OPERAȚIILE CU MULȚIMI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Cu două mulțimi poți face trei operații: reuniunea $A \cup B$ (tot ce e în cel puțin una dintre ele), intersecția $A \cap B$ (doar ce au în comun) și diferența $A ∖ B$ (ce e în $A$ , dar nu și în $B$ ). Mai jos găsești regulile, proprietățile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Reuniunea, intersecția și diferența, pe rând

Pentru două mulțimi $A$ și $B$ poți defini trei operații care produc mulțimi noi.

Reuniunea $A \cup B$ conține toate elementele care sunt în $A$ , sau în $B$ , sau în amândouă. Un element comun se scrie o singură dată.

Intersecția $A \cap B$ conține doar elementele care se află în amândouă mulțimile deodată.

Diferența $A ∖ B$ conține elementele din $A$ care nu se găsesc în $B$ . Diferența nu e „simetrică”: $A ∖ B$ și $B ∖ A$ sunt, în general, mulțimi diferite.

Proprietăți utile. Reuniunea și intersecția sunt comutative: $A \cup B = B \cup A$ și $A \cap B = B \cap A$ . Mulțimea vidă e neutră la reuniune și „anulează” la intersecție: $A \cup \emptyset = A$ și $A \cap \emptyset =$ $\emptyset$ . Iar $A ∖ A =$ $\emptyset$ .

Cardinalul reuniunii. Pentru orice două mulțimi finite, $card (A \cup B) =$ $card (A) +$ $card (B) - card (A \cap B)$ : scazi elementele comune, ca să nu le numeri de două ori. Când $A$ și $B$ nu au niciun element comun (mulțimi disjuncte), formula se simplifică, pentru că nu scazi nimic.

Exerciții rezolvate : operațiile cu mulțimi

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cele trei operații pe rândușor

Se dau mulțimile $A =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10}$ și $B = {4, 8, 12, 16}$ . Calculează $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ și $B ∖ A$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru reuniune, aduni toate elementele din amândouă, fără să repeți $4$ și $8$ , care apar în ambele: $A \cup B =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $16}$ .
Pentru intersecție, cauți doar ce au în comun: $4$ și $8$ , deci $A \cap B = {4, 8}$ .
Pentru $A ∖ B$ , iei elementele din $A$ și scoți $4$ și $8$ , care sunt și în $B$ : rămân $2, 6, 10$ .
Pentru $B ∖ A$ , iei elementele din $B$ și scoți $4$ și $8$ : rămân $12, 16$ .

Răspuns: $A \cup B =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $16}$ ; $A \cap B = {4,8}$ ; $A ∖ B =$ ${2,$ $6,$ $10}$ ; $B ∖ A =$ ${12,$ $16}$

EXERCIȚIUL 2Verifici dacă sunt disjuncteușor

Se dau mulțimile $C = {1, 3, 5, 7}$ și $D = {2, 4, 6, 8}$ . Calculează $C \cap D$ și spune dacă mulțimile sunt disjuncte.

Rezolvare pas cu pas

Verifici, pe rând, dacă vreun element din $C$ apare și în $D$ : niciunul dintre $1, 3, 5, 7$ nu e printre $2, 4, 6, 8$ .
Nu găsești niciun element comun, deci $C \cap D = \emptyset$ .

Răspuns: $C \cap D = \emptyset$ ; $C$ și $D$ sunt disjuncte

EXERCIȚIUL 3Comutativitatea reuniuniimediu

Pentru mulțimile $A =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10}$ și $B = {4, 8, 12, 16}$ de la primul exercițiu, arată că $A \cup B = B \cup A$ .

Rezolvare pas cu pas

Reuniunea nu depinde de ordinea în care scrii mulțimile, pentru că adună pur și simplu toate elementele, fără repetiții: $A \cup B =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $16}$ .
Calculezi și $B \cup A$ : pornești de la elementele lui $B$ și le adaugi pe cele ale lui $A$ , tot fără repetiții: $B \cup A =$ ${4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $2,$ $6,$ $10}$ , adică aceeași mulțime, doar scrisă în altă ordine.

Răspuns: $A \cup B =$ $B \cup A =$ ${2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $16}$

EXERCIȚIUL 4Diferența nu e comutativămediu

Pentru aceleași $A$ și $B$ , arată că $A ∖ B \neq B ∖ A$ .

Rezolvare pas cu pas

$A ∖ B$ sunt elementele lui $A$ care nu sunt în $B$ : ${2, 6, 10}$ .
$B ∖ A$ sunt elementele lui $B$ care nu sunt în $A$ : ${12, 16}$ .
Cele două mulțimi nu au niciun element în comun și nici același număr de elemente, deci sigur $A ∖ B \neq B ∖ A$ .

Răspuns: $A ∖ B =$ ${2,$ $6,$ $10} \neq {12,$ $16} =$ $B ∖ A$

EXERCIȚIUL 5Cardinalul reuniunii, din numere datemediu

Știind că $card (A) = 15$ , $card (B) = 10$ și $card (A \cap B) =$ $6$ , află $card (A \cup B)$ .

Rezolvare pas cu pas

Aplici formula $card (A \cup B) =$ $card (A) +$ $card (B) - card (A \cap B)$ .
Înlocuiești: $card (A \cup B) =$ $15 + 10 - 6$ .

Răspuns: $card (A \cup B) =$ $19$

EXERCIȚIUL 6Trei mulțimi, operații combinatemediu

Se dau $A = {1,2,3,4,5,6}$ , $B = {4,5,6,7,8}$ și $C = {1,9,10}$ . Calculează $(A \cap B) \cup C$ .

Rezolvare pas cu pas

Calculezi întâi ce e în paranteză: $A \cap B = {4,5,6}$ , elementele comune lui $A$ și $B$ .
Reunești acest rezultat cu $C$ : ${4,$ $5,$ $6} \cup {1,$ $9,$ $10}$ .

Răspuns: $(A \cap B) \cup C =$ ${1,$ $4,$ $5,$ $6,$ $9,$ $10}$

EXERCIȚIUL 7Problemă cu doi elevi din treigreu

La o clasă de $30$ de elevi, $18$ joacă fotbal, $14$ joacă baschet, iar $7$ joacă amândouă sporturile. Câți elevi joacă cel puțin un sport dintre cele două? Câți nu joacă niciunul?

Rezolvare pas cu pas

Notezi cu $F$ mulțimea celor care joacă fotbal și cu $B$ mulțimea celor care joacă baschet: $card (F) = 18$ , $card (B) = 14$ , $card (F \cap B) =$ $7$ .
Cei care joacă cel puțin un sport formează $F \cup B$ : $card (F \cup B) =$ $18 + 14 - 7 =$ $25$ .
Restul elevilor, din totalul de $30$ , nu joacă niciunul dintre cele două sporturi: $30 - 25 = 5$ .

Răspuns: $25$ de elevi joacă cel puțin un sport; $5$ elevi nu joacă niciunul

EXERCIȚIUL 8Intersecția a două mulțimi de divizorigreu

Se dau $E =$ ${x \in ℕ | x divizor al lui 30}$ și $F =$ ${x \in ℕ | x divizor al lui 42}$ . Determină $E \cap F$ .

Rezolvare pas cu pas

Scrii $E$ prin enumerare: divizorii lui $30$ sunt $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $10,$ $15,$ $30$ .
Scrii $F$ prin enumerare: divizorii lui $42$ sunt $1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $7,$ $14,$ $21,$ $42$ .
Elementele comune celor două liste sunt $1, 2, 3$ și $6$ ; acestea sunt chiar divizorii comuni ai lui $30$ și $42$ .

Răspuns: $E \cap F =$ ${1,$ $2,$ $3,$ $6}$

Cum recunoști un exercițiu cu operații cu mulțimi

Enunțul cere să calculezi reuniunea, intersecția sau diferența a două (sau mai multe) mulțimi date.
Apar formulări de tipul „cel puțin unul dintre”, „amândouă în același timp” sau „doar unul, nu și celălalt”.
Ți se dau cardinalele mulțimilor și trebuie să afli cardinalul reuniunii sau invers.

Greșeli frecvente la operațiile cu mulțimi

Numeri de două ori un element comun la reuniune. La $A \cup B$ , un element care apare în amândouă mulțimile se scrie o singură dată. Verifică, la final, că nu ai repetiții.
Confunzi $A ∖ B$ cu $B ∖ A$ . Diferența nu e comutativă. $A ∖ B$ pleacă de la elementele lui $A$ și scoate ce e comun cu $B$ ; $B ∖ A$ face invers.
Aplici formula cardinalului reuniunii fără să scazi intersecția. Dacă adaugi doar $card (A) + card (B)$ , numeri elementele comune de două ori. Scade mereu $card (A \cap B)$ , în afară de cazul în care mulțimile sunt disjuncte.

Exersează : operațiile cu mulțimi

Fișă de lucru: Operațiile cu mulțimi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Mulțimi, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre operațiile cu mulțimi

Ce diferență e între reuniune și intersecție?

Reuniunea adună tot ce e în cel puțin una dintre mulțimi; intersecția păstrează doar ce e în amândouă deodată.

De ce

A ∖ B

și

B ∖ A

nu sunt de obicei egale?

Pentru că pleacă din mulțimi diferite: prima scoate din $A$ ce e comun cu $B$ , a doua scoate din $B$ ce e comun cu $A$ . Cele două sunt egale doar dacă $A = B$ , caz în care ambele sunt $\emptyset$ .

Ce înseamnă că două mulțimi sunt disjuncte?

Înseamnă că intersecția lor este mulțimea vidă, adică nu au niciun element comun.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 4. Operații cu mulțimi..

Exersează cu fișa de lucru: Operații cu mulțimi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Fie mulțimile $A = {2, 4, 6}$ și $B = {1, 3, 5}$ . Ce valoare are $A \cap B$ ?
2. Fie mulțimile $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {3, 4, 5, 6}$ . Care este reuniunea $A \cup B$ ?
3. Fie mulțimile $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {3, 4, 5, 6}$ . Care este intersecția $A \cap B$ ?
4. Fie $A = {a, b, c, d}$ și $B = {b, c}$ . Care dintre afirmații este adevărată?
5. Fie mulțimile $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ și $B = {3, 4, 5}$ . Care este diferența $A ∖ B$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 septembrie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

DESCRIEREA MULȚIMILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

SUBMULȚIMI, ce este o submulțime și cum le scrii - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

MULȚIMI DISJUNCTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 1: Mulțimi

DESCOMPUNEREA NUMERELOR NATURALE în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

DETERMINAREA C.M.M.D.C. prin descompunere în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

CMMMC (cel mai mic multiplu comun) - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună