CMMMC — definiție, proprietăți și exemple pentru elevi

de Echipa Școala Virtuală10 mai 2026

CMMMC (cel mai mic multiplu comun): 5 exerciții rezolvate

Ai doi prieteni. Unul vine la tine la fiecare 4 zile, altul la fiecare 6 zile. Vrei să știi când vor veni amândoi în aceeași zi. Sună a ghicitoare? De fapt e o problemă clasică de cmmmc — cel mai mic multiplu comun. Și dacă ți se pare că nu știi de unde să începi, nu ești singurul. Asta e exact genul de exercițiu care apare la examen și pe care mulți îl lasă gol pentru că n-au înțeles ce cere. Dar uite ce e funny: odată ce înțelegi logica, e unul dintre cele mai mecanice lucruri din matematică. Faci pașii, găsești răspunsul. Nu există ambiguitate, nu există capcane ascunse. Trebuie doar să știi de unde pornești.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este cmmmc și ce sens are în probleme reale
Vei ști să calculezi cmmmc folosind descompunerea în factori primi
Vei recunoaște greșelile frecvente care costă puncte
Vei exersa cu probleme din programa de clasa 5-8, cu răspunsuri

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, cmmmc

Hai să zicem că ai numerele 4 și 6. Multiplii lui 4 sunt: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Multiplii lui 6 sunt: 6, 12, 18, 24… Uită-te la ambele liste și caută primul număr care apare în amândouă. Îl vezi? E 12. Ăsta e cmmmc-ul lui 4 și 6 — cel mai mic număr care se divide exact atât cu 4, cât și cu 6. Practic, e cel mai mic număr pe care îl pot „împărți” ambele. Nu-i magic, e doar o chestie de liste. Problema e că pentru numere mari, să scrii toți multiplii e obositor și piezi timp. De aia există o metodă mai scurtă — prin descompunere în factori primi. Și pe aia o facem acum.

💡 Regula de bază

Descompui fiecare număr în factori primi. Apoi iei toți factorii primi care apar, fiecare la puterea cea mai mare la care apare în oricare din descompuneri. Înmulțești tot ce ai ales — și obții cmmmc.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează $cmmmc (12, 18, 30)$ .

🔢 Rezolvare

$12 = 2^{2} \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^{2}$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$cmmmc (12, 18, 30) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$

✅ Explicație

Factorul 2 apare în toate trei, dar puterea maximă e $2^{2}$ — din 12. Factorul 3 apare cu puterea maximă $3^{2}$ — din 18. Factorul 5 apare doar în 30, dar îl iei oricum — dacă apare undeva, intră în cmmmc. Regula e simplă: puterea maximă a fiecărui factor care apare, indiferent unde.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii iau puterea minimă în loc de cea maximă. Adică, dacă 2 apare ca $2^{2}$ într-un număr și ca $2^{1}$ în altul, aleg $2^{1}$ . Asta e greșeala de la cmmdc — nu de la cmmmc. Le confundă.

✅ Corect: La cmmmc iei puterea maximă. La cmmdc iei puterea minimă. Ține minte: cmmmc = Mare (maximă).

❌ Greșeala #2: Uită să includă un factor prim care apare doar într-unul dintre numere. De exemplu, 5 apare doar în 30, și mulți îl ignoră pentru că „nu e în toate”.

✅ Corect: Dacă un factor prim apare în cel puțin un număr din listă, intră obligatoriu în cmmmc. Nu trebuie să fie în toate — trebuie să fie în cel puțin unul.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Calculează $cmmmc (6, 8)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Descompunem fiecare număr în factori primi:

6 = 2 \cdot 3

8 = 2^{3}

Luăm fiecare factor prim la puterea cea mai mare la care apare: 2 la puterea a 3-a (din 8) și 3 (din 6):

cmmmc (6, 8) = 2^{3} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24

Verificare: 24 împărțit la 6 dă 4, iar 24 împărțit la 8 dă 3. Se divide exact cu ambele. Corect.

Răspuns: 24

Exercițiul 2. Calculează $cmmmc (15, 20, 12)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Același drum, doar că acum sunt trei numere:

15 = 3 \cdot 5

20 = 2^{2} \cdot 5

12 = 2^{2} \cdot 3

Factorii primi care apar sunt 2, 3 și 5. Puterea maximă a lui 2 este $2^{2}$ , iar 3 și 5 apar doar la puterea întâi:

cmmmc (15, 20, 12) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

Verificare: 60 împărțit la 15 dă 4, împărțit la 20 dă 3, împărțit la 12 dă 5. Corect.

Răspuns: 60

Exercițiul 3. Două autobuze pleacă din aceeași stație la aceeași oră. Unul pleacă la fiecare 8 minute, celălalt la fiecare 12 minute. Peste câte minute vor pleca din nou împreună?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Autobuzele pleacă din nou împreună după un număr de minute care se divide exact și cu 8, și cu 12. Cel mai mic astfel de număr este chiar cmmmc:

8 = 2^{3}

12 = 2^{2} \cdot 3

cmmmc (8, 12) = 2^{3} \cdot 3 = 24

Primul autobuz pleacă la minutele 8, 16, 24, iar al doilea la minutele 12, 24. Prima potrivire e la minutul 24, exact cum spune calculul.

Răspuns: peste 24 de minute

Exercițiul 4. Calculează $cmmmc (9, 12, 18)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Descompunem în factori primi:

9 = 3^{2}

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

Puterea maximă a lui 2 este $2^{2}$ (din 12), iar puterea maximă a lui 3 este $3^{2}$ (din 9 și 18):

cmmmc (9, 12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36

Verificare: 36 împărțit la 9 dă 4, împărțit la 12 dă 3, împărțit la 18 dă 2. Se divide exact cu toate trei. Corect.

Răspuns: 36

Exercițiul 5. Provocare: trei colegi merg la aceeași bibliotecă: primul la fiecare 6 zile, al doilea la fiecare 10 zile, al treilea la fiecare 15 zile. Astăzi s-au întâlnit toți trei acolo. Peste câte zile se vor întâlni din nou toți trei la bibliotecă?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Căutăm cel mai mic număr de zile care se divide exact cu 6, cu 10 și cu 15, adică $cmmmc (6, 10, 15)$ :

6 = 2 \cdot 3

10 = 2 \cdot 5

15 = 3 \cdot 5

Fiecare factor prim (2, 3 și 5) apare cel mult la puterea întâi, deci îi înmulțim pe toți:

cmmmc (6, 10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

Observă capcana: niciun factor nu apare la putere mai mare, dar tot trebuie să îi iei pe toți trei, chiar dacă niciunul nu apare în toate descompunerile. Verificare: 30 împărțit la 6 dă 5, la 10 dă 3, la 15 dă 2. Corect.

Răspuns: peste 30 de zile

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre cmmmc și cmmdc? Le tot confund.

E normal să le confunzi — lucrează cu aceleași descompuneri, dar în sens opus. La cmmdc (cel mai mare divizor comun) iei puterea minimă a factorilor comuni. La cmmmc iei puterea maximă a tuturor factorilor. Un truc: „D” de la divizor → putere mică; „M” de la multiplu → putere mare.

Pot calcula cmmmc și fără descompunere în factori primi?

Da, poți scrie lista multiplilor și cauți primul comun — metoda funcționează perfect pentru numere mici. Dar pentru numere ca 48, 72 sau 120, lista devine lungă și pierzi timp. Descompunerea în factori primi e mai rapidă și mai sigură, mai ales când ai trei sau mai multe numere.

Ce fac dacă unul dintre numere este 1?

Simplu. $cmmmc (1, n) = n$ pentru orice număr natural $n$ . Asta pentru că 1 divide orice număr, deci multiplul comun minim e chiar celălalt număr. Nu trebuie să faci niciun calcul suplimentar — răspunsul e direct celălalt număr din problemă.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună