BISECTOAREA UNUI UNGHI: proprietăți și incentrul triunghiului - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare de jumătate din unghiul inițial.
2. $m(\angle AOC)=$ $m(\angle COB)=$ ${\displaystyle \frac{{96}^{\circ }}{2}}=$ ${48}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOC)=$ $m(\angle COB)=$ ${48}^{\circ }$

1. $OP$ fiind bisectoare, cele două jumătăți sunt egale: $m(\angle MOP)=$ $m(\angle PON)=$ ${27}^{\circ }$.
2. $m(\angle MON)=$ $m(\angle MOP)+m(\angle PON)=$ ${27}^{\circ }+{27}^{\circ }=$ ${54}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle MON)=$ ${54}^{\circ }$

1. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului.
2. Fiindcă $P$ este pe bisectoare, distanța de la $P$ la $OA$ este egală cu distanța de la $P$ la $OB$.
3. Distanța de la $P$ la $OB$ este tot $6$ cm.

Răspuns: $6$ cm

1. În triunghiul $AIB$, unghiul din $A$ este jumătate din unghiul $\angle BAC$, fiindcă $AI$ este bisectoarea lui: $m(\angle IAB)=$ ${\displaystyle \frac{{84}^{\circ }}{2}}=$ ${42}^{\circ }$.
2. La fel, unghiul din $B$ este jumătate din $\angle ABC$: $m(\angle IBA)=$ ${\displaystyle \frac{{58}^{\circ }}{2}}=$ ${29}^{\circ }$.
3. Suma unghiurilor triunghiului $AIB$ este ${180}^{\circ }$, deci $m(\angle AIB)=$ ${180}^{\circ }-{42}^{\circ }-{29}^{\circ }=$ ${109}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AIB)=$ ${109}^{\circ }$

1. Fiindcă $OC$ este bisectoare, cele două unghiuri formate sunt egale: $3x-4=x+20$.
2. Rezolvi ecuația: $3x-x=20+4$, adică $2x=24$, deci $x=12$.
3. Fiecare parte: $m(\angle MOC)=$ $3\cdot 12-4=$ ${32}^{\circ }$ (verificare: $m(\angle CON)=$ $12+20=$ ${32}^{\circ }$, la fel).
4. $m(\angle MON)=$ ${32}^{\circ }+{32}^{\circ }=$ ${64}^{\circ }$.

Răspuns: $x=12$, $m(\angle MON)=$ ${64}^{\circ }$

1. $I$ se află pe bisectoarea unghiului din $A$, deci, prin proprietatea bisectoarei, este egal depărtat de laturile $AB$ și $AC$.
2. $I$ se află și pe bisectoarea unghiului din $B$, deci este egal depărtat și de laturile $AB$ și $BC$.
3. Din cele două, distanța de la $I$ la $AB$, la $BC$ și la $CA$ este aceeași pentru toate cele trei laturi, ceea ce face din $I$ centrul cercului tangent la toate cele trei laturi: cercul înscris în triunghi.

Răspuns: $I$ e pe bisectoarele din $A$ și din $B$, deci egal depărtat de $AB$-$AC$ și de $AB$-$BC$; combinate, e egal depărtat de toate cele trei laturi

1. Din suma unghiurilor triunghiului $ABC$: $m(\angle A)+m(\angle B)=$ ${180}^{\circ }-m(\angle C)=$ ${180}^{\circ }-{44}^{\circ }=$ ${136}^{\circ }$.
2. În triunghiul $AIB$: $m(\angle IAB)+m(\angle IBA)=$ ${\displaystyle \frac{m(\angle A)}{2}}+$ ${\displaystyle \frac{m(\angle B)}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{m(\angle A)+m(\angle B)}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{{136}^{\circ }}{2}}=$ ${68}^{\circ }$.
3. Suma unghiurilor triunghiului $AIB$ este ${180}^{\circ }$, deci $m(\angle AIB)=$ ${180}^{\circ }-{68}^{\circ }=$ ${112}^{\circ }$.
4. Observație: rezultatul nu depinde deloc de cum se împarte cele ${136}^{\circ }$ între $A$ și $B$ separat, ci doar de suma lor, ceea ce arată de ce a fost suficient un singur unghi, $C$.

Răspuns: $m(\angle AIB)=$ ${112}^{\circ }$

1. Compari triunghiurile $ABD$ și $ACD$: au $AB=AC$ (ipoteză), $BD=DC$ ($D$ este mijlocul lui $BC$) și latura comună $AD$.
2. Cu cele trei perechi de laturi egale, triunghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt congruente (cazul LLL).
3. Din congruență rezultă $m(\angle BAD)=$ $m(\angle CAD)$, deci $AD$ împarte unghiul $\angle BAC$ în două unghiuri egale: $AD$ este bisectoarea din $A$.
4. Tot din congruență rezultă $m(\angle ADB)=$ $m(\angle ADC)$; cum cele două unghiuri sunt și suplementare ($D$ e pe $BC$), fiecare este ${90}^{\circ }$, deci $AD⟂BC$: $AD$ este și înălțimea din $A$.
5. Fiindcă $D$ este chiar mijlocul lui $BC$ (dat din ipoteză), $AD$ este, prin definiție, și mediana din $A$. Toate trei coincid.

Răspuns: la triunghiul isoscel, mediana, înălțimea și bisectoarea din vârful dintre laturile egale sunt același segment $AD$