TRUNCHIUL DE CON generatoare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 2 octombrie 2026

Trunchiul de con are două baze, discuri de raze $R$ și $r$ , iar volumul lui este $V =$ $\frac{π h (R^{2} + R r + r^{2})}{3}$ . Mai jos găsești cum afli generatoarea, formulele pentru arii, legătura cu conul din care provine și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Elementele și formulele trunchiului de con

Dacă tai un con circular drept cu un plan paralel cu baza, partea dinspre bază este un trunchi de con circular drept. Are două baze paralele, ambele discuri: baza mare, de rază $R$ , și baza mică, de rază $r$ . Distanța dintre centrele bazelor, $O O^{'}$ , este înălțimea $h$ , iar segmentul $A A^{'}$ care unește capetele a două raze paralele este o generatoare, notată $G$ .

Generatoarea

G

este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele

h

și

R - r

Generatoarea. Din $A^{'}$ cobori perpendiculara $A^{'} T$ pe raza $O A$ . Se formează triunghiul dreptunghic $A^{'} T A$ , cu catetele $A^{'} T = h$ și $T A = R - r$ , iar ipotenuza este generatoarea. Din teorema lui Pitagora:

$G^{2} =$ $h^{2} + {(R - r)}^{2}$

Secțiunea axială (tăietura printr-un plan care conține axa $O O^{'}$ ) este un trapez isoscel cu bazele $2 R$ și $2 r$ , înălțimea $h$ și laturile neparalele egale cu $G$ . Multe exerciții pornesc de la acest trapez.

Aria laterală, aria totală și volumul:

$A_{l} = π G (R + r)$

$A_{t} =$ $A_{l} + π R^{2} + π r^{2}$

$V =$ $\frac{π h (R^{2} + R r + r^{2})}{3}$

Aria totală adaugă la suprafața laterală cele două discuri de la baze. În formula volumului, paranteza are trei termeni, iar termenul din mijloc, $R r$ , este cel care se uită cel mai des. Dacă $r = 0$ , baza mică dispare și formulele devin cele ale conului: $A_{l} = π R G$ și $V =$ $\frac{π R^{2} h}{3}$ . O verificare utilă când nu ești sigur de formulă.

Legătura cu conul. Trunchiul este un con mare din care s-a scos conul mic de deasupra planului de tăiere. De aceea volumul trunchiului se poate afla și ca diferență de volume, iar razele se află din raportul înălțimilor (conul mic și conul mare sunt asemenea).

Rezultatele se lasă de obicei în funcție de $π$ , de exemplu $84 π$ cm³. Dacă enunțul cere o valoare aproximativă, folosești $π \approx 3,14$ și îți amintești că $1$ litru $= 1$ dm³ $= 1000$ cm³.

Exerciții rezolvate : trunchiul de con

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Generatoarea din raze și înălțimeușor

Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari $R = 9$ cm, raza bazei mici $r = 4$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează generatoarea.

Rezolvare pas cu pas

Diferența razelor este $R - r = 9 - 4 = 5$ cm. Ea și înălțimea sunt catetele triunghiului dreptunghic din secțiunea axială.
$G^{2} =$ $h^{2} + {(R - r)}^{2} =$ $12^{2} + 5^{2} =$ $144 + 25 =$ $169$ .
$G = \sqrt{169} = 13$ cm.

Răspuns: $G = 13$ cm

EXERCIȚIUL 2Aria laterală și aria totalăușor

Un trunchi de con are razele bazelor $R = 7$ cm și $r = 3$ cm, iar generatoarea $G = 10$ cm. Calculează aria laterală și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Generatoarea este dată, deci aplici direct formula: $A_{l} =$ $π G (R + r) =$ $π \cdot 10 \cdot (7 + 3) =$ $100 π$ cm².
Ariile bazelor: $π R^{2} = 49 π$ cm² și $π r^{2} = 9 π$ cm².
$A_{t} =$ $100 π + 49 π + 9 π =$ $158 π$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 100 π$ cm², $A_{t} = 158 π$ cm²

EXERCIȚIUL 3Volumul cu formula cu trei termeniușor

Calculează volumul unui trunchi de con cu razele bazelor $R = 6$ cm și $r = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi întâi paranteza: $R^{2} + R r + r^{2} =$ $36 + 18 + 9 =$ $63$ .
$V =$ $\frac{π \cdot 4 \cdot 63}{3} =$ $\frac{252 π}{3} =$ $84 π$ cm³.
Dacă ai fi uitat termenul $R r = 18$ , ai fi obținut $60 π$ cm³, un rezultat greșit.

Răspuns: $V = 84 π$ cm³

EXERCIȚIUL 4Toate formulele, pe rândmediu

Un trunchi de con are $R = 10$ cm, $r = 4$ cm și $h = 8$ cm. Calculează generatoarea, aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare pas cu pas

$G^{2} =$ $8^{2} + {(10 - 4)}^{2} =$ $64 + 36 =$ $100$ , deci $G = 10$ cm.
$A_{l} =$ $π \cdot 10 \cdot (10 + 4) =$ $140 π$ cm².
$A_{t} =$ $140 π + 100 π + 16 π =$ $256 π$ cm².
$V =$ $\frac{π \cdot 8 \cdot (100 + 40 + 16)}{3} =$ $\frac{8 \cdot 156 π}{3} =$ $416 π$ cm³.

Răspuns: $G = 10$ cm, $A_{l} = 140 π$ cm², $A_{t} = 256 π$ cm², $V = 416 π$ cm³

EXERCIȚIUL 5Pornind de la secțiunea axialămediu

Secțiunea axială a unui trunchi de con este trapezul isoscel $A B A^{'} B^{'}$ , cu bazele $A B = 16$ cm și $A^{'} B^{'} = 6$ cm și laturile neparalele de $13$ cm. Calculează aria secțiunii axiale și volumul trunchiului.

Rezolvare pas cu pas

Bazele trapezului sunt diametrele bazelor trunchiului, deci $R = 8$ cm și $r = 3$ cm, iar laturile neparalele sunt generatoare: $G = 13$ cm.
Înălțimea: $h^{2} =$ $G^{2} - {(R - r)}^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $h = 12$ cm.
Aria trapezului: $\frac{(16 + 6) \cdot 12}{2} =$ $132$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{π \cdot 12 \cdot (64 + 24 + 9)}{3} =$ $4 \cdot 97 π =$ $388 π$ cm³.

Răspuns: aria secțiunii axiale $= 132$ cm², $V = 388 π$ cm³

EXERCIȚIUL 6Câți litri încap în găleatămediu

O găleată are forma unui trunchi de con circular drept: raza fundului este de $10$ cm, raza gurii de $15$ cm, iar înălțimea de $30$ cm. Calculează volumul găleții și arată că încap în ea aproximativ $15$ litri (folosește $π \approx 3,14$ ).

Rezolvare pas cu pas

Raza mare este cea a gurii, $R = 15$ cm, iar raza mică este cea a fundului, $r = 10$ cm. Formula nu depinde de care bază e sus.
$R^{2} + R r + r^{2} =$ $225 + 150 + 100 =$ $475$ .
$V =$ $\frac{π \cdot 30 \cdot 475}{3} =$ $4750 π$ cm³.
Aproximativ: $4750 \cdot 3,14 =$ $14915$ cm³, adică $14,915$ dm³, deci aproximativ $14,9$ litri, cam $15$ litri.

Răspuns: $V = 4750 π$ cm³ $\approx 14,9$ litri

EXERCIȚIUL 7Trunchiul ca diferență de două conurigreu

Un con circular drept are raza bazei $O A = 10$ cm și înălțimea $V O = 15$ cm. Conul se taie cu un plan paralel cu baza, la $6$ cm de vârf, iar secțiunea este un disc cu centrul $O^{'}$ și raza $O^{'} A^{'}$ . Calculează raza $O^{'} A^{'}$ și volumul trunchiului de con obținut, în două moduri.

Pe figură sunt date doar raza conului mare și poziția planului; lungimea

O^{'} A^{'}

se calculează.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiurile $V O^{'} A^{'}$ și $V O A$ sunt asemenea ( $O^{'} A^{'} ∥ O A$ ), deci $\frac{O^{'} A^{'}}{O A} =$ $\frac{V O^{'}}{V O}$ , adică $\frac{O^{'} A^{'}}{10} =$ $\frac{6}{15}$ , de unde $O^{'} A^{'} = 4$ cm.
Trunchiul are $R = 10$ cm, $r = 4$ cm și $h = 15 - 6 = 9$ cm.
Modul 1, cu formula trunchiului: $V =$ $\frac{π \cdot 9 \cdot (100 + 40 + 16)}{3} =$ $3 \cdot 156 π =$ $468 π$ cm³.
Modul 2, prin diferență: conul mare are $\frac{π \cdot 100 \cdot 15}{3} =$ $500 π$ cm³, conul mic are $\frac{π \cdot 16 \cdot 6}{3} =$ $32 π$ cm³.
$500 π - 32 π =$ $468 π$ cm³, același rezultat.

Răspuns: $O^{'} A^{'} = 4$ cm, volumul trunchiului $V = 468 π$ cm³

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: ghiveciul de florigreu

Un ghiveci are forma unui trunchi de con circular drept, cu raza fundului de $12$ cm, raza gurii de $20$ cm și înălțimea de $15$ cm. a) Calculează generatoarea trunchiului. b) Suprafața laterală a ghiveciului se vopsește. Calculează aria acestei suprafețe (folosește $π \approx 3,14$ ). c) Arată că în ghiveci încap mai mult de $12$ litri de pământ.

Rezolvare pas cu pas

a) $R = 20$ cm, $r = 12$ cm, deci $R - r = 8$ cm și $G^{2} =$ $15^{2} + 8^{2} =$ $225 + 64 =$ $289$ , adică $G = 17$ cm.
b) $A_{l} =$ $π \cdot 17 \cdot (20 + 12) =$ $544 π$ cm², iar $544 \cdot 3,14 =$ $1708,16$ cm².
c) $R^{2} + R r + r^{2} =$ $400 + 240 + 144 =$ $784$ , deci $V =$ $\frac{π \cdot 15 \cdot 784}{3} =$ $3920 π$ cm³.
$3920 \cdot 3,14 =$ $12308,8$ cm³. Cum $12$ litri $= 12000$ cm³ și $12308,8 > 12000$ , încap mai mult de $12$ litri.

Răspuns: a) $G = 17$ cm; b) $A_{l} =$ $544 π \approx 1708,16$ cm²; c) $V =$ $3920 π \approx 12308,8$ cm³ $> 12$ litri

Cum recunoști un exercițiu cu trunchi de con

Enunțul dă două raze (sau două diametre) și o înălțime ori o generatoare: primul pas este aproape mereu generatoarea sau înălțimea, din triunghiul dreptunghic cu cateta $R - r$ .
Obiectele „cu gura mai largă decât fundul”: găleți, pahare, ghivece, abajururi. Aria materialului este aria laterală (plus fundul, dacă obiectul îl are), iar ce încape în el este volumul.
Dacă apare un con tăiat cu un plan paralel cu baza, lucrezi cu asemănarea: raportul razelor este egal cu raportul distanțelor de la vârf.

Greșeli frecvente la trunchiul de con

Uiți termenul $R r$ din volum. Paranteza din formula volumului are trei termeni: $R^{2} + R r + r^{2}$ . Cu doar doi termeni, rezultatul este greșit.
Pui $R$ în loc de $R - r$ la generatoare. Cateta orizontală a triunghiului dreptunghic este diferența razelor, nu raza bazei mari: $G^{2} =$ $h^{2} + {(R - r)}^{2}$ .
Folosești diametrele în loc de raze. Dacă enunțul dă diametrele sau bazele secțiunii axiale, le împarți la $2$ înainte să le pui în formule.

Exersează : trunchiul de con

Fișă de lucru: Arii și volum trunchi de con circular drept, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Arii și volume ale corpurilor geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Secțiuni paralele cu bazele, trunchiul de conclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre trunchiul de con

Care este formula volumului trunchiului de con?

$V =$ $\frac{π h (R^{2} + R r + r^{2})}{3}$ , unde $R$ și $r$ sunt razele bazelor, iar $h$ este înălțimea.

Cum aflu generatoarea trunchiului de con?

Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul dreptunghic cu catetele $h$ și $R - r$ : $G =$ $\sqrt{h^{2} + {(R - r)}^{2}}$ .

Ce formă are secțiunea axială a trunchiului de con?

Este un trapez isoscel. Bazele lui sunt diametrele celor două baze, $2 R$ și $2 r$ , înălțimea este $h$ , iar laturile neparalele sunt generatoare.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula ariei laterale a unui trunchi de con circular drept cu razele bazelor $R$ și $r$ și generatoarea $l$ ?
2. Un trunchi de con are raza bazei mari $R = 6$ cm, raza bazei mici $r = 2$ cm și generatoarea $l = 5$ cm. Care este aria laterală a trunchiului de con?
3. Care este formula ariei totale a unui trunchi de con circular drept cu razele bazelor $R$ și $r$ și generatoarea $l$ ?
4. Care este formula volumului unui trunchi de con circular drept cu razele bazelor $R$ și $r$ și înălțimea $h$ ?
5. Un trunchi de con are $R = 3$ cm, $r = 1$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Care este volumul său?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

VOLUMUL ȘI ARIA SFEREI: formule, emisfera și raza - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună