SUBMULȚIMI, ce este o submulțime și cum le scrii - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Mulțimea $B$ este submulțime a mulțimii $A$ dacă fiecare element al lui $B$ este și element al lui $A$ . Scriem $B \subset A$ și citim „ $B$ este inclusă în $A$ ”. Mai jos găsești proprietățile submulțimilor, cum le scrii pe toate și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce este o submulțime

Definiție. $B$ este submulțime a lui $A$ (sau $B$ este inclusă în $A$ ) dacă orice element al lui $B$ aparține și lui $A$ :

$B \subset A$ $dacă$ $x \in B \Rightarrow$ $x \in A$

Unele culegeri scriu același lucru cu semnul $\subseteq$ . Dacă cel puțin un element al lui $B$ nu este în $A$ , atunci $B$ nu este inclusă în $A$ și scriem $B \subset̸ A$ .

Exemplu. Pentru $A = {1, 2, 3}$ : ${1, 3} \subset A$ , dar ${1,$ $5} \subset̸ A$ , pentru că $5 \notin A$ .

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: $\emptyset \subset A$ .
Orice mulțime este submulțime a ei înseși: $A \subset A$ .
Tranzitivitate: dacă $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ . De exemplu, ${1} \subset {1,$ $2}$ și ${1,$ $2} \subset {1,$ $2,$ $3}$ , deci ${1} \subset {1,$ $2,$ $3}$ .
Egalitate: $A = B$ exact atunci când $A \subset B$ și $B \subset A$ .
Element sau submulțime: semnul $\in$ leagă un element de o mulțime ( $2 \in A$ ), iar semnul $\subset$ leagă două mulțimi ( ${2} \subset A$ ).

Câte submulțimi are o mulțime? O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi, inclusiv $\emptyset$ și mulțimea însăși. Cu 1 element sunt $2$ submulțimi, cu 2 elemente $4$ , cu 3 elemente $8$ , cu 4 elemente $16$ .

Egalitatea mulțimilor. Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente. Ordinea în care scrii elementele nu contează: ${1,$ $2,$ $3} =$ ${3,$ $1,$ $2}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aparține sau este inclusă?ușor

Fie $A = {1, 3, 5, 7}$ . Completează cu unul dintre semnele $\in$ , $\notin$ , $\subset$ , $\subset̸$ : a) $3 \dots A$ ; b) ${3} \dots A$ ; c) ${1, 2} \dots A$ ; d) $\emptyset \dots A$ ; e) ${7, 5, 1} \dots A$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $3$ este un element, iar $3$ apare în $A$ : $3 \in A$ .
b) ${3}$ este o mulțime, iar singurul ei element este în $A$ : ${3} \subset A$ .
c) $2 \notin A$ , deci mulțimea ${1, 2}$ nu este inclusă în $A$ : ${1,$ $2} \subset̸ A$ .
d) Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: $\emptyset \subset A$ .
e) $7$ , $5$ și $1$ sunt toate în $A$ . Ordinea nu contează: ${7,$ $5,$ $1} \subset A$ .

Răspuns: a) $\in$ ; b) $\subset$ ; c) $\subset̸$ ; d) $\subset$ ; e) $\subset$

EXERCIȚIUL 2Este submulțime sau nu?ușor

Fie $A =$ ${x \in ℕ | x este divizor al lui 12}$ , $B = {2, 4, 6}$ și $C = {3, 6, 9}$ . Stabilește dacă $B \subset A$ și dacă $C \subset A$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem $A$ prin enumerare. Divizorii lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , deci $A =$ ${1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$ .
Verificăm fiecare element al lui $B$ : $2 \in A$ , $4 \in A$ , $6 \in A$ . Deci $B \subset A$ .
Verificăm elementele lui $C$ : $3 \in A$ , $6 \in A$ , dar $9 \notin A$ , pentru că $9$ nu îl divide pe $12$ .
Un singur element care lipsește este suficient: $C \subset̸ A$ .

Răspuns: $B \subset A$ ; $C \subset̸ A$

EXERCIȚIUL 3Submulțimile unei mulțimi cu 2 elementeușor

Scrie toate submulțimile mulțimii $M = {a, b}$ .

Rezolvare pas cu pas

Pornim de la submulțimea fără niciun element: $\emptyset$ .
Submulțimile cu un element: ${a}$ și ${b}$ .
Submulțimea cu două elemente este chiar $M = {a, b}$ .
În total sunt $4$ submulțimi, adică $2^{2} = 4$ .

Răspuns: $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ , ${a, b}$

EXERCIȚIUL 4Submulțimile unei mulțimi cu 3 elementemediu

Scrie toate submulțimile mulțimii $A = {2, 5, 8}$ . Câte dintre ele au exact două elemente?

Rezolvare pas cu pas

Le scriem ordonat, după numărul de elemente, ca să nu uităm niciuna.
0 elemente: $\emptyset$ .
1 element: ${2}$ , ${5}$ , ${8}$ .
2 elemente: ${2, 5}$ , ${2, 8}$ , ${5, 8}$ .
3 elemente: ${2, 5, 8} = A$ .
Total: $1 + 3 + 3 + 1 =$ $8 =$ $2^{3}$ submulțimi, dintre care $3$ au exact două elemente.

Răspuns: 8 submulțimi; 3 au exact două elemente: ${2, 5}$ , ${2, 8}$ , ${5, 8}$

EXERCIȚIUL 5Câte submulțimi are?mediu

Fie $A =$ ${x \in ℕ | 3 \leq x < 8}$ . a) Câte submulțimi are $A$ ? b) Câte submulțimi nevide are $A$ ? c) Câte submulțimi nevide și diferite de $A$ are?

Rezolvare pas cu pas

Scriem $A$ prin enumerare: $A =$ ${3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7}$ . $A$ are $5$ elemente ( $8$ nu intră, pentru că $x < 8$ ).
a) Numărul submulțimilor este $2^{5} = 32$ .
b) Dintre ele, doar $\emptyset$ este vidă: $32 - 1 = 31$ submulțimi nevide.
c) Scoatem și mulțimea $A$ : $31 - 1 = 30$ .

Răspuns: a) $32$ ; b) $31$ ; c) $30$

EXERCIȚIUL 6Submulțimi cu o proprietate datămediu

Fie $D =$ ${x \in ℕ | x este divizor al lui 18}$ . Scrie submulțimea $P$ a lui $D$ , formată din numerele pare, și submulțimea $T$ , formată din multiplii lui $3$ . Este adevărat că $P \subset T$ ?

Rezolvare pas cu pas

Divizorii lui $18$ sunt $1, 2, 3, 6, 9, 18$ , deci $D =$ ${1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $9,$ $18}$ .
Alegem din $D$ numerele pare: $P = {2, 6, 18}$ .
Alegem din $D$ multiplii lui $3$ : $T = {3, 6, 9, 18}$ .
Pentru $P \subset T$ ar trebui ca fiecare element al lui $P$ să fie în $T$ . Dar $2 \in P$ și $2 \notin T$ .

Răspuns: $P = {2, 6, 18}$ , $T = {3, 6, 9, 18}$ ; $P \subset̸ T$

EXERCIȚIUL 7Află elementul necunoscutgreu

Mulțimea $A = {2, 7, x + 1}$ are trei elemente, iar $B = {2, 5, 7, 9}$ . Determină numerele naturale $x$ pentru care $A \subset B$ .

Rezolvare pas cu pas

$2 \in B$ și $7 \in B$ , deci trebuie doar ca $x + 1 \in B$ .
$A$ are trei elemente, deci $x + 1$ este diferit de $2$ și de $7$ . Rămân variantele $x + 1 = 5$ sau $x + 1 = 9$ .
Din $x + 1 = 5$ obținem $x = 4$ , iar $A = {2, 7, 5}$ .
Din $x + 1 = 9$ obținem $x = 8$ , iar $A = {2, 7, 9}$ .
În ambele cazuri toate elementele lui $A$ sunt în $B$ .

Răspuns: $x \in {4, 8}$

EXERCIȚIUL 8Submulțimi care conțin un element datgreu

Fie $A = {1, 2, 3, 4}$ . Câte submulțimi ale lui $A$ conțin elementul $1$ ? Scrie-le.

Rezolvare pas cu pas

O astfel de submulțime conține sigur $1$ , iar restul elementelor le alegem din ${2, 3, 4}$ .
Mulțimea ${2, 3, 4}$ are $2^{3} = 8$ submulțimi, deci sunt $8$ submulțimi care conțin $1$ .
Adăugăm $1$ la fiecare submulțime a lui ${2, 3, 4}$ : din $\emptyset$ obținem ${1}$ , din ${2}$ , ${3}$ , ${4}$ obținem ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${1, 4}$ .
Din ${2, 3}$ , ${2, 4}$ , ${3, 4}$ obținem ${1, 2, 3}$ , ${1, 2, 4}$ , ${1, 3, 4}$ , iar din ${2, 3, 4}$ obținem ${1, 2, 3, 4}$ .
Verificare: $A$ are $2^{4} = 16$ submulțimi în total, iar exact jumătate dintre ele îl conțin pe $1$ .

Răspuns: 8 submulțimi: ${1}$ , ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${1, 4}$ , ${1, 2, 3}$ , ${1, 2, 4}$ , ${1, 3, 4}$ , ${1, 2, 3, 4}$

Cum recunoști un exercițiu pe submulțimi

Între două mulțimi trebuie pus un semn sau se întreabă „este inclusă?”: verifici, pe rând, fiecare element al primei mulțimi.
Se cere „scrie toate submulțimile”: le scrii ordonat după numărul de elemente, începând cu $\emptyset$ și terminând cu mulțimea însăși.
Se cere doar „câte submulțimi”: numeri elementele ( $n$ ) și calculezi $2^{n}$ . Dacă mulțimea e dată printr-o proprietate, o scrii întâi prin enumerare.

Greșeli frecvente

Scrii $3 \subset A$ în loc de $3 \in A$ . Semnul $\in$ se pune între un element și o mulțime. Semnul $\subset$ se pune între două mulțimi: ${3} \subset A$ .
Uiți mulțimea vidă sau mulțimea însăși. Mulțimea ${a, b}$ are $4$ submulțimi, nu $2$ : $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ și ${a, b}$ .
Numeri de două ori aceeași submulțime. ${2, 5}$ și ${5, 2}$ sunt aceeași mulțime, pentru că ordinea elementelor nu contează. O scrii o singură dată.

Exersează

Fișă de lucru: Relații între mulțimi, submulțimi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Mulțimi, clasa a VI-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Mulțimi, descriere, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce este o submulțime?

O mulțime ale cărei elemente se află toate într-o altă mulțime. De exemplu, ${1, 2}$ este submulțime a lui ${1, 2, 3}$ .

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi?

Da. $\emptyset$ nu are niciun element care să lipsească din cealaltă mulțime, deci $\emptyset \subset A$ pentru orice mulțime $A$ .

Câte submulțimi are o mulțime cu 3 elemente?

Are $2^{3} = 8$ submulțimi: mulțimea vidă, 3 cu un element, 3 cu două elemente și mulțimea însăși.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele reprezintă o mulțime vidă?
2. Fie mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Câte elemente are mulțimea $A$ ?
3. Care dintre variantele de mai jos descrie corect mulțimea $B = {2, 4, 6, 8}$ prin proprietatea comună a elementelor?
4. Mulțimea literelor distincte din cuvântul MATEMATICA este:
5. Fie $C = {x \in ℕ | x < 4}$ . Care este forma explicită (prin enumerare) a mulțimii $C$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 29 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

DESCRIEREA MULȚIMILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

OPERAȚIILE CU MULȚIMI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

MULȚIMI DISJUNCTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

DESCOMPUNEREA NUMERELOR NATURALE în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

DETERMINAREA C.M.M.D.C. prin descompunere în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

CMMMC (cel mai mic multiplu comun) - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună