Mulțimi disjuncte pe înțelesul tău — explicație simplă

de Echipa Școala Virtuală3 iunie 2026

Mulțimi disjuncte: ce sunt și 5 exerciții rezolvate

Știi senzația când împarți ceva cu fratele tău și vă certați că voi doi nu aveți niciun element comun — adică nicio opinie în comun, niciun joc în comun, absolut nimic? Ei bine, exact asta înseamnă mulțimi disjuncte în matematică. Două mulțimi care nu împart niciun element. Deloc. Niciun pic. Tocmai de aceea mulți elevi confundă mulțimile disjuncte cu mulțimile complet separate ca noțiune — și ajung să scrie greșit că intersecția lor e o mulțime oarecare, nu mulțimea vidă. Nu-i vina lor. Nimeni nu le-a spus că există un cuvânt exact pentru situația asta și că are și o scriere specifică. Hai să clarificăm asta acum, înainte să dai peste un exercițiu care te prinde nepregătit.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă mulțimi disjuncte și cum le recunoști imediat
Vei ști să scrii corect condiția de disjuncție cu notația matematică
Vei ști să verifici dacă două mulțimi date sunt sau nu disjuncte
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac toți la acest subiect

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce sunt mulțimile disjuncte, de fapt?

Să zicem că ai două grupuri de prieteni. Grupul A merge la fotbal: {Andrei, Mihai, Radu}. Grupul B merge la tenis: {Elena, Diana, Ioana}. Nu există niciun om care să fie în ambele grupuri simultan. Niciunul. Asta înseamnă că cele două mulțimi sunt disjuncte — nu au niciun element comun. Acum imaginează-ți că Mihai merge și la tenis. Dintr-o dată, mulțimile nu mai sunt disjuncte, pentru că Mihai apare în amândouă. Practic, disjuncte înseamnă că intersecția lor — adică ce au în comun — este mulțimea vidă. Termenul sună tehnic, dar ideea e simplă: cauți ceva în comun, nu găsești nimic, gata — sunt disjuncte. Asta-i tot.

💡 Regula de bază

Două mulțimi $A$ și $B$ sunt disjuncte dacă și numai dacă nu au niciun element comun. Scris matematic: $A \cap B = \emptyset$ . Dacă intersecția lor este mulțimea vidă, sunt disjuncte. Dacă intersecția conține măcar un element, nu sunt disjuncte.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Fie mulțimile $A = {1, 3, 5, 7}$ și $B = {2, 4, 6, 8}$ . Sunt mulțimile $A$ și $B$ disjuncte? Justifică răspunsul.

🔢 Rezolvare

$A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}$
$A \cap B = elementele care se găsesc în ambele mulțimi$
$Verificăm: 1 \notin B, 3 \notin B, 5 \notin B, 7 \notin B$
$A \cap B = \emptyset \Rightarrow A și B sunt mulțimi disjuncte$

✅ Explicație

Ai luat fiecare element din $A$ și ai verificat dacă apare și în $B$ . Niciunul nu apare. De fapt, e logic — $A$ conține doar numere impare, $B$ doar numere pare. Nu se pot suprapune niciodată. Deci intersecția e vidă și mulțimile sunt disjuncte. Asta-i tot ce trebuia arătat.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii scriu că $A \cap B = 0$ (zero) în loc de $A \cap B = \emptyset$ (mulțimea vidă). Sunt lucruri complet diferite. Zero este un număr. Mulțimea vidă este o mulțime fără niciun element — se notează $\emptyset$ sau cu acolade goale ${}$ .

✅ Corect: Scrie mereu $A \cap B = \emptyset$ când vrei să spui că nu există niciun element comun. Niciodată $= 0$ .

❌ Greșeala #2: Confundarea mulțimilor disjuncte cu mulțimile care nu au nicio legătură între ele ca subiect. De exemplu, $A = {1, 2, 3}$ și $B = {3, 4, 5}$ par „diferite”, dar nu sunt disjuncte — au elementul $3$ în comun. Aspectul exterior nu contează, contează doar dacă există vreun element comun.

✅ Corect: Verifici întotdeauna concret, element cu element. Nu te baza pe aspect sau pe „parcă nu au nimic în comun”.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Fie $A = {a, b, c}$ și $B = {d, e, f}$ . Sunt disjuncte?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Comparăm fiecare element din $A$ cu elementele lui $B$ : nici $a$ , nici $b$ , nici $c$ nu apare în $B$ .

A \cap B = \emptyset

Intersecția este mulțimea vidă, adică cele două mulțimi nu au absolut niciun element comun. Exact asta înseamnă „disjuncte".

Răspuns: Da, mulțimile sunt disjuncte, pentru că $A \cap B = \emptyset$ .

Exercițiul 2. Fie $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {4, 5, 6}$ . Sunt mulțimile $A$ și $B$ disjuncte? Justifică.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Verificăm element cu element: $1 \notin B$ , $2 \notin B$ , $3 \notin B$ , dar $4 \in B$ .

Elementul $4$ apare în ambele mulțimi, deci intersecția nu este vidă:

A \cap B = {4} \neq \emptyset

E suficient un singur element comun ca mulțimile să nu mai fie disjuncte.

Răspuns: Nu, pentru că $4 \in A$ și $4 \in B$ , deci $A \cap B = {4} \neq \emptyset$ .

Exercițiul 3. Fie $A$ mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât 10 și $B$ mulțimea numerelor naturale impare mai mici decât 10. Sunt $A$ și $B$ disjuncte?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Mai întâi scriem cele două mulțimi prin enumerarea elementelor:

A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}

Un număr natural nu poate fi în același timp și par, și impar. Deci niciun element din $A$ nu poate apărea în $B$ .

A \cap B = \emptyset

Răspuns: Da, mulțimile sunt disjuncte: $A \cap B = \emptyset$ .

Exercițiul 4. Fie $A$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 6 și $B$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 35. Sunt $A$ și $B$ disjuncte?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scriem cele două mulțimi de divizori:

A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 5, 7, 35}

La prima vedere par „complet diferite": 6 și 35 nici măcar nu au divizori primi comuni. Dar numărul $1$ divide orice număr natural, deci apare obligatoriu în ambele mulțimi.

A \cap B = {1} \neq \emptyset

Reține capcana: două mulțimi de divizori nu pot fi niciodată disjuncte, pentru că amândouă îl conțin pe $1$ .

Răspuns: Nu, pentru că $A \cap B = {1}$ .

Exercițiul 5. Provocare: fie $A = {1, 3, x}$ și $B = {2, 4, 6}$ , unde $x$ este o cifră. Determină toate valorile lui $x$ pentru care $A$ și $B$ sunt disjuncte.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Elementele $1$ și $3$ nu apar în $B$ , deci singurul element care ar putea strica disjuncția este $x$ .

Condiția $A \cap B = \emptyset$ înseamnă că $x$ nu are voie să fie element al lui $B$ , adică $x$ nu poate fi 2, 4 sau 6.

Cifrele sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Eliminăm cifrele 2, 4 și 6 și rămân:

x \in {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}

Observație: pentru $x = 1$ sau $x = 3$ , mulțimea $A$ are doar două elemente distincte, dar rămâne disjunctă de $B$ , deci valorile sunt acceptate.

Răspuns: $x \in {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}$ , adică orice cifră diferită de 2, 4 și 6.

Întrebări frecvente

Mulțimea vidă este disjunctă cu orice altă mulțime?

Da, și asta e un detaliu care apare uneori în exerciții. Mulțimea vidă $\emptyset$ nu conține niciun element, deci nu poate avea nimic în comun cu nicio altă mulțime. Prin urmare, $\emptyset \cap A = \emptyset$ pentru orice mulțime $A$ . Adică mulțimea vidă este disjunctă cu absolut orice.

O mulțime poate fi disjunctă cu ea însăși?

Numai dacă este mulțimea vidă. Orice altă mulțime are cel puțin un element în comun cu ea însăși — chiar toate elementele ei. Deci $A \cap A = A$ , nu $\emptyset$ . Singura excepție: $\emptyset \cap \emptyset = \emptyset$ . Deci doar mulțimea vidă este disjunctă cu sine.

Cum știu rapid la un exercițiu dacă două mulțimi sunt disjuncte?

Cel mai simplu: listezi elementele ambelor mulțimi și cauți un element care apare în amândouă. Dacă găsești unul singur — nu sunt disjuncte. Dacă parcurgi tot și nu găsești niciunul — sunt disjuncte. Nu există scurtătură mai bună decât verificarea directă, element cu element.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună