CMMMC (cel mai mic multiplu comun) - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

C.m.m.m.c. (cel mai mic multiplu comun) al unor numere este cel mai mic număr nenul care se împarte exact la fiecare dintre ele. Îl calculezi descompunând numerele în factori primi și luând factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare. Mai jos găsești metodele, proprietățile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum se calculează c.m.m.m.c.

Multiplu comun. Un număr este multiplu comun al lui $a$ și $b$ dacă se împarte exact și la $a$ , și la $b$ . Multiplii lui $4$ sunt $0,$ $4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ $24,$ $\dots$ , iar multiplii lui $6$ sunt $0,$ $6,$ $12,$ $18,$ $24,$ $\dots$ . Multiplii comuni lui $4$ și $6$ sunt $0,$ $12,$ $24,$ $36,$ $\dots$

C.m.m.m.c. este cel mai mic multiplu comun diferit de zero. Se notează $[a, b]$ . În exemplul de mai sus, $[4, 6] = 12$ . Toți ceilalți multipli comuni sunt multipli ai lui $12$ .

Metoda 1: lista multiplilor (bună pentru numere mici). Scrii pe rând multiplii numărului mai mare și te oprești la primul care se împarte exact și la celălalt număr.

Metoda 2: descompunerea în factori primi (merge pentru orice numere).

Descompui fiecare număr în produs de puteri de numere prime.
Iei toți factorii primi, comuni și necomuni, fiecare o singură dată, la puterea cea mai mare la care apare.
Înmulțești factorii aleși.

Exemplu: $12 = 2^{2} \cdot 3$ și $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , deci

$[12, 18] =$ $2^{2} \cdot 3^{2} =$ $36$

Proprietăți utile

Legătura cu c.m.m.d.c.: pentru două numere naturale nenule, $(a, b) \cdot [a, b] =$ $a \cdot b$ . Verificare: $(12, 18) = 6$ și $6 \cdot 36 =$ $216 =$ $12 \cdot 18$ .
Numere prime între ele: dacă $(a, b) = 1$ , atunci $[a, b] = a \cdot b$ . Exemplu: $[8, 15] = 120$ .
Un număr îl divide pe celălalt: dacă $a$ divide pe $b$ , atunci $[a, b] = b$ . Exemplu: $[6, 30] = 30$ .
Pentru numere nenule, c.m.m.m.c. este mai mare sau egal cu cel mai mare dintre ele.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Metoda multiplilorușor

Scrie primii multipli nenuli ai numerelor $6$ și $8$ și află $[6, 8]$ .

Rezolvare pas cu pas

Multiplii nenuli ai lui $8$ sunt $8,$ $16,$ $24,$ $32,$ $\dots$
Multiplii nenuli ai lui $6$ sunt $6,$ $12,$ $18,$ $24,$ $30,$ $\dots$
Primul număr care apare în ambele liste este $24$ . Verificare: $24 : 6 = 4$ și $24 : 8 = 3$ .

Răspuns: $[6, 8] = 24$

EXERCIȚIUL 2Prin descompunereușor

Calculează $[24, 36]$ folosind descompunerea în factori primi.

Rezolvare pas cu pas

Descompunem: $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ .
Factorii primi care apar sunt $2$ și $3$ . Pentru $2$ , puterea cea mai mare este $2^{3}$ . Pentru $3$ , puterea cea mai mare este $3^{2}$ .
$[24, 36] =$ $2^{3} \cdot 3^{2} =$ $8 \cdot 9 =$ $72$ .

Răspuns: $[24, 36] = 72$

EXERCIȚIUL 3Cazuri specialeușor

Află, fără descompunere: a) $[7, 9]$ ; b) $[5, 35]$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $7$ are doar divizorii $1$ și $7$ , iar $9$ nu se împarte la $7$ . Deci $(7, 9) = 1$ : numerele sunt prime între ele.
Pentru numere prime între ele, c.m.m.m.c. este produsul lor: $[7, 9] =$ $7 \cdot 9 =$ $63$ .
b) $35 = 5 \cdot 7$ , deci $5$ îl divide pe $35$ . Atunci c.m.m.m.c. este chiar numărul mai mare: $[5, 35] = 35$ .

