DREPTE PERPENDICULARE: proprietăți și distanța la o dreaptă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând un unghi de $90^{\circ}$ , iar distanța de la un punct la o dreaptă este chiar lungimea perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă. Mai jos găsești proprietățile, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Drepte perpendiculare și distanța de la un punct la o dreaptă

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând un unghi de $90^{\circ}$ . Notezi perpendicularitatea cu simbolul $⟂$ : dacă $d_{1}$ e perpendiculară pe $d_{2}$ , scrii $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Când două drepte sunt perpendiculare, ele formează de fapt patru unghiuri la intersecție, toate egale cu $90^{\circ}$ : unghiul dat și cel opus lui la vârf sunt evident egale, iar fiecare dintre celelalte două este suplementar cu $90^{\circ}$ , deci tot $90^{\circ}$ .

Dreptele

d_{1}

și

d_{2}

sunt perpendiculare în

O

; distanța de la

P

la dreapta

d

este

P A

, mai scurtă decât oblica

P Q

O proprietate esențială: printr-un punct dat trece o singură dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată. Nu contează dacă punctul este chiar pe dreaptă sau în afara ei: perpendiculara aceea este unică.

Folosind unicitatea perpendicularei, definești distanța de la un punct la o dreaptă: dacă $P$ este un punct și $d$ o dreaptă care nu trece prin $P$ , tragi din $P$ perpendiculara pe $d$ ; piciorul ei, $A$ , este punctul de pe $d$ cel mai apropiat de $P$ . Distanța de la $P$ la $d$ este chiar lungimea segmentului $P A$ .

$dist (P, d) =$ $P A,$ $unde P A ⟂ d$

Orice alt segment de la $P$ la un punct de pe $d$ , diferit de $A$ , este mai lung decât $P A$ : perpendiculara este mereu drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă.

Tot din unicitatea perpendicularei pleacă definiția mediatoarei unui segment: mediatoarea segmentului $A B$ este dreapta perpendiculară pe $A B$ , dusă prin mijlocul lui. Orice punct de pe ea este la aceeași distanță de $A$ și de $B$ . Construcția cu compasul, reciproca și mai multe exerciții găsești în articolul dedicat, mediatoarea unui segment.

Exerciții rezolvate : dreptele perpendiculare

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cele patru unghiuri drepteușor

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ din figură se intersectează în $O$ , formând un unghi de $90^{\circ}$ . Câte unghiuri drepte apar în total la intersecție și cum notezi relația dintre $d_{1}$ și $d_{2}$ ?

Rezolvare pas cu pas

Unghiul opus la vârf celui dat este întotdeauna egal cu el, deci și el este $90^{\circ}$ .
Fiecare dintre celelalte două unghiuri este suplementar cu un unghi de $90^{\circ}$ : $180^{\circ} - 90^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .
Toate patru unghiurile sunt drepte, deci $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt perpendiculare: $d_{1} ⟂ d_{2}$ .

Răspuns: 4 unghiuri drepte; $d_{1} ⟂ d_{2}$

EXERCIȚIUL 2Care segment este distanțaușor

Punctul $P$ are piciorul perpendicularei pe dreapta $d$ în punctul $A$ , cu $P A = 6$ cm. Un alt punct $B$ , de pe $d$ , este la $P B = 9$ cm de $P$ . Care dintre cele două segmente reprezintă distanța de la $P$ la $d$ ? Explică.

Rezolvare pas cu pas

Distanța de la un punct la o dreaptă se definește ca lungimea PERPENDICULAREI din acel punct pe dreaptă, nu a oricărui segment către dreaptă.
$P A$ este perpendiculara (piciorul $A$ este piciorul perpendicularei), deci $P A$ este distanța căutată.
$P B$ este o oblică, adică un segment către $d$ care nu e perpendicular pe $d$ ; orice oblică este mai lungă decât perpendiculara, ceea ce se și confirmă: $9 > 6$ .

Răspuns: distanța de la $P$ la $d$ este $P A = 6$ cm, nu $P B$

EXERCIȚIUL 3Unicitatea perpendiculareiușor

Fie o dreaptă $d$ și un punct $O$ pe ea. Câte drepte perpendiculare pe $d$ pot fi duse prin $O$ ?

Rezolvare pas cu pas

Aceasta este chiar proprietatea de unicitate a perpendicularei: printr-un punct dat trece o singură dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată, indiferent dacă punctul e pe dreaptă sau nu.
Dacă ar exista două perpendiculare diferite pe $d$ prin $O$ , amândouă ar forma unghi de $90^{\circ}$ cu $d$ în același punct, ceea ce ar însemna că, de fapt, coincid.

Răspuns: exact o singură dreaptă perpendiculară

EXERCIȚIUL 4Unghiul necunoscutmediu

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează în $O$ și $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Dreapta $d_{3}$ trece tot prin $O$ și formează cu $d_{1}$ un unghi de $52^{\circ}$ , ca în figură. Calculează unghiul dintre $d_{3}$ și $d_{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

$d_{1} ⟂ d_{2}$ , deci unghiul dintre ele este $90^{\circ}$ .
Dreapta $d_{3}$ împarte acest unghi de $90^{\circ}$ în două părți: cea dintre $d_{3}$ și $d_{1}$ ( $52^{\circ}$ ) și cea dintre $d_{3}$ și $d_{2}$ (necunoscută).
Unghiul dintre $d_{3}$ și $d_{2}$ este $90^{\circ} - 52^{\circ} =$ $38^{\circ}$ .

Răspuns: $38^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Perpendiculara și oblicamediu

Distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ este $P A = 8$ cm, unde $A$ este piciorul perpendicularei. Un punct $Q$ , aflat pe $d$ , este la $P Q = 17$ cm de $P$ . Explică de ce este posibil ca $P Q$ să fie mai mare decât $P A$ , fără nicio contradicție.

Rezolvare pas cu pas

$P A$ este perpendiculara din $P$ pe $d$ , deci este chiar distanța de la $P$ la $d$ , prin definiție cel mai scurt drum posibil.
$P Q$ este o oblică ( $Q \neq A$ ), deci nu poate fi mai scurtă decât perpendiculara $P A$ ; e firesc ca $17 > 8$ .
Nu există nicio contradicție: perpendiculara este mereu segmentul cel mai scurt de la $P$ la dreapta $d$ , iar orice altă oblică e mai lungă.

Răspuns: nu e o contradicție: $P A$ e perpendiculara (cea mai scurtă), $P Q$ e o oblică, deci firesc $P Q > P A$

EXERCIȚIUL 6Proprietatea mediatoareimediu

Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $A B$ , unde $A B = 10$ cm. Știind că $P A = 11$ cm, calculează $P B$ .

Rezolvare pas cu pas

Mediatoarea segmentului $A B$ este dreapta perpendiculară pe $A B$ , dusă prin mijlocul lui, iar orice punct de pe ea este egal depărtat de $A$ și de $B$ .
Fiindcă $P$ este pe mediatoare, $P A = P B$ .
Cum $P A = 11$ cm, rezultă direct $P B = 11$ cm; lungimea $A B$ nu intervine în acest calcul.

Răspuns: $P B = 11$ cm

EXERCIȚIUL 7De ce coincid d2 și d3greu

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează în punctul $O$ , cu $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Dreapta $d_{3}$ trece tot prin $O$ și este, de asemenea, perpendiculară pe $d_{1}$ . Ce poți spune despre $d_{2}$ și $d_{3}$ ? Justifică folosind unicitatea perpendicularei.

Rezolvare pas cu pas

Atât $d_{2}$ , cât și $d_{3}$ trec prin $O$ și sunt perpendiculare pe $d_{1}$ .
Dar printr-un punct dat (aici, $O$ ) trece o SINGURĂ dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată (aici, $d_{1}$ ).
Dacă $d_{2}$ și $d_{3}$ ar fi drepte diferite, am avea două perpendiculare distincte pe $d_{1}$ prin același punct, ceea ce contrazice unicitatea.
Prin urmare, $d_{2}$ și $d_{3}$ nu sunt drepte diferite: coincid, sunt aceeași dreaptă.

Răspuns: $d_{2}$ și $d_{3}$ coincid (sunt aceeași dreaptă), din unicitatea perpendicularei

EXERCIȚIUL 8Perpendiculara e mereu drumul cel mai scurtgreu

Distanța de la punctul $M$ la dreapta $d$ este $M A = 12$ cm, unde $A$ este piciorul perpendicularei. Arată că, pentru orice alt punct $N$ de pe $d$ , diferit de $A$ , segmentul $M N$ este mai lung decât $12$ cm.

Rezolvare pas cu pas

Dacă $N \neq A$ , atunci $M$ , $A$ și $N$ formează un triunghi, pentru că $N$ nu se află pe dreapta $M A$ (care e perpendiculară pe $d$ , iar $N$ e pe $d$ , deci $N$ nu poate fi și pe $M A$ , în afară de cazul $N = A$ ).
În acest triunghi, unghiul din $A$ este drept ( $90^{\circ}$ ), deci este cel mai mare unghi al triunghiului: orice alt unghi al unui triunghi cu un unghi de $90^{\circ}$ este obligatoriu ascuțit, deci mai mic.
Într-un triunghi, laturii cu unghiul cel mai mare îi corespunde latura cea mai lungă. Aici, unghiul cel mai mare este cel din $A$ , iar latura opusă lui este chiar $M N$ .
Deci $M N$ este mai lungă decât $M A$ , adică $M N > 12$ cm, pentru orice $N \neq A$ de pe $d$ .

Răspuns: $M N > 12$ cm pentru orice $N \neq A$ , pentru că $M N$ e latura opusă unghiului drept din triunghiul $M A N$

Cum recunoști un exercițiu pe drepte perpendiculare

Ți se dă un unghi format de două drepte la intersecție și trebuie să decizi dacă sunt perpendiculare sau doar concurente.
Apare sintagma „distanța de la un punct la o dreaptă” și trebuie să identifici sau să calculezi lungimea perpendicularei, nu a unei oblice.
Ți se cere să compari o perpendiculară cu o oblică, sau să folosești unicitatea perpendicularei într-un raționament.

Greșeli frecvente la dreptele perpendiculare

Crezi că orice segment de la un punct la o dreaptă este „distanța” până la ea. Doar perpendiculara reprezintă distanța de la punct la dreaptă. Orice alt segment (oblica) este mai lung.
Confunzi „concurente” cu „perpendiculare”. Perpendicularitatea este un caz special de concurență, în care unghiul format este exact $90^{\circ}$ . Nu orice drepte concurente sunt și perpendiculare.
Crezi că pot exista două perpendiculare diferite pe aceeași dreaptă, duse prin același punct. Unicitatea perpendicularei spune exact contrariul: printr-un punct dat trece o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

Exersează : dreptele perpendiculare

Fișă de lucru: Perpendicularitate, clasa a VI-aPDF de printat, cu figuri Test: Perpendicularitate și cercul, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre dreptele perpendiculare

Distanța de la un punct la o dreaptă poate fi zero?

Da, dacă punctul se află chiar pe dreaptă. În acel caz, piciorul perpendicularei este punctul însuși, iar distanța este $0$ .

Ce diferență este între o perpendiculară și o mediatoare?

Mediatoarea este tot o perpendiculară, dar cu o condiție în plus: trece prin mijlocul unui segment dat. O perpendiculară „obișnuită” pe o dreaptă poate trece prin orice punct, nu neapărat printr-un mijloc.

De ce e unică perpendiculara printr-un punct?

Pentru că un unghi de $90^{\circ}$ format într-un punct, față de o direcție dată, determină o singură direcție posibilă pentru cealaltă dreaptă. Două drepte diferite, amândouă perpendiculare pe aceeași dreaptă prin același punct, ar trebui să coincidă.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 10. Perpendicularitate. 1) Drepte perpendiculare. 2) Distanța de la un punct la o dreaptă. 3) Mediatoarea.

Exersează cu fișa de lucru: Perpendicularitate — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două drepte sunt perpendiculare dacă unghiul format între ele este:
2. Dacă dreapta $d_{1} ⟂ d_{2}$ , ce putem spune despre unghiurile formate la intersecția lor?
3. Distanța de la un punct $P$ la o dreaptă $d$ este:
4. Mediatoarea unui segment $[A B]$ este:
5. Un punct $M$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ . Ce proprietate are punctul $M$ ?