Cercul înscris în triunghi: raza + exerciții rezolvate

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce este cercul inscris în triunghi și cum îl imaginezi vizual
• Vei ști formula pentru raza cercului inscris și de unde vine ea
• Vei ști să calculezi raza în orice triunghi dacă ai laturile și aria
• Vei recunoaște greșelile tipice și vei ști cum să le eviți

💡 Regula de bază

Raza cercului inscris se calculează cu formula  $r={\displaystyle \frac{A}{p}}$ , unde  $A$  este aria triunghiului, iar  $p$  este semi-perimetrul, adică  $p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$ . Practic: cu cât triunghiul e mai mare și mai „lat”, cu atât încape un cerc mai mare înăuntru.

💡 Formulele pe care le folosești

Semi-perimetrul:  $p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$ 

Raza cercului inscris:  $r={\displaystyle \frac{A}{p}}$ 

Dacă triunghiul e dreptunghic cu catetele  $a$ ,  $b$  și ipotenuza  $c$ , formula devine:  $r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$  — îți arăt imediat de ce.

📝 Enunț

Fie un triunghi dreptunghic cu catetele  $a=6$  cm și  $b=8$  cm. Calculează raza cercului inscris în triunghi.

🔢 Rezolvare

Pasul 1. Calculăm ipotenuza cu teorema lui Pitagora:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$

Pasul 2. Aplicăm formula pentru triunghiul dreptunghic:

$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Pasul 3. Înlocuim valorile:

$$r=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}$$

$$r=2\text{ cm}$$

✅ Explicