2 iunie 2026

Tangente la cerc — definiție, proprietăți și exemple

Ai desenat vreodată o roată de bicicletă și ai încercat să trasezi o linie care să o „atingă” exact într-un singur punct, fără să intre înăuntru? Fără să știi, tocmai ai desenat o tangentă la cerc. Tangentele la cerc apar peste tot — în roți, în design, în arhitectură — și sunt unul dintre subiectele care par complicate la prima vedere, dar de fapt se bazează pe o singură idee simplă. Problema e că mulți elevi le confundă cu secantele sau nu știu exact ce proprietăți să folosească atunci când rezolvă un exercițiu. Hai să clarificăm totul de la zero, cu exemple concrete și fără jargon inutil.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este o tangentă la cerc și cum o recunoști imediat
Vei ști să explici de ce tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență
Vei ști să calculezi lungimea unui segment tangent dintr-un punct exterior cercului
Vei înțelege proprietatea celor două tangente duse din același punct exterior

Ce este, de fapt, o tangentă la cerc

Să zicem că ai un cerc desenat pe foaie. O dreaptă poate să îl ignore complet (nu se intersectează deloc), poate să îl taie în două puncte — asta se numește secantă — sau poate să îl atingă exact într-un singur punct. Acel al treilea caz este tangenta. Practic, o dreaptă tangentă la cerc atinge cercul într-un singur punct, pe care îl numim punct de tangență. Nu intră în cerc, nu trece prin el. Doar îl atinge, ca o mașină care se oprește exact la bordură fără să urce pe trotuar. De fapt, dacă muți dreapta fie și un milimetru, fie nu mai atinge cercul, fie îl taie în două puncte. E o poziție unică și precisă — și tocmai asta o face specială.

💡 Regula de bază

O dreaptă este tangentă la cerc dacă se intersectează cu cercul în exact un singur punct. În acel punct, tangenta este perpendiculară pe raza dusă din centrul cercului. Deci unghiul dintre rază și tangentă este mereu $90 °$ .

De ce tangenta e perpendiculară pe rază — și cum gândești asta

Okay, mulți elevi pur și simplu memorează „tangenta e perpendiculară pe rază” fără să înțeleagă de ce. Hai să gândim împreună. Imaginează-ți că ești centrul cercului și privești spre punctul în care tangenta atinge cercul. Raza ajunge exact acolo — în punctul de tangență. Acum, dacă tangenta ar fi „înclinată” față de rază, ar însemna că există un punct pe dreaptă mai aproape de centru decât raza. Dar asta ar însemna că dreapta intră în interiorul cercului, deci nu mai e tangentă. Singurul mod în care dreapta poate atinge cercul fără să intre în el este să fie exact perpendiculară pe rază. E singura poziție care funcționează. Frumos, nu? Nu e o regulă inventată din senin — e o consecință logică a definiției.

💡 Proprietatea esențială

Dacă $T$ este punctul de tangență, $O$ este centrul cercului și $d$ este tangenta, atunci $O T ⟂ d$ . Asta înseamnă că triunghiul format de centru, punctul de tangență și orice alt punct de pe tangentă este dreptunghic în $T$ .

Tangente duse dintr-un punct exterior — proprietatea care apare mereu în exerciții

Acum vine partea care apare cel mai des în probleme. Dacă ai un punct $A$ în afara cercului, poți duce exact două tangente la cerc din acel punct. Ele ating cercul în două puncte diferite, să le numim $T_{1}$ și $T_{2}$ . Proprietatea importantă — și asta o vei folosi în aproape orice exercițiu — este că cele două segmente tangente sunt egale. Adică $A T_{1} = A T_{2}$ . Întotdeauna. Indiferent unde e punctul exterior față de cerc. De ce? Pentru că în triunghiurile $O A T_{1}$ și $O A T_{2}$ , ai ipotenuza comună $O A$ , razele egale $O T_{1} = O T_{2}$ și unghiurile drepte în $T_{1}$ și $T_{2}$ . Prin criteriul de congruență, triunghiurile sunt congruente, deci și segmentele $A T_{1}$ și $A T_{2}$ sunt egale.

💡 Formula pentru lungimea tangentei

Dacă $A$ e un punct exterior cercului cu centrul $O$ și raza $r$ , iar $T$ e punctul de tangență, atunci în triunghiul dreptunghic $O A T$ (dreptunghic în $T$ ) aplici teorema lui Pitagora:

$A T^{2} = O A^{2} - O T^{2} = O A^{2} - r^{2}$
$A T = \sqrt{O A^{2} - r^{2}}$

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Fie un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 6$ cm. Punctul $A$ se află în exteriorul cercului, la distanța $O A = 10$ cm față de centru. Din punctul $A$ se duce o tangentă la cerc, cu punctul de tangență $T$ . Calculează lungimea segmentului $A T$ .

🔢 Rezolvare

$O T ⟂ A T \Rightarrow triunghiul O A T este dreptunghic în T$
$A T^{2} = O A^{2} - O T^{2}$
$A T^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$
$A T = \sqrt{64} = 8 cm$

✅ Explicație

Cheia e să recunoști că triunghiul $O A T$ este dreptunghic în $T$ — pentru că tangenta e perpendiculară pe rază. De acolo, Pitagora face toată munca. $O A$ e ipotenuza (cel mai mare segment, cel dintre punctul exterior și centru), iar $A T$ și $O T$ sunt catetele. Nu inversa — greșeala clasică e să pui $O A$ ca o catetă.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea ipotenuzei cu o catetă în triunghiul $O A T$ . Mulți elevi scriu $O A^{2} = A T^{2} - O T^{2}$ sau amestecă termenii, pentru că nu se gândesc care e cel mai lung segment.

✅ Corect: $O A$ este întotdeauna ipotenuza — e segmentul de la centru la punctul exterior, și trece „dincolo” de rază. Raza $O T$ și tangenta $A T$ sunt catetele. Formula corectă: $A T^{2} = O A^{2} - r^{2}$ .

❌ Greșeala #2: Uitarea că cele două tangente dintr-un punct exterior sunt egale. Unii elevi calculează lungimea unui segment tangent și nu realizează că celălalt e identic, pierzând timp sau complicând inutil problema.

✅ Corect: Dacă din punctul $A$ duci două tangente la cerc cu punctele de tangență $T_{1}$ și $T_{2}$ , atunci $A T_{1} = A T_{2}$ — mereu. Calculezi o dată și știi ambele lungimi.

Exerciții rezolvate

Un cerc are raza $r = 5$ cm. Un punct exterior $A$ se află la $O A = 13$ cm față de centru. Cât măsoară tangenta din $A$ la cerc? (Răspuns: $A T = 12$ cm)
Din punctul $A$ exterior unui cerc se duc două tangente cu punctele de tangență $T_{1}$ și $T_{2}$ . Știind că $A T_{1} = 9$ cm și $O T_{1} = 3 \sqrt{5}$ cm, cât măsoară $O A$ ? (Răspuns: $O A = \sqrt{81 + 45} = \sqrt{126} = 3 \sqrt{14}$ cm)
Un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 8$ cm are un punct exterior $A$ cu $O A = 17$ cm. Calculează lungimea tangentei $A T$ și arată că $A T_{1} = A T_{2}$ pentru cele două tangente duse din $A$ . (Răspuns: $A T = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm; ambele tangente din $A$ sunt egale cu 15 cm)

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre tangentă și secantă?

Simplu: secanta taie cercul în două puncte, tangenta îl atinge în exact unul. Gândește-te la un cuțit față de un deget care atinge ușor o minge — secanta taie, tangenta atinge. Dacă în exercițiu ți se spune că dreapta „atinge” cercul sau că are un singur punct comun cu el, e tangentă.

Pot exista mai mult de două tangente dintr-un punct exterior?

Nu. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente — nicio altă dreaptă prin acel punct nu mai poate atinge cercul fără să îl taie. Dacă punctul e pe cerc, există o singură tangentă. Dacă e în interiorul cercului, nu există nicio tangentă.

Cum știu că unghiul din T este drept — trebuie să demonstrez sau se acceptă ca dat?

În probleme, de obicei ți se spune explicit că dreapta este tangentă la cerc. Din momentul ăla, știi automat că unghiul dintre rază și tangentă în punctul de tangență este de $90 °$ — e o proprietate demonstrată în teorie, pe care o poți folosi direct fără să o re-demonstrezi la fiecare exercițiu.

cu Alexandra Pavel

Vrei să înveți cu lecții video?

Sute de lecții video la matematică și română pentru clasele 5–8, structurate pe capitole.

Abonează-te — prima lună 5 lei

Articole recente

Gradele de comparație ale adjectivului — Greșeli frecvente

14 iunie 2026

Pronumele personal de politețe — când se folosește

13 iunie 2026

Ecuații în mulțimea numerelor întregi — greșeli frecvente

13 iunie 2026