MEDIATOAREA UNUI SEGMENT, definiție, proprietate și construcție - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui, iar orice punct de pe ea este la aceeași distanță de capetele segmentului. Mai jos găsești definiția cu figură, proprietatea, reciproca, construcția cu compasul și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Mediatoarea unui segment: definiție, proprietate și construcție

Definiție. Mediatoarea segmentului $A B$ este dreapta $d$ care trece prin mijlocul $M$ al segmentului și este perpendiculară pe el. Trebuie îndeplinite ambele condiții:

O liniuță:

A M = M B

. Două liniuțe:

P A = P B

, pentru orice punct

P

de pe mediatoarea

d

$A M = M B$ $și$ $d ⟂ A B$

Proprietatea. Orice punct $P$ de pe mediatoarea lui $A B$ este egal depărtat de capetele segmentului: $P A = P B$ . Triunghiurile $P M A$ și $P M B$ sunt congruente (cazul catetă-catetă), deci au ipotenuzele egale.

Reciproca. Dacă un punct $P$ are $P A = P B$ , atunci $P$ se află pe mediatoarea lui $A B$ . Două puncte diferite, fiecare egal depărtat de $A$ și de $B$ , determină chiar mediatoarea.

Triunghiuri isoscele. Dacă $P$ este pe mediatoare și nu este pe $A B$ , triunghiul $P A B$ este isoscel cu baza $A B$ , iar $P M$ este în același timp înălțime, mediană și bisectoare.

Construcția cu rigla și compasul. Deschizi compasul mai mult decât jumătate din $A B$ . Trasezi un arc cu centrul în $A$ și un arc cu aceeași rază, cu centrul în $B$ . Arcele se taie în două puncte, $P$ și $Q$ . Dreapta $P Q$ este mediatoarea.

În triunghi. Mediatoarele celor trei laturi ale unui triunghi trec prin același punct $O$ , care este centrul cercului circumscris triunghiului.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Mijlocul și unghiul dreptușor

Segmentul $A B$ are $14$ cm. Mediatoarea $d$ a segmentului îl intersectează în punctul $M$ . Calculează $A M$ și măsura unghiului format de $d$ cu $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, deci $M$ este mijlocul lui $A B$ .
$A M =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.
Mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci unghiul format are $90^{\circ}$ .

Răspuns: $A M = 7$ cm, unghiul are $90^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Proprietatea mediatoareiușor

Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $A B$ , iar $A B = 10$ cm și $P A = 9$ cm. Calculează $P B$ și perimetrul triunghiului $P A B$ .

Rezolvare pas cu pas

$P$ este pe mediatoarea lui $A B$ , deci este egal depărtat de $A$ și de $B$ : $P B = P A = 9$ cm.
Perimetrul: $P_{P A B} =$ $P A + P B + A B =$ $9 + 9 + 10 =$ $28$ cm.

Răspuns: $P B = 9$ cm, perimetrul este $28$ cm

EXERCIȚIUL 3Este sau nu mediatoare?ușor

Dreapta $d$ trece prin mijlocul $M$ al segmentului $A B$ și formează cu el un unghi de $80^{\circ}$ . Este $d$ mediatoarea segmentului $A B$ ?

Rezolvare pas cu pas

Prima condiție este îndeplinită: $d$ trece prin mijlocul lui $A B$ .
A doua condiție cere un unghi de $90^{\circ}$ . Unghiul format are $80^{\circ}$ , deci $d$ nu este perpendiculară pe $A B$ .
Lipsește o condiție, deci $d$ nu este mediatoarea.

Răspuns: nu, $d$ nu este perpendiculară pe $A B$

EXERCIȚIUL 4Construcția cu compasulmediu

Segmentul $A B$ are $12$ cm. Cu compasul deschis la $8$ cm, Ana trasează un arc cu centrul în $A$ și un arc cu centrul în $B$ . Arcele se intersectează în $P$ și $Q$ , iar dreapta $P Q$ taie $A B$ în $M$ . Explică de ce $P Q$ este mediatoarea lui $A B$ și calculează $A M$ .

Arcele punctate sunt urmele compasului.

Rezolvare pas cu pas

$P$ este pe ambele arce, deci $P A = P B = 8$ cm. La fel, $Q A = Q B = 8$ cm.
După reciproca proprietății, $P$ și $Q$ sunt pe mediatoarea lui $A B$ . Două puncte determină o singură dreaptă, deci $P Q$ este mediatoarea.
Mediatoarea taie segmentul în mijloc: $A M = 12 : 2 = 6$ cm.
Construcția merge pentru că $8 > 6$ : cu o rază mai mică decât jumătatea segmentului, arcele nu s-ar întâlni.

Răspuns: $P Q$ este mediatoarea, $A M = 6$ cm

EXERCIȚIUL 5Perimetrul unui triunghi „ascuns”mediu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 15$ cm și $A C = 8$ cm. Mediatoarea laturii $B C$ intersectează latura $A B$ în punctul $D$ . Calculează perimetrul triunghiului $A D C$ .

Rezolvare pas cu pas

$D$ este pe mediatoarea lui $B C$ , deci $D C = D B$ .
$P_{A D C} =$ $A D + D C + A C =$ $A D + D B + A C$ .
$D$ este pe latura $A B$ , deci $A D + D B = A B = 15$ cm.
$P_{A D C} =$ $15 + 8 =$ $23$ cm. Nu a fost nevoie de lungimea lui $B C$ .

Răspuns: $P_{A D C} = 23$ cm

EXERCIȚIUL 6Unghiuri cu mediatoareagreu

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ B) =$ $35^{\circ}$ . Mediatoarea laturii $B C$ taie latura $A B$ în punctul $D$ . Calculează $m (∠ D C B)$ și $m (∠ A D C)$ .

Rezolvare pas cu pas

$D$ este pe mediatoarea lui $B C$ , deci $D B = D C$ și triunghiul $D B C$ este isoscel cu baza $B C$ .
Unghiurile de la bază sunt congruente: $m (∠ D C B) =$ $m (∠ B) =$ $35^{\circ}$ .
În triunghiul $D B C$ : $m (∠ B D C) =$ $180^{\circ} - 35^{\circ} - 35^{\circ} =$ $110^{\circ}$ .
Unghiurile $B D C$ și $A D C$ sunt adiacente suplementare: $m (∠ A D C) =$ $180^{\circ} - 110^{\circ} =$ $70^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ D C B) =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ A D C) =$ $70^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Mediatoarele laturilor unui triunghigreu

În triunghiul $A B C$ , mediatoarele laturilor $A B$ și $A C$ se intersectează în punctul $O$ , iar $O A = 6$ cm. Arată că $O$ se află și pe mediatoarea laturii $B C$ și calculează $O B$ și $O C$ .

Rezolvare pas cu pas

$O$ este pe mediatoarea lui $A B$ , deci $O B = O A = 6$ cm.
$O$ este pe mediatoarea lui $A C$ , deci $O C = O A = 6$ cm.
Rezultă $O B = O C$ . După reciproca proprietății, $O$ se află pe mediatoarea lui $B C$ .
Deci cele trei mediatoare trec prin $O$ , iar cercul cu centrul în $O$ și raza de $6$ cm trece prin $A$ , $B$ și $C$ .

Răspuns: $O$ este pe mediatoarea lui $B C$ , $O B = O C = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Punctul de pe mediatoare cu unghi dreptgreu

Segmentul $A B$ are $16$ cm, iar $M$ este mijlocul lui. Pe mediatoarea segmentului se ia punctul $P$ astfel încât $m (∠ A P B) =$ $90^{\circ}$ . Calculează distanța de la $P$ la dreapta $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

$P$ este pe mediatoare, deci $P A = P B$ și $P M ⟂ A B$ . Distanța cerută este $P M$ .
Triunghiul $A P B$ este dreptunghic isoscel, deci $m (∠ A) =$ $m (∠ B) =$ $90^{\circ} : 2 =$ $45^{\circ}$ .
În triunghiul $P M A$ , dreptunghic în $M$ : $m (∠ A P M) =$ $180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} =$ $45^{\circ} =$ $m (∠ A)$ .
Triunghiul $P M A$ are două unghiuri congruente, deci este isoscel: $P M = A M = 16 : 2 = 8$ cm.

Răspuns: distanța este $P M = 8$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe mediatoare

Enunțul spune „mediatoarea segmentului” sau „perpendiculara în mijlocul segmentului”: ai un unghi drept și două segmente egale.
Un punct este „pe mediatoarea lui $B C$ ”: scrii imediat că e egal depărtat de $B$ și de $C$ și cauți triunghiul isoscel format.
Trebuie să arăți că un punct e pe o mediatoare: arăți că e la aceeași distanță de capetele segmentului.

Greșeli frecvente

Verifici o singură condiție. O dreaptă prin mijlocul segmentului care nu e perpendiculară pe el nu este mediatoare. Nici o perpendiculară care nu trece prin mijloc.
Confunzi mediatoarea cu mediana sau cu bisectoarea. Mediatoarea este o dreaptă perpendiculară pe o latură, în mijlocul ei. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse, iar bisectoarea împarte un unghi în două.
Deschizi compasul prea puțin. La construcție, raza trebuie să fie mai mare decât jumătate din segment. Altfel arcele din $A$ și din $B$ nu se intersectează.

Exersează

Fișă de lucru: Perpendicularitate și mediatoarea, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Perpendicularitate și cercul, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Perpendicularitate și mediatoareaclasa a VI-a, capitolul 4

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce este mediatoarea unui segment?

Este dreapta care trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe el.

Câte mediatoare are un segment?

Una singură. Prin mijlocul segmentului trece o singură dreaptă perpendiculară pe el.

Care este diferența dintre mediatoare și mediană?

Mediatoarea este perpendiculară pe latură și nu trece neapărat printr-un vârf. Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse, fără să fie neapărat perpendiculară pe ea.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 22 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

UNGHIURI ALTERNE INTERNE, corespondente și criterii de paralelism - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)