MEDIATOARELE LATURILOR UNUI TRIUNGHI și circumcentrul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. Mediatoarea unei laturi trece, prin definiție, prin mijlocul acelei laturi.
2. $M$ fiind mijlocul lui $BC$, $BM=$ $MC=$ ${\displaystyle \frac{BC}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{18}{2}}=$ $9$ cm.

Răspuns: $BM=9$ cm

1. Circumcentrul se află pe mediatoarea fiecărei laturi, deci este egal depărtat de fiecare pereche de vârfuri: $OA=OB=OC$.
2. Din $OA=7$ cm rezultă direct $OB=7$ cm și $OC=7$ cm.

Răspuns: $OB=OC=7$ cm

1. La orice triunghi dreptunghic, circumcentrul se află exact la mijlocul ipotenuzei, nu în vârful unghiului drept (acolo e ortocentrul, nu circumcentrul).
2. Aici, ipotenuza este $BC$ (latura opusă unghiului drept din $A$), deci $O$ este mijlocul lui $BC$.

Răspuns: $O$ este mijlocul ipotenuzei $BC$

1. La triunghiul dreptunghic, circumcentrul $O$ este mijlocul ipotenuzei, deci raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză: $R={\displaystyle \frac{BC}{2}}$.
2. $R=$ ${\displaystyle \frac{26}{2}}=$ $13$ cm.

Răspuns: $R=13$ cm

1. $O$ este pe mediatoarea lui $AB$, deci $OA=OB$; rezultă $OB=20$ cm.
2. $O$ este și pe mediatoarea lui $AC$, deci $OA=OC$; rezultă $OC=20$ cm.
3. Fiindcă $O$ este egal depărtat de toate cele trei vârfuri, el se află automat și pe mediatoarea celei de-a treia laturi, $BC$: este chiar circumcentrul triunghiului, punctul de concurență al tuturor celor trei mediatoare.

Răspuns: $OB=OC=20$ cm; $O$ este circumcentrul pentru că e egal depărtat de toate cele trei vârfuri

1. Un unghi de ${100}^{\circ }$ este obtuz, deci triunghiul $MNP$ este obtuzunghic.
2. La orice triunghi obtuzunghic, circumcentrul se află în exteriorul triunghiului.

Răspuns: circumcentrul $O$ se află în exteriorul triunghiului $MNP$

1. Un punct se află pe mediatoarea unui segment exact atunci când este egal depărtat de capetele acelui segment (proprietatea mediatoarei și reciproca ei).
2. Din ipoteză, $AB=AC$, adică $A$ este egal depărtat de $B$ și de $C$.
3. Fiindcă $A$ este egal depărtat de capetele segmentului $BC$, rezultă, conform reciprocei proprietății mediatoarei, că $A$ se află pe mediatoarea lui $BC$.

Răspuns: mediatoarea lui $BC$ trece prin $A$, pentru că $AB=AC$ înseamnă că $A$ e egal depărtat de $B$ și $C$

1. Poziția circumcentrului este legată direct de tipul triunghiului: interior la triunghiul ascuțitunghic, pe ipotenuză la triunghiul dreptunghic, exterior la triunghiul obtuzunghic.
2. Fiindcă $O$ este în exterior, triunghiul $ABC$ trebuie să fie obtuzunghic.
3. Într-un triunghi obtuzunghic, exact unul dintre unghiuri este obtuz (mai mare de ${90}^{\circ }$), iar celelalte două sunt ascuțite; suma lor rămâne, ca în orice triunghi, ${180}^{\circ }$.

Răspuns: triunghiul $ABC$ este obtuzunghic: are exact un unghi obtuz, iar celelalte două sunt ascuțite