TANGENTA LA CERC: proprietăți și tangentele dintr-un punct exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență, iar tangentele duse dintr-un punct exterior sunt egale: $P A = P B$ . Mai jos găsești proprietățile, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Tangenta la cerc: definiție și proprietăți

Definiție. O dreaptă este tangentă la un cerc dacă are un singur punct comun cu cercul. Punctul comun se numește punct de tangență.

Liniuțele arată tangentele egale

P A = P B

O P

este perpendiculară pe coarda

A B

în mijlocul ei,

M

Poziția unei drepte față de cerc. Fie $d$ distanța de la centrul $O$ la dreaptă și $r$ raza. Dacă $d < r$ , dreapta este secantă (taie cercul în două puncte); dacă $d = r$ , este tangentă; dacă $d > r$ , este exterioară cercului. Mai multe la pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor.

$O A ⟂ P A$ $P A = P B$

Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență: $O A ⟂ P A$ . Triunghiul $O A P$ este dreptunghic în $A$ , deci $O P^{2} = O A^{2} + P A^{2}$ .
Din punctul exterior $P$ se duc exact două tangente, $P A$ și $P B$ , și ele sunt egale: $P A = P B$ .
$O P$ este bisectoarea unghiului $A P B$ și a unghiului $A O B$ .
$O P$ este mediatoarea coardei $A B$ : $O P ⟂ A B$ și $O P$ trece prin mijlocul $M$ al lui $A B$ .
În patrulaterul $P A O B$ , unghiurile din $A$ și $B$ sunt drepte, deci $m (∠ A O B) + m (∠ A P B) =$ $180^{\circ}$ .

Când laturile unui triunghi sunt toate tangente la un cerc, cercul este înscris în triunghi: raza și centrul lui sunt explicate la cercul înscris în triunghi.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Poziția unei drepte față de cercușor

Cercul de centru $O$ are raza de $5$ cm. Dreptele $a$ , $b$ și $c$ se află la distanțele de $3$ cm, $5$ cm, respectiv $7$ cm de centrul $O$ . Stabilește poziția fiecărei drepte față de cerc.

Rezolvare pas cu pas

Comparăm distanța de la centru la dreaptă cu raza $r = 5$ cm.
Dreapta $a$ : $3 < 5$ , deci $a$ este secantă (taie cercul în două puncte).
Dreapta $b$ : $5 = 5$ , deci $b$ este tangentă la cerc (are un singur punct comun cu el).
Dreapta $c$ : $7 > 5$ , deci $c$ este exterioară cercului (nu are niciun punct comun cu el).

Răspuns: $a$ este secantă, $b$ este tangentă, $c$ este exterioară

EXERCIȚIUL 2Tangente egale și unghi de 60°ușor

Din punctul $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ la un cerc, cu $A$ și $B$ pe cerc. Știind că $P A = 8$ cm și $m (∠ A P B) =$ $60^{\circ}$ , calculează $P B$ și $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Tangentele duse din același punct sunt egale: $P B = P A = 8$ cm.
Triunghiul $P A B$ este isoscel ( $P A = P B$ ) și are un unghi de $60^{\circ}$ , deci este echilateral.
Rezultă $A B = P A = 8$ cm.

Răspuns: $P B = 8$ cm și $A B = 8$ cm

EXERCIȚIUL 3Lungimea tangentei cu Pitagoraușor

Cercul de centru $O$ are raza $O A = 5$ cm. Punctul $P$ se află la $13$ cm de $O$ , iar $P A$ este tangentă la cerc în $A$ . Calculează lungimea tangentei $P A$ .

Rezolvare pas cu pas

Tangenta este perpendiculară pe raza din punctul de tangență: $O A ⟂ P A$ , deci triunghiul $O A P$ este dreptunghic în $A$ .
Din teorema lui Pitagora: $P A^{2} =$ $O P^{2} - O A^{2} =$ $13^{2} - 5^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ .
$P A = \sqrt{144} = 12$ cm.

Răspuns: $P A = 12$ cm

EXERCIȚIUL 4Unghiurile din patrulaterul PAOBmediu

Din punctul $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ la cercul de centru $O$ . Știind că $m (∠ A P B) =$ $50^{\circ}$ , calculează $m (∠ A O B)$ și $m (∠ A P O)$ .

Rezolvare pas cu pas

Razele sunt perpendiculare pe tangente: $m (∠ O A P) =$ $m (∠ O B P) =$ $90^{\circ}$ .
Suma unghiurilor patrulaterului $P A O B$ este $360^{\circ}$ : $m (∠ A O B) =$ $360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} =$ $130^{\circ}$ .
$O P$ este bisectoarea unghiului $A P B$ : $m (∠ A P O) =$ $50^{\circ} : 2 =$ $25^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A O B) =$ $130^{\circ}$ și $m (∠ A P O) =$ $25^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Coarda care unește punctele de tangențămediu

Cercul de centru $O$ are raza de $6$ cm. Din punctul $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ , cu $P A = 8$ cm. Coarda $A B$ intersectează segmentul $O P$ în $M$ . Calculează $O P$ și $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul $O A P$ este dreptunghic în $A$ : $O P^{2} =$ $6^{2} + 8^{2} =$ $36 + 64 =$ $100$ , deci $O P = 10$ cm.
$O P$ este mediatoarea coardei $A B$ , deci $A M ⟂ O P$ și $A B = 2 \cdot A M$ . $A M$ este înălțimea triunghiului $O A P$ dusă din $A$ .
Scriem aria triunghiului $O A P$ în două feluri: $\frac{O A \cdot P A}{2} =$ $\frac{O P \cdot A M}{2}$ , deci $6 \cdot 8 =$ $10 \cdot A M$ .
$A M = 48 : 10 = 4,8$ cm și $A B =$ $2 \cdot 4,8 =$ $9,6$ cm.

Răspuns: $O P = 10$ cm și $A B = 9,6$ cm

EXERCIȚIUL 6Perimetrul triunghiului format de trei tangentemediu

Din punctul $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ la un cerc, cu $P A = 10$ cm. Tangenta la cerc într-un punct $T$ al arcului mic $A B$ intersectează segmentele $P A$ și $P B$ în $M$ , respectiv $N$ . Calculează perimetrul triunghiului $P M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Din $M$ se duc două tangente la cerc, $M A$ și $M T$ , deci $M T = M A$ . La fel, din $N$ : $N T = N B$ .
Punctul $T$ se află pe $M N$ , deci perimetrul triunghiului $P M N$ este $P M + M N + N P =$ $P M + M T + T N + N P$ .
Înlocuim $M T = M A$ și $T N = N B$ : perimetrul este $P M + M A + N B + N P =$ $P A + P B$ .
$P B = P A = 10$ cm, deci perimetrul triunghiului $P M N$ este $10 + 10 = 20$ cm.

Răspuns: perimetrul triunghiului $P M N$ este $20$ cm

EXERCIȚIUL 7Patrulater circumscris unui cercgreu

Laturile patrulaterului $A B C D$ sunt tangente la un cerc. Știind că $A B = 9$ cm, $B C = 7$ cm și $C D = 6$ cm, arată că $A B + C D = B C + A D$ și calculează $A D$ .

Toate cele patru laturi sunt tangente la cerc.

Rezolvare pas cu pas

Notăm lungimile tangentelor duse din vârfuri: $x$ din $A$ , $y$ din $B$ , $z$ din $C$ , $t$ din $D$ . Din fiecare vârf, cele două tangente sunt egale.
Atunci $A B = x + y$ , $B C = y + z$ , $C D = z + t$ și $A D = t + x$ .
$A B + C D =$ $x + y + z + t$ și $B C + A D =$ $y + z + t + x$ , deci $A B + C D = B C + A D$ .
$9 + 6 = 7 + A D$ , deci $A D = 15 - 7 = 8$ cm.

Răspuns: $A D = 8$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Cercul de centru $O$ are raza de $6$ cm, iar punctul $P$ se află la $12$ cm de $O$ . Din $P$ se duc tangentele $P A$ și $P B$ la cerc, iar coarda $A B$ intersectează $O P$ în $M$ . a) Arată că $m (∠ A O B) =$ $120^{\circ}$ . b) Calculează aria patrulaterului $P A O B$ . c) Calculează distanța de la $O$ la dreapta $A B$ .

Raza

O A = 6

cm este scrisă pe figură. În plus,

O P = 12

cm: întregul segment de la

O

P

, care trece prin

M

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $O A P$ este dreptunghic în $A$ , iar cateta $O A = 6$ cm este jumătate din ipotenuza $O P = 12$ cm. Din reciproca teoremei unghiului de $30^{\circ}$ , $m (∠ A P O) =$ $30^{\circ}$ .
$O P$ este bisectoare, deci $m (∠ A P B) =$ $60^{\circ}$ și $m (∠ A O B) =$ $360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $120^{\circ}$ .
b) $P A^{2} =$ $12^{2} - 6^{2} =$ $144 - 36 =$ $108$ , deci $P A =$ $\sqrt{108} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
Patrulaterul $P A O B$ este format din triunghiurile congruente $O A P$ și $O B P$ : $A =$ $2 \cdot \frac{O A \cdot P A}{2} =$ $6 \cdot 6 \sqrt{3} =$ $36 \sqrt{3}$ cm².
c) $O P ⟂ A B$ în $M$ , deci distanța cerută este $O M$ . În triunghiul $O A M$ , dreptunghic în $M$ , $m (∠ A O M) =$ $120^{\circ} : 2 =$ $60^{\circ}$ , deci $m (∠ O A M) =$ $30^{\circ}$ .
Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză: $O M =$ $\frac{O A}{2} =$ $3$ cm.

Răspuns: a) $120^{\circ}$ ; b) $36 \sqrt{3}$ cm²; c) $3$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe tangente la cerc

Enunțul spune „tangentă”, „dreaptă care atinge cercul” sau „din punctul exterior $P$ se duc…”: desenezi razele în punctele de tangență și marchezi unghiurile drepte.
Se cere lungimea tangentei sau distanța de la centru la punct: lucrezi în triunghiul dreptunghic $O A P$ , cu teorema lui Pitagora.
Apar mai multe tangente care se intersectează (triunghi sau patrulater): folosești tangentele egale din fiecare punct.

Greșeli frecvente

Uiți unghiul drept dintre rază și tangentă. Fără $O A ⟂ P A$ nu poți folosi teorema lui Pitagora. Desenează mereu raza în punctul de tangență și marchează unghiul drept.
Pui raza pe ipotenuză. În triunghiul $O A P$ , ipotenuza este $O P$ (se opune unghiului drept din $A$ ). Raza $O A$ și tangenta $P A$ sunt catete: $P A^{2} = O P^{2} - O A^{2}$ .
Crezi că orice dreaptă care atinge desenul cercului este tangentă. O dreaptă este tangentă doar dacă distanța de la centru la ea este egală cu raza. La $d < r$ dreapta taie cercul în două puncte, chiar dacă punctele sunt apropiate.

Exersează

Fișă de lucru: Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Cercul, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Tangente duse dintr-un punct exterior, partea a 2-aclasa a VII-a, lecția 7, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Câte tangente se pot duce la un cerc dintr-un punct?

Depinde de poziția punctului. Dintr-un punct exterior se duc două tangente, egale între ele. Printr-un punct al cercului trece o singură tangentă. Dintr-un punct interior nu se poate duce nicio tangentă.

Cum demonstrez că o dreaptă este tangentă la cerc?

Arăți că distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza. Echivalent, arăți că dreapta trece printr-un punct $A$ al cercului și este perpendiculară pe raza $O A$ .

De ce sunt egale tangentele dintr-un punct exterior?

Triunghiurile $O A P$ și $O B P$ sunt dreptunghice, au ipotenuza comună $O P$ și catetele $O A = O B$ (raze). Sunt congruente (cazul ipotenuză-catetă), deci $P A = P B$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 6. Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc. Cerc înscris în triunghi..

Exersează cu fișa de lucru: Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Din punct exterior unui cerc se duc două tangente la cerc. Ce relație există între lungimile celor două segmente de tangentă?
2. Fie punctul exterior $P$ și cercul cu centrul $O$ și raza $r = 3$ cm. Dacă distanța $P O = 5$ cm, care este lungimea tangentei duse din $P$ la cerc?
3. Ce unghi formează o tangentă la un cerc cu raza dusă în punctul de tangență?
4. Cercul înscris într-un triunghi este cercul care:
5. Un triunghi are laturile $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Dacă cercul înscris atinge latura $a$ în punctul $X$ , latura $b$ în punctul $Y$ și latura $c$ în punctul $Z$ , care este lungimea segmentului de tangentă dus din vârful opus laturii $a$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

COARDE ȘI ARCE ÎN CERC proprietăți, distanța de la centru la coardă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

UNGHI ÎNSCRIS ÎN CERC triunghi și patrulater înscris - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

RAZA CERCULUI ÎNSCRIS ÎN TRIUNGHI și centrul lui - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC latura, apotema și aria - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună