la un singur punct.

La un paralelipiped dreptunghic sau la o piramidă regulată, triunghiul dreptunghic apare automat: perpendiculara pe bază, raza sau diagonala bazei (proiecția) și muchia laterală sau diagonala spațială (oblica).

Exerciții rezolvate : unghiul dintre o dreaptă și un plan

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cazurile particulare, 0° și 90°ușor

O antenă este fixată vertical, perpendicular pe acoperișul plan al unei case. O ramură a unui copac crește orizontal, chiar deasupra unui gard drept, paralel cu solul. Ce unghi face fiecare dintre ele cu planul solului?

Rezolvare pas cu pas

Antena este perpendiculară pe planul acoperișului (deci și pe planul solului, dacă acoperișul e paralel cu solul): unghiul este $90^{\circ}$ , pentru că proiecția ei pe plan se reduce la un singur punct.
Ramura este paralelă cu solul: proiecția ei pe sol este o dreaptă paralelă cu ea însăși, de aceeași lungime, deci unghiul dintre ele este $0^{\circ}$ .

Răspuns: antena face $90^{\circ}$ cu solul, ramura face $0^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Proiecția unei diagonaleușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 5$ cm și $B C = 12$ cm. Calculează lungimea proiecției diagonalei $A^{'} C$ pe planul bazei $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Proiecția lui $A^{'} C$ pe planul bazei este chiar $A C$ , pentru că $A^{'}$ se proiectează în $A$ (muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe bază), iar $C$ este deja în plan.
Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ : $A C^{2} =$ $25 + 144 =$ $169$ , deci $A C = 13$ cm.

Răspuns: proiecția are $13$ cm

EXERCIȚIUL 3Unghiul de 45°mediu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 5$ cm, $B C = 12$ cm și $A A^{'} = 13$ cm. Calculează unghiul dintre diagonala $A^{'} C$ și planul bazei $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Proiecția lui $A^{'} C$ pe bază este $A C$ : $A C^{2} =$ $25 + 144 =$ $169$ , deci $A C = 13$ cm.
Unghiul căutat este $∠ A^{'} C A$ , în triunghiul dreptunghic $A C A^{'}$ , drept în $A$ , cu catetele $A A^{'} = 13$ cm și $A C = 13$ cm.
$\tan (∠ A^{'} C A) =$ $\frac{A A^{'}}{A C} =$ $\frac{13}{13} =$ $1$ .
Cum tangenta este 1, unghiul este $45^{\circ}$ .

Răspuns: $∠ (A^{'} C, (A B C)) =$ $45^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Diagonala cubuluimediu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de 8 cm. Calculează tangenta unghiului dintre diagonala $A C^{'}$ și planul bazei $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Proiecția lui $A C^{'}$ pe bază este $A C$ , diagonala pătratului $A B C D$ : $A C = 8 \sqrt{2}$ cm.
Unghiul căutat este $∠ C^{'} A C$ , în triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ , drept în $C$ , cu catetele $C C^{'} = 8$ cm și $A C = 8 \sqrt{2}$ cm.
$\tan (∠ C^{'} A C) =$ $\frac{C C^{'}}{A C} =$ $\frac{8}{8 \sqrt{2}} =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Răspuns: $\tan (∠ C^{'} A C) =$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

EXERCIȚIUL 5Muchia laterală a unei piramidemediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 6$ cm și înălțimea $V O = 6$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Calculează tangenta unghiului dintre muchia laterală $V A$ și planul bazei.

Rezolvare pas cu pas

Proiecția muchiei laterale $V A$ pe planul bazei este $O A$ (raza cercului circumscris bazei), pentru că $V O ⟂$ bază.
Diagonala bazei: $A C = 6 \sqrt{2}$ cm, deci $O A =$ $\frac{A C}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm.
Unghiul căutat este $∠ V A O$ , în triunghiul dreptunghic $V O A$ , drept în $O$ .
$\tan (∠ V A O) =$ $\frac{V O}{O A} =$ $\frac{6}{3 \sqrt{2}} =$ $\frac{2}{\sqrt{2}} =$ $\sqrt{2}$ .

Răspuns: $\tan (∠ V A O) =$ $\sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 6Drumul invers, din unghi la lungimimediu

O bară sprijinită oblic pe un plan orizontal face un unghi de $30^{\circ}$ cu planul. Proiecția ei pe plan are lungimea $12 \sqrt{3}$ cm. Calculează lungimea barei și înălțimea capătului liber față de plan.

Rezolvare pas cu pas

Notezi cu $h$ înălțimea capătului liber și cu $p = 12 \sqrt{3}$ cm proiecția. Din $\tan 30^{\circ} =$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\frac{h}{p} =$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
$h =$ $\frac{p}{\sqrt{3}} =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} =$ $12$ cm.
Lungimea barei este ipotenuza triunghiului dreptunghic: $l^{2} =$ $h^{2} + p^{2} =$ $144 + 432 =$ $576$ , deci $l = 24$ cm.

Răspuns: bara are $24$ cm, iar înălțimea capătului liber este $12$ cm

EXERCIȚIUL 7Înălțimea dintr-un unghi datgreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 9$ cm și $B C = 12$ cm. Diagonala $A^{'} C$ face un unghi de $45^{\circ}$ cu planul bazei. Calculează înălțimea $A A^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

Proiecția lui $A^{'} C$ pe bază este $A C$ : $A C^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $A C = 15$ cm.
Unghiul dintre $A^{'} C$ și bază este $∠ A^{'} C A$ , în triunghiul dreptunghic $A C A^{'}$ , drept în $A$ : $\tan 45^{\circ} =$ $\frac{A A^{'}}{A C}$ .
Cum $\tan 45^{\circ} = 1$ , rezultă $A A^{'} = A C = 15$ cm.

Răspuns: $A A^{'} = 15$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei $A B = 6 \sqrt{3}$ cm, iar unghiul dintre muchia laterală $V A$ și planul bazei este de $60^{\circ}$ . a) Calculează raza cercului circumscris bazei, $O A$ , unde $O$ este centrul bazei. b) Calculează înălțimea piramidei $V O$ . c) Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

a) Pentru triunghiul echilateral cu latura $l = 6 \sqrt{3}$ cm, raza cercului circumscris este $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{6 \cdot 3}{3} =$ $6$ cm.
b) Unghiul dintre $V A$ și planul bazei este $∠ V A O$ , în triunghiul dreptunghic $V O A$ , drept în $O$ : $\tan 60^{\circ} =$ $\frac{V O}{O A}$ .
Cum $\tan 60^{\circ} =$ $\sqrt{3}$ : $V O =$ $O A \cdot \sqrt{3} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
c) Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} =$ $\frac{108 \sqrt{3}}{4} =$ $27 \sqrt{3}$ cm² (din $l^{2} =$ ${(6 \sqrt{3})}^{2} =$ $108$ ).
Volumul: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot V O}{3} =$ $\frac{27 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{27 \cdot 6 \cdot 3}{3} =$ $27 \cdot 6 =$ $162$ cm³.

Răspuns: a) $O A = 6$ cm; b) $V O = 6 \sqrt{3}$ cm; c) $V = 162$ cm³

Cum recunoști un exercițiu pe unghiul dintre o dreaptă și un plan

Enunțul cere „unghiul dintre [o dreaptă] și planul [...]” sau „unghiul făcut de [...] cu baza”.
Construiești mereu același triunghi dreptunghic: oblica (ipotenuza), proiecția ei pe plan și perpendiculara pe plan (catetele).
Dacă dreapta este deja perpendiculară pe plan, unghiul este direct $90^{\circ}$ ; dacă e paralelă cu planul, unghiul este $0^{\circ}$ , fără niciun calcul.

Greșeli frecvente la unghiul dintre o dreaptă și un plan

Măsori unghiul față de o dreaptă oarecare din plan, nu față de proiecție. Unghiul dintre o dreaptă și un plan se ia mereu față de proiecția ortogonală a dreptei pe acel plan, nu față de o altă dreaptă aleasă la întâmplare din plan.
Confunzi ce e catetă și ce e ipotenuză în triunghiul dreptunghic. Oblica (dreapta din enunț) este mereu ipotenuza. Perpendiculara pe plan și proiecția sunt catetele. Dacă le inversezi, aplici sinus în loc de tangentă și rezultatul iese greșit.
Uiți cazurile particulare, 0° și 90°, și încerci să calculezi ceva. Dacă dreapta e paralelă cu planul, unghiul e direct $0^{\circ}$ . Dacă e perpendiculară pe plan, unghiul e direct $90^{\circ}$ . Nu ai nevoie de niciun calcul suplimentar în aceste cazuri.

Exersează : unghiul dintre o dreaptă și un plan

Fișă de lucru: Unghiul dintre o dreaptă și un plan, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Proiecții pe un plan, clasa a VIII-aPDF de printat, clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiul dintre o dreaptă și un plan

De ce se ia unghiul față de proiecție, nu față de altă dreaptă din plan?

Pentru că unghiul cu proiecția este cel mai mic dintre toate unghiurile pe care dreapta le face cu dreptele din plan. În geometrie, „unghiul dintre o dreaptă și un plan” înseamnă mereu acest unghi minim.

Ce unghi face o dreaptă perpendiculară pe un plan, cu acel plan?

$90^{\circ}$ . Proiecția unei drepte perpendiculare pe plan se reduce la un singur punct, deci practic nu mai există un triunghi dreptunghic de rezolvat.

Ce formulă folosesc dacă am ipotenuza și o catetă?

Dacă ai oblica (ipotenuza) și perpendiculara pe plan, folosești sinus: $\sin θ =$ $\frac{perpendiculara}{oblica}$ . Dacă ai perpendiculara și proiecția, folosești tangentă: $\tan θ =$ $\frac{perpendiculara}{proiecția}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 46. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan.

Exersează cu fișa de lucru: Unghiul dintre o dreaptă și un plan — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Cum se definește unghiul dintre o dreaptă oblică și un plan?
2. Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan este:
3. Un segment AB are lungimea $l$ și face un unghi $α$ cu planul. Care este lungimea proiecției sale pe plan?
4. Un segment de lungime 10 cm face un unghi de 30° cu planul. Cât este lungimea proiecției sale pe plan?
5. O dreaptă este perpendiculară pe un plan. Care este unghiul dintre dreaptă și plan?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 6 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ÎNĂLȚIMEA PIRAMIDEI unde cade piciorul și cum o calculezi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PLANE PERPENDICULARE: unghi diedru drept și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

UNGHI DIEDRU în cub, paralelipiped și piramidă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE: enunț, demonstrații și aplicații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

FUNCȚIA MATEMATICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună