ARIA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC cu catete sau cu ipotenuză - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Într-un triunghi dreptunghic, aria este produsul catetelor împărțit la 2: $A=$ ${\displaystyle \frac{c_1\cdot c_2}{2}}$. Mai jos găsești formulele cu figură, legătura cu înălțimea și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Formulele pentru aria triunghiului dreptunghic

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aria din cateteușor

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Calculează aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

1. $AB$ și $AC$ sunt catetele, pentru că formează unghiul drept.
2. $A_{ABC}=$ ${\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{6\cdot 8}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{48}{2}}=$ $24$ cm².

Răspuns: $A_{ABC}=24$ cm²

EXERCIȚIUL 2Atenție la unitățiușor

Un triunghi dreptunghic are catetele de $\mathrm{1,2}$ dm și $9$ cm. Calculează aria lui în cm².

Rezolvare pas cu pas

1. Transformăm în aceeași unitate: $\mathrm{1,2}$ dm $=12$ cm.
2. $A=$ ${\displaystyle \frac{12\cdot 9}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{108}{2}}=$ $54$ cm².

Răspuns: $A=54$ cm²

EXERCIȚIUL 3Drumul invers: cateta din arieușor

Triunghiul $DEF$ este dreptunghic în $D$, are aria de $42$ cm² și cateta $DE=7$ cm. Calculează cateta $DF$.

Rezolvare pas cu pas

1. Scriem formula: ${\displaystyle \frac{DE\cdot DF}{2}}=$ $42$.
2. Înmulțim cu 2: $DE\cdot DF=84$, adică $7\cdot DF=84$.
3. $DF=84:7=12$ cm.

Răspuns: $DF=12$ cm

EXERCIȚIUL 4Aria din ipotenuză și înălțimeușor

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$. Ipotenuza $BC$ are $25$ cm, iar înălțimea $AD$ are $12$ cm. Calculează aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

1. Luăm ipotenuza drept bază; înălțimea corespunzătoare ei este $AD$.
2. $A_{ABC}=$ ${\displaystyle \frac{BC\cdot AD}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{25\cdot 12}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{300}{2}}=$ $150$ cm².

Răspuns: $A_{ABC}=150$ cm²

EXERCIȚIUL 5Întâi Pitagora, apoi ariamediu

Triunghiul $MNP$ este dreptunghic în $M$, cu cateta $MN=5$ cm și ipotenuza $NP=13$ cm. Calculează aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

1. Ne lipsește cateta $MP$. Din teorema lui Pitagora: $M{P}^2=$ $N{P}^2-M{N}^2=$ $169-25=$ $144$.
2. $MP=\sqrt{144}=12$ cm.
3. $A_{MNP}=$ ${\displaystyle \frac{MN\cdot MP}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{5\cdot 12}{2}}=$ $30$ cm².

Răspuns: $A_{MNP}=30$ cm²

EXERCIȚIUL 6Înălțimea pe ipotenuzămediu

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=15$ cm și $AC=20$ cm, iar $AD⟂BC$, $D\in BC$. Calculează aria triunghiului și lungimea înălțimii $AD$.

Rezolvare pas cu pas

1. $A_{ABC}=$ ${\displaystyle \frac{15\cdot 20}{2}}=$ $150$ cm².
2. Din teorema lui Pitagora: $B{C}^2=$ ${15}^2+{20}^2=$ $225+400=$ $625$, deci $BC=25$ cm.
3. $AD=$ ${\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{BC}}=$ ${\displaystyle \frac{15\cdot 20}{25}}=$ ${\displaystyle \frac{300}{25}}=$ $12$ cm.

Răspuns: $A_{ABC}=150$ cm², $AD=12$ cm

EXERCIȚIUL 7Triunghiul dreptunghic isoscelgreu

Triunghiul $DEF$ este dreptunghic în $D$, cu $DE=DF$ și ipotenuza $EF=10$ cm. Calculează aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm $DE=DF=c$. Din teorema lui Pitagora: $c^2+c^2=E{F}^2$, adică $2c^2=100$.
2. Rezultă $c^2=50$.
3. $A_{DEF}=$ ${\displaystyle \frac{c\cdot c}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{c^2}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{50}{2}}=$ $25$ cm². Nu a fost nevoie să calculăm $c=5\sqrt{2}$ cm.

Răspuns: $A_{DEF}=25$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: distanța la diagonalăgreu

Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=16$ cm și $BC=12$ cm. a) Calculează aria triunghiului $ABC$. b) Calculează distanța de la punctul $B$ la dreapta $AC$.

Rezolvare pas cu pas

1. a) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, cu catetele $AB$ și $BC$: $A_{ABC}=$ ${\displaystyle \frac{16\cdot 12}{2}}=$ $96$ cm².
2. b) Ducem $BE⟂AC$, $E\in AC$. Distanța cerută este $BE$.
3. Din teorema lui Pitagora: $A{C}^2=$ ${16}^2+{12}^2=$ $256+144=$ $400$, deci $AC=20$ cm.
4. $BE=$ ${\displaystyle \frac{AB\cdot BC}{AC}}=$ ${\displaystyle \frac{16\cdot 12}{20}}=$ ${\displaystyle \frac{192}{20}}=$ $\mathrm{9,6}$ cm.

Răspuns: a) $96$ cm²; b) $\mathrm{9,6}$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe aria triunghiului dreptunghic

• Enunțul spune „triunghi dreptunghic” și cere aria: cauți cele două catete.
• Se cere „înălțimea pe ipotenuză” sau „distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză”: scrii aria în două feluri.
• Apare un dreptunghi tăiat de o diagonală: fiecare jumătate este un triunghi dreptunghic cu aria jumătate din aria dreptunghiului.

Greșeli frecvente

• Înmulțești o catetă cu ipotenuza. Formula ${\displaystyle \frac{c_1\cdot c_2}{2}}$ folosește doar catetele. Ipotenuza merge doar împreună cu înălțimea dusă pe ea.
• Uiți să împarți la 2. Produsul catetelor este aria dreptunghiului format de ele; triunghiul este jumătate din el.
• Amesteci unitățile de măsură. Transformă toate lungimile în aceeași unitate înainte de calcul, iar aria o scrii în unități pătrate (cm², m²).

Exersează

Din același capitol

• Triunghiul dreptunghic isoscel: arie și ipotenuză
• Triunghiul dreptunghic
• Înălțimea în triunghiul dreptunghic (teorema înălțimii)
• Aria triunghiului: formula generală
• Ariile figurilor geometrice: toate formulele
• Aria triunghiului isoscel
• Aria dreptunghiului
• Aria paralelogramului
• Aria trapezului
• Ipotenuza și catetele

Întrebări frecvente