Răspuns: a) $63$ ; b) $35$

EXERCIȚIUL 4Trei numeremediu

Calculează $[20, 30, 45]$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompunem: $20 = 2^{2} \cdot 5$ , $30 =$ $2 \cdot 3 \cdot 5$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ .
Factorii primi care apar sunt $2$ , $3$ și $5$ . Puterile cele mai mari: $2^{2}$ (din $20$ ), $3^{2}$ (din $45$ ) și $5$ .
$[20, 30, 45] =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 =$ $4 \cdot 9 \cdot 5 =$ $180$ .
Verificare: $180 : 20 = 9$ , $180 : 30 = 6$ , $180 : 45 = 4$ .

Răspuns: $[20, 30, 45] = 180$

EXERCIȚIUL 5Legătura cu c.m.m.d.c.mediu

Produsul a două numere naturale este $432$ , iar c.m.m.d.c. al lor este $6$ . Află c.m.m.m.c. al celor două numere.

Rezolvare pas cu pas

Folosim relația $(a, b) \cdot [a, b] =$ $a \cdot b$ .
Înlocuim: $6 \cdot [a, b] = 432$ .
Deci $[a, b] =$ $432 : 6 =$ $72$ .
Exemplu care verifică: $a = 18$ și $b = 24$ au produsul $432$ , $(18, 24) = 6$ și $[18, 24] = 72$ .

Răspuns: $[a, b] = 72$

EXERCIȚIUL 6Autobuzelemediu

Din aceeași stație pleacă două autobuze: primul la fiecare $12$ minute, al doilea la fiecare $18$ minute. La ora $7 : 00$ pleacă împreună. a) La ce oră vor pleca din nou împreună? b) De câte ori mai pleacă împreună după ora $7 : 00$ , până la ora $10 : 00$ inclusiv?

Rezolvare pas cu pas

a) Pleacă împreună după un număr de minute care este multiplu comun al lui $12$ și $18$ . Prima dată, după $[12, 18]$ minute.
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , deci $[12, 18] =$ $2^{2} \cdot 3^{2} =$ $36$ de minute. Vor pleca împreună la ora $7 : 36$ .
b) De la $7 : 00$ la $10 : 00$ sunt $3 \cdot 60 = 180$ de minute.
Plecările comune sunt la fiecare $36$ de minute: $180 : 36 = 5$ . Ele au loc la $7 : 36$ , $8 : 12$ , $8 : 48$ , $9 : 24$ și $10 : 00$ .

Răspuns: a) la ora $7 : 36$ ; b) de $5$ ori

EXERCIȚIUL 7Resturi diferitegreu

Află cel mai mic număr natural care, împărțit la $4$ , dă restul $3$ , împărțit la $6$ , dă restul $5$ , iar împărțit la $9$ , dă restul $8$ .

Rezolvare pas cu pas

Fie $n$ numărul căutat. Fiecare rest este cu $1$ mai mic decât împărțitorul: $3 = 4 - 1$ , $5 = 6 - 1$ , $8 = 9 - 1$ .
Deci $n + 1$ se împarte exact la $4$ , la $6$ și la $9$ : $n + 1$ este multiplu comun nenul al lor.
$4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $9 = 3^{2}$ , deci $[4, 6, 9] =$ $2^{2} \cdot 3^{2} =$ $36$ .
Cel mai mic $n$ se obține pentru $n + 1 = 36$ , adică $n = 35$ .
Verificare: $35 = 4 \cdot 8 + 3$ , $35 = 6 \cdot 5 + 5$ , $35 = 9 \cdot 3 + 8$ .

Răspuns: $n = 35$

EXERCIȚIUL 8Numărul elevilorgreu

Numărul elevilor unei școli este cuprins între $300$ și $400$ . Dacă elevii se așază în rânduri de câte $12$ , de câte $15$ sau de câte $18$ , de fiecare dată rămân $7$ elevi. Câți elevi are școala?

Rezolvare pas cu pas

Fie $n$ numărul elevilor. Restul este mereu $7$ , deci $n - 7$ se împarte exact la $12$ , la $15$ și la $18$ .
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , deci $[12, 15, 18] =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 =$ $180$ .
Atunci $n - 7$ este un multiplu al lui $180$ : $0,$ $180,$ $360,$ $540,$ $\dots$ , deci $n$ poate fi $7,$ $187,$ $367,$ $547,$ $\dots$
Singura valoare între $300$ și $400$ este $n = 367$ .
Verificare: $367 =$ $12 \cdot 30 + 7 =$ $15 \cdot 24 + 7 =$ $18 \cdot 20 + 7$ .

Răspuns: Școala are $367$ de elevi.

Cum recunoști un exercițiu pe c.m.m.m.c.

Se cere „cel mai mic număr” care se împarte exact la mai multe numere, eventual cu același rest sau cu resturi „cu 1 mai mici” decât împărțitorii.
Evenimente care se repetă la intervale diferite (autobuze, semafoare, ture) și se întreabă când se întâlnesc din nou.
Obiecte așezate în grupe de câte $a$ , de câte $b$ sau de câte $c$ , fără să rămână nimic sau cu același rest. Dacă, în schimb, se cere să împarți ceva în grupe cât mai mari, este c.m.m.d.c.

Greșeli frecvente

Iei puterea cea mai mică. Aceea este regula de la c.m.m.d.c. La c.m.m.m.c. iei puterea cea mai mare: $[2^{3} \cdot 3, 2^{2} \cdot 3^{2}] =$ $2^{3} \cdot 3^{2} =$ $72$ .
Uiți factorii necomuni. La c.m.m.m.c. intră și factorii care apar într-un singur număr: $[20, 45]$ conține și $2^{2}$ , și $5$ , și $3^{2}$ , deci este $180$ , nu doar $5$ (factorul comun).
Înmulțești numerele fără să verifici. Produsul $a \cdot b$ este c.m.m.m.c. doar dacă numerele sunt prime între ele. $6 \cdot 8 = 48$ , dar $[6, 8] = 24$ .

Exersează

Fișă de lucru: C.m.m.m.c., clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Determinarea c.m.m.m.c., clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Divizibilitate, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce înseamnă cmmmc?

Cmmmc înseamnă „cel mai mic multiplu comun”: cel mai mic număr diferit de zero care se împarte exact la toate numerele date. De exemplu, $[4, 6] = 12$ .

Cum se calculează cmmmc?

Descompui numerele în factori primi și înmulțești toți factorii, comuni și necomuni, fiecare la puterea cea mai mare. Pentru numere mici poți scrie multiplii și îl alegi pe primul comun.

Care este formula cmmmc pentru două numere?

Pentru două numere naturale nenule, $[a, b] =$ $a \cdot b : (a, b)$ , adică produsul lor împărțit la c.m.m.d.c. De exemplu, $[12, 18] =$ $216 : 6 =$ $36$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor 4 și 6?
2. Cum se calculează c.m.m.m.c. a două numere folosind c.m.m.d.c.? Dacă $a = 12$ și $b = 18$ , iar $c.m.m.d.c. (12, 18) = 6$ , atunci $c.m.m.m.c. (12, 18)$ este:
3. Care este c.m.m.m.c. al numerelor 5, 10 și 15?
4. Doi elevi merg la bibliotecă: unul la fiecare 6 zile, celălalt la fiecare 8 zile. Dacă azi merg împreună, după câte zile se vor întâlni din nou?
5. Care dintre următoarele afirmații despre c.m.m.m.c. este adevărată?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 10 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

DESCOMPUNEREA NUMERELOR NATURALE în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

DETERMINAREA C.M.M.D.C. prin descompunere în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

PROPRIETĂȚILE DIVIZIBILITĂȚII în mulțimea numerelor naturale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

RAPOARTE MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

CALCULUL CU PROCENTE, formule și metode - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

PROPORȚII MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună