NUMERE RAȚIONALE, definiție și operații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. Simplificăm întâi fracția care se poate simplifica: ${\displaystyle \frac{12}{4}}=3$.
2. Numere naturale: $0$ și ${\displaystyle \frac{12}{4}}=3$.
3. Numere întregi: $-4$, $0$ și $3$. Numerele ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ și $-\mathrm{2,5}$ nu sunt întregi.
4. Numere raționale: toate cele cinci, pentru că fiecare se scrie ca fracție: $-4={\displaystyle \frac{-4}{1}}$, $0={\displaystyle \frac{0}{1}}$, $-\mathrm{2,5}=$ $-{\displaystyle \frac{25}{10}}=$ $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Răspuns: $\mathbb{N}$: $0$, ${\displaystyle \frac{12}{4}}$; $\mathbb{Z}$: $-4$, $0$, ${\displaystyle \frac{12}{4}}$; $\mathbb{Q}$: toate numerele

1. a) $\mathrm{0,75}=$ ${\displaystyle \frac{75}{100}}$. Simplificăm cu $25$: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.
2. $-\mathrm{1,2}=$ $-{\displaystyle \frac{12}{10}}$. Simplificăm cu $2$: $-{\displaystyle \frac{6}{5}}$.
3. b) Împărțim numărătorul la numitor: $7:8=\mathrm{0,875}$, o fracție zecimală finită.
4. $5:6=$ $\mathrm{0,8333}\dots$. Cifra $3$ se repetă, deci ${\displaystyle \frac{5}{6}}=$ $\mathrm{0,8}(3)$, o fracție periodică mixtă.
5. $4:11=$ $\mathrm{0,3636}\dots$. Grupul $36$ se repetă, deci ${\displaystyle \frac{4}{11}}=$ $\mathrm{0,}(36)$, o fracție periodică simplă.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, $-{\displaystyle \frac{6}{5}}$; b) $\mathrm{0,875}$, $\mathrm{0,8}(3)$, $\mathrm{0,}(36)$

1. a) O diviziune mică înseamnă ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. $A$ este la 6 diviziuni la stânga lui $0$: $-{\displaystyle \frac{6}{4}}=$ $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
2. $B$ este la o diviziune la stânga lui $0$: $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$. $C$ este la 5 diviziuni la dreapta lui $0$: ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.
3. b) Opusele: ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ și $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$.
4. Modulele sunt distanțele până la origine: ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ și ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Răspuns: a) $A(-{\displaystyle \frac{3}{2}})$, $B(-{\displaystyle \frac{1}{4}})$, $C\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)$; b) opuse: ${\displaystyle \frac{3}{2}},$ ${\displaystyle \frac{1}{4}},$ $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$; module: ${\displaystyle \frac{3}{2}},$ ${\displaystyle \frac{1}{4}},$ ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

1. a) Aducem la numitorul comun $12$: $-{\displaystyle \frac{3}{4}}=$ $-{\displaystyle \frac{9}{12}}$ și $-{\displaystyle \frac{5}{6}}=$ $-{\displaystyle \frac{10}{12}}$.
2. Ambele sunt negative, iar ${\displaystyle \frac{9}{12}}<{\displaystyle \frac{10}{12}}$. Mai mare este cel cu modulul mai mic, deci $-{\displaystyle \frac{3}{4}}>-{\displaystyle \frac{5}{6}}$.
3. b) Negativele: $-{\displaystyle \frac{7}{4}}=$ $-\mathrm{1,75}$, $-\mathrm{1,5}$ și $-1$. Modulul cel mai mare îl are $-\mathrm{1,75}$, deci $-{\displaystyle \frac{7}{4}}<-\mathrm{1,5}<-1$.
4. Pozitivele: ${\displaystyle \frac{2}{3}}=$ $\mathrm{0,666}\dots$, deci $\mathrm{0,6}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Răspuns: a) $-{\displaystyle \frac{3}{4}}>-{\displaystyle \frac{5}{6}}$; b) $-{\displaystyle \frac{7}{4}}<-\mathrm{1,5}<-1<\mathrm{0,6}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$

1. a) Scăderea unui număr negativ devine adunare: $-{\displaystyle \frac{2}{3}}+$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}+$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. Numitorul comun este $12$: $-{\displaystyle \frac{8}{12}}+$ ${\displaystyle \frac{10}{12}}+$ ${\displaystyle \frac{3}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{-8+10+3}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{12}}$.
3. b) Scriem $\mathrm{1,5}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{6}{4}}$.
4. ${\displaystyle \frac{6}{4}}-{\displaystyle \frac{11}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{6-11}{4}}=$ $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{5}{12}}$; b) $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

1. a) Semne diferite, deci rezultatul este negativ. Simplificăm în cruce: $4$ cu $8$ (rămân $1$ și $2$), $15$ cu $9$ (rămân $5$ și $3$).
2. $-{\displaystyle \frac{1\cdot 5}{3\cdot 2}}=$ $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$.
3. b) Semne egale, deci rezultatul este pozitiv. Înmulțim cu inversul: ${\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{25}{14}}$.
4. Simplificăm $7$ cu $14$ (rămân $1$ și $2$) și $25$ cu $10$ (rămân $5$ și $2$): ${\displaystyle \frac{1\cdot 5}{2\cdot 2}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Răspuns: a) $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$; b) ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

1. Exponentul negativ înseamnă inversul la puterea pozitivă: ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{-3}=$ ${(-2)}^3=$ $-8$.
2. ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-2}=$ ${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2=$ ${\displaystyle \frac{9}{4}}$.
3. Orice număr nenul la puterea $0$ este $1$: ${(-5)}^0=1$.
4. Înmulțirea: ${\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}=$ $1$.
5. $E=-8+1-1=-8$.

Răspuns: $E=-8$

1. În paranteză: $\mathrm{1,25}=$ ${\displaystyle \frac{5}{4}}$, deci $-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Puterea: ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ (exponent par, rezultat pozitiv).
3. Împărțirea: ${\displaystyle \frac{1}{2}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4=$ $2$.
4. Modulul și înmulțirea: $|-{\displaystyle \frac{2}{3}}|=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, iar $9\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=$ $6$.
5. $E=2+6=8$, care este număr natural.

Răspuns: $E=8\in \mathbb{N}$