VOLUMUL ȘI ARIA SFEREI: formule, emisfera și raza - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Pentru o sferă de rază $R$ , volumul este $V =$ $\frac{4 π R^{3}}{3}$ , iar aria este $A = 4 π R^{2}$ . Mai jos găsești formulele, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Sfera: definiție, volum și arie

Sfera de centru $O$ și rază $R$ este mulțimea punctelor din spațiu aflate la distanța $R$ de punctul $O$ . Un segment care unește două puncte ale sferei și trece prin centru este un diametru: $d = 2 R$ . Corpul mărginit de sferă se numește bilă.

Elipsa punctată în spate și continuă în față este cercul mare, văzut oblic.

Un plan care trece prin centru taie sfera după un cerc mare, cu centrul $O$ și raza $R$ .

$V =$ $\frac{4 π R^{3}}{3}$ $A = 4 π R^{2}$

Aria sferei este de 4 ori aria discului mare: $4 \cdot π R^{2}$ .
Raza din arie: $R^{2} =$ $\frac{A}{4 π}$ . Raza din volum: $R^{3} =$ $\frac{3 V}{4 π}$ .
Emisfera (jumătate de sferă): $V =$ $\frac{2 π R^{3}}{3}$ . Suprafața ei curbă are aria $2 π R^{2}$ , iar dacă adaugi și discul de bază, aria totală este $3 π R^{2}$ .
Dacă raza se mărește de $k$ ori, aria se mărește de $k^{2}$ ori, iar volumul de $k^{3}$ ori.

Unitățile: aria în ${cm}^{2}$ , volumul în ${cm}^{3}$ . Formulele pentru celelalte corpuri rotunde sunt la conul circular drept.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aria și volumul din razăușor

O sferă are raza $R = 6$ cm. Calculează aria și volumul sferei.

Rezolvare pas cu pas

Aria: $A =$ $4 π R^{2} =$ $4 π \cdot 6^{2} =$ $4 π \cdot 36 =$ $144 π$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{4 π R^{3}}{3} =$ $\frac{4 π \cdot 216}{3} =$ $4 π \cdot 72 =$ $288 π$ cm³.

Răspuns: $A = 144 π$ cm² și $V = 288 π$ cm³

EXERCIȚIUL 2Pornind de la diametruușor

Sfera de centru $O$ are diametrul $A B = 18$ cm. Calculează aria și volumul sferei.

Rezolvare pas cu pas

Întâi raza: $R =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.
$A =$ $4 π \cdot 9^{2} =$ $4 π \cdot 81 =$ $324 π$ cm².
$V =$ $\frac{4 π \cdot 9^{3}}{3} =$ $\frac{4 π \cdot 729}{3} =$ $4 π \cdot 243 =$ $972 π$ cm³.

Răspuns: $A = 324 π$ cm² și $V = 972 π$ cm³

EXERCIȚIUL 3Raza din arieușor

Aria unei sfere este $64 π$ cm². Calculează raza și volumul sferei.

Rezolvare pas cu pas

$4 π R^{2} = 64 π$ . Împărțim ambii membri la $4 π$ : $R^{2} = 16$ .
Raza este pozitivă, deci $R = 4$ cm.
$V =$ $\frac{4 π \cdot 4^{3}}{3} =$ $\frac{4 π \cdot 64}{3} =$ $\frac{256 π}{3}$ cm³.

Răspuns: $R = 4$ cm și $V =$ $\frac{256 π}{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 4Raza din volummediu

O bilă are volumul $36 π$ cm³. Calculează raza bilei și aria sferei care o mărginește.

Rezolvare pas cu pas

$\frac{4 π R^{3}}{3} =$ $36 π$ . Înmulțim cu 3: $4 π R^{3} = 108 π$ .
Împărțim la $4 π$ : $R^{3} = 27$ , deci $R = 3$ cm, pentru că $3^{3} = 27$ .
$A =$ $4 π \cdot 3^{2} =$ $36 π$ cm².

Răspuns: $R = 3$ cm și $A = 36 π$ cm²

EXERCIȚIUL 5Pornind de la cercul maremediu

Un plan care trece prin centrul $O$ al unei sfere o taie după un cerc cu lungimea de $20 π$ cm. Calculează aria și volumul sferei.

Cercul mare are centrul

O

și aceeași rază ca sfera:

O A = O M = R

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea prin centru este un cerc mare, cu raza egală cu raza sferei.
Lungimea cercului: $2 π R = 20 π$ , deci $R = 10$ cm.
$A =$ $4 π \cdot 10^{2} =$ $400 π$ cm².
$V =$ $\frac{4 π \cdot 10^{3}}{3} =$ $\frac{4000 π}{3}$ cm³.

Răspuns: $A = 400 π$ cm² și $V =$ $\frac{4000 π}{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 6Emisferamediu

Un corp are forma unei emisfere pline (o jumătate de bilă), cu centrul $O$ și raza $O B = 6$ cm. Calculează volumul emisferei și aria totală a suprafeței ei (partea curbă și discul de bază).

Figura arată secțiunea emisferei printr-un plan care trece prin

O

și e perpendicular pe bază: un semidisc.

A B

este un diametru al discului de bază, iar

O C

este o rază perpendiculară pe bază.

Rezolvare pas cu pas

Volumul emisferei este jumătate din volumul sferei: $V =$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{4 π \cdot 6^{3}}{3} =$ $\frac{1}{2} \cdot 288 π =$ $144 π$ cm³.
Partea curbă este jumătate din sferă: $\frac{1}{2} \cdot 4 π \cdot 6^{2} =$ $2 π \cdot 36 =$ $72 π$ cm².
Discul de bază are raza 6 cm: $π \cdot 6^{2} =$ $36 π$ cm².
Aria totală: $72 π + 36 π =$ $108 π$ cm².

Răspuns: $V = 144 π$ cm³ și $A_{totală} =$ $108 π$ cm²

EXERCIȚIUL 7Compararea a două sferegreu

O sferă are raza de 2 cm, iar alta are raza de 6 cm. Calculează raportul ariilor și raportul volumelor celor două sfere (sfera mică față de sfera mare).

Rezolvare pas cu pas

Raportul ariilor: $\frac{4 π \cdot 2^{2}}{4 π \cdot 6^{2}} =$ $\frac{4}{36} =$ $\frac{1}{9}$ .
Raportul volumelor: factorul $\frac{4 π}{3}$ se simplifică, deci rămâne $\frac{2^{3}}{6^{3}} =$ $\frac{8}{216} =$ $\frac{1}{27}$ .
Observație: raportul razelor este $\frac{1}{3}$ ; ariile sunt în raportul ${(\frac{1}{3})}^{2}$ , iar volumele în raportul ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

Răspuns: raportul ariilor este $\frac{1}{9}$ , raportul volumelor este $\frac{1}{27}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Un vas în formă de cilindru circular drept are diametrul bazei $A B = 12$ cm și conține apă până la înălțimea $A M = 10$ cm (vasul este destul de înalt, astfel încât apa nu se revarsă). În vas se pune o bilă de metal cu raza de 3 cm, care se scufundă complet. a) Calculează volumul bilei. b) Cu câți centimetri crește nivelul apei? c) Calculează aria suprafeței bilei.

Figura arată secțiunea axială a vasului (un dreptunghi) și secțiunea bilei printr-un plan care trece prin centrul ei.

M N

arată nivelul apei.

Rezolvare pas cu pas

a) $V_{bilă} =$ $\frac{4 π \cdot 3^{3}}{3} =$ $\frac{4 π \cdot 27}{3} =$ $36 π$ cm³.
b) Raza bazei vasului este $12 : 2 = 6$ cm, deci aria bazei este $π \cdot 6^{2} =$ $36 π$ cm².
Apa urcă exact cu volumul bilei. Dacă nivelul crește cu $h$ cm, volumul în plus este un cilindru: $36 π \cdot h =$ $36 π$ , deci $h = 1$ cm.
Bila are diametrul 6 cm, mai mic decât înălțimea apei, deci este acoperită complet; apa ajunge la $10 + 1 = 11$ cm.
c) $A =$ $4 π \cdot 3^{2} =$ $36 π$ cm².

Răspuns: a) $36 π$ cm³; b) nivelul crește cu 1 cm; c) $36 π$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe sferă

Enunțul vorbește despre o sferă, o bilă, o minge, un glob sau o emisferă (bol, cupolă): folosești $V =$ $\frac{4 π R^{3}}{3}$ și $A = 4 π R^{2}$ .
Se dă aria sau volumul și se cere raza: scrii formula ca ecuație și afli $R^{2}$ sau $R^{3}$ .
Un corp se scufundă într-un vas cu apă: volumul corpului este egal cu volumul apei care urcă.

Greșeli frecvente

Pui diametrul în locul razei. Dacă enunțul dă diametrul, împarți întâi la 2. Cu diametrul în formulă, aria iese de 4 ori mai mare, iar volumul de 8 ori mai mare.
Încurci puterile. La arie raza este la pătrat ( $R^{2}$ ), la volum este la cub ( $R^{3}$ ). O verificare rapidă: aria se măsoară în cm², volumul în cm³.
La emisferă uiți discul de bază. Aria totală a unei emisfere pline este partea curbă $2 π R^{2}$ plus discul $π R^{2}$ , adică $3 π R^{2}$ , nu doar $2 π R^{2}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Sfera, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, cilindrul circular dreptPDF de printat, clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care este formula volumului sferei?

$V =$ $\frac{4 π R^{3}}{3}$ , unde $R$ este raza. De exemplu, pentru $R = 3$ cm, $V = 36 π$ cm³.

Care este formula ariei sferei?

$A = 4 π R^{2}$ . Pentru $R = 5$ cm, $A = 100 π$ cm².

Cum calculez cu π ≈ 3,14?

Lași rezultatul cu $π$ până la final, apoi înmulțești. De exemplu, $36 π \approx 36 \cdot 3,14 =$ $113,04$ cm³. Dacă enunțul nu cere o aproximare, răspunsul cu $π$ este cel exact.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula ariei suprafeței unei sfere de rază $r$ ?
2. Care este formula volumului unei sfere de rază $r$ ?
3. O sferă are raza $r = 3$ cm. Care este aria suprafeței sale?
4. O sferă are diametrul $d = 6$ cm. Care este volumul său?
5. Dacă aria suprafeței unei sfere este $100 π$ cm $^{2}$ , care este raza sferei?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 18 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

TRUNCHIUL DE CON generatoare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună