DETERMINAREA C.M.M.D.C. prin descompunere în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

C.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun) al unor numere este cel mai mare număr care le împarte pe toate exact. Îl afli descompunând fiecare număr în factori primi și înmulțind factorii comuni, luați la puterea cea mai mică. Mai jos găsești metoda pas cu pas și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu.

Cum se determină c.m.m.d.c.

C.m.m.d.c. al două sau mai multe numere naturale nenule este cel mai mare divizor comun al lor, adică cel mai mare număr care le împarte pe toate exact, fără rest. Se notează, pe scurt, $(a, b)$ .

Metoda: descompunerea în factori primi.

$descompui fiecare număr \to iei factorii comuni, la puterea cea mai mică \to îi înmulțești$

Un factor care apare doar la unul dintre numere nu intră în c.m.m.d.c., pentru că nu e comun. Dacă un factor apare la puteri diferite, iei mereu puterea cea mai mică, pentru că e cea pe care o „au” în comun amândouă numerele.

Dacă, după descompunere, numerele nu au niciun factor prim comun, atunci $(a, b) = 1$ și spunem că numerele sunt prime între ele.

C.m.m.d.c. e legat de c.m.m.m.c. printr-o relație utilă, valabilă pentru două numere: $(a, b) \cdot [a, b] =$ $a \cdot b$ . O poți folosi ca verificare rapidă, fără să reiei descompunerea.

Exerciții rezolvate : determinarea c.m.m.d.c.

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Două numere miciușor

Determină $(20, 28)$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui: $20 = 2^{2} \cdot 5$ și $28 = 2^{2} \cdot 7$ .
Factorul comun este $2$ , la puterea cea mai mică, $2^{2}$ ; $5$ și $7$ nu sunt comune.
$(20, 28) = 2^{2} = 4$ .

Răspuns: $(20, 28) = 4$

EXERCIȚIUL 2Numere prime între eleușor

Determină $(21, 22)$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui: $21 = 3 \cdot 7$ și $22 = 2 \cdot 11$ .
Nu au niciun factor prim comun.

Răspuns: $(21, 22) = 1$ ; numerele sunt prime între ele

EXERCIȚIUL 3Numere cu mai mulți factorimediu

Determină $(48, 72)$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui: $48 = 2^{4} \cdot 3$ și $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ .
Factorii comuni sunt $2$ (puterea minimă $2^{3}$ ) și $3$ (puterea minimă $3^{1}$ ).
$(48, 72) =$ $2^{3} \cdot 3 =$ $8 \cdot 3 =$ $24$ .

Răspuns: $(48, 72) = 24$

EXERCIȚIUL 4Trei numere deodatămediu

Determină $(30, 45, 75)$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui: $30 =$ $2 \cdot 3 \cdot 5$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ , $75 = 3 \cdot 5^{2}$ .
Factorul $2$ apare doar la $30$ , deci nu e comun. Factorii comuni la toate trei sunt $3$ (puterea minimă $1$ ) și $5$ (puterea minimă $1$ ).
$(30, 45, 75) =$ $3 \cdot 5 =$ $15$ .

Răspuns: $(30, 45, 75) = 15$

EXERCIȚIUL 5Problemă cu pachete identicemediu

Un cofetar are $42$ de brioșe și $63$ de croissante și vrea să facă pachete identice, fără să rămână nimic. Care este numărul maxim de pachete și câte brioșe, respectiv croissante, are fiecare pachet?

Rezolvare pas cu pas

Numărul maxim de pachete identice, fără rest, este $(42, 63)$ .
Descompui: $42 =$ $2 \cdot 3 \cdot 7$ și $63 = 3^{2} \cdot 7$ , deci $(42, 63) =$ $3 \cdot 7 =$ $21$ .
Fiecare pachet primește $42 : 21 = 2$ brioșe și $63 : 21 = 3$ croissante.

Răspuns: $21$ pachete, fiecare cu $2$ brioșe și $3$ croissante

EXERCIȚIUL 6Din descompuneri deja datemediu

Determină c.m.m.d.c. al numerelor $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ și $2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7$ , știind că sunt deja scrise ca produse de factori primi.

Rezolvare pas cu pas

Compari, factor cu factor: la $2$ , puterile sunt $3$ și $2$ , deci iei minimul, $2^{2}$ .
La $3$ , puterile sunt $2$ și $3$ , deci iei minimul, $3^{2}$ .
$5$ apare doar la primul număr, iar $7$ doar la al doilea, deci niciunul nu intră în c.m.m.d.c.
Înmulțești ce ai reținut: $2^{2} \cdot 3^{2} =$ $4 \cdot 9 =$ $36$ .

Răspuns: c.m.m.d.c. $= 36$

EXERCIȚIUL 7Pavaj cu pătrategreu

Un teren dreptunghiular are $84$ m lungime și $56$ m lățime. Vrei să-l pavezi complet cu pătrate identice, cât mai mari posibil, fără să tai niciun pătrat. Ce latură au pătratele?

Rezolvare pas cu pas

Latura maximă a pătratului trebuie să împartă exact atât lungimea, cât și lățimea, deci este $(84, 56)$ .
Descompui: $84 =$ $2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ și $56 = 2^{3} \cdot 7$ .
Factorii comuni sunt $2$ (puterea minimă $2^{2}$ ) și $7$ : $(84, 56) =$ $2^{2} \cdot 7 =$ $28$ .

Răspuns: Pătrate cu latura de $28$ m

EXERCIȚIUL 8Trei sfori tăiate egalgreu

Trei sfori au $60$ m, $84$ m și $108$ m. Vrei să le tai în bucăți egale, cât mai lungi posibil, fără resturi. Ce lungime are o bucată și câte bucăți rezultă în total?

Rezolvare pas cu pas

Lungimea maximă a unei bucăți este $(60, 84, 108)$ .
Descompui: $60 =$ $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $84 =$ $2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , $108 = 2^{2} \cdot 3^{3}$ .
Factorii comuni la toate trei sunt $2$ (puterea minimă $2^{2}$ ) și $3$ (puterea minimă $1$ ): $(60, 84, 108) =$ $2^{2} \cdot 3 =$ $12$ .
Numărul total de bucăți este $(60 + 84 + 108) : 12 =$ $252 : 12 =$ $21$ .

Răspuns: Bucăți de $12$ m, $21$ de bucăți în total

Cum recunoști un exercițiu pe c.m.m.d.c.

Se cere „cel mai mare număr” care împarte exact mai multe numere date.
Apare o problemă cu „împarte în grupe/pachete identice, fără să rămână nimic” și se cere numărul maxim de grupe.
Dacă, în schimb, se cere cel mai mic număr care se împarte exact la mai multe numere date, este c.m.m.m.c., nu c.m.m.d.c.

Greșeli frecvente la determinarea c.m.m.d.c.

Iei puterea cea mai mare, nu cea mai mică. La c.m.m.d.c. păstrezi factorii comuni la puterea cea mai mică. Puterea cea mai mare e regula de la c.m.m.m.c.
Incluzi un factor care apare la un singur număr. C.m.m.d.c. conține doar factorii care sunt cu adevărat comuni, adică apar în descompunerea tuturor numerelor date.
Confunzi „prime între ele” cu „numere prime”. Numerele prime între ele nu au niciun factor prim comun între ele, dar pot fi, fiecare în parte, numere compuse: $(8, 15) = 1$ , deși nici $8$ , nici $15$ nu sunt prime.

Exersează : determinarea c.m.m.d.c.

Fișă de lucru: Determinarea c.m.m.d.c., clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Divizibilitate, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre determinarea c.m.m.d.c.

Ce înseamnă „numere prime între ele”?

Înseamnă că c.m.m.d.c. al lor este $1$ , adică nu au niciun factor prim comun, chiar dacă niciunul dintre ele nu e neapărat un număr prim.

Merge metoda și pentru trei sau mai multe numere?

Da. Descompui toate numerele, apoi păstrezi doar factorii comuni la toate, luați la puterea cea mai mică din toate descompunerile.

Cum verific rapid dacă am calculat corect c.m.m.d.c.?

Împarte fiecare număr dat la rezultatul obținut: împărțirile trebuie să iasă exacte, fără rest, la toate.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Determinarea c.m.m.d.c. Numere prime între ele..

Exersează cu fișa de lucru: Determinarea c.m.m.d.c — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este c.m.m.d.c. al numerelor $36$ și $48$ , determinat prin metoda împărțirilor succesive?
2. Două numere sunt prime între ele dacă și numai dacă c.m.m.d.c.-ul lor este:
3. Numerele $15$ și $28$ sunt prime între ele?
4. Care este c.m.m.d.c. al numerelor $56$ și $98$ ?
5. Dacă c.m.m.d.c. $(a, b) = 1$ , ce putem spune despre numerele $a$ și $b$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 30 august 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

MULȚIMI DISJUNCTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

DESCOMPUNEREA NUMERELOR NATURALE în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

CMMMC (cel mai mic multiplu comun) - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

PROPRIETĂȚILE DIVIZIBILITĂȚII în mulțimea numerelor naturale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

RAPOARTE MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

CALCULUL CU PROCENTE, formule și metode - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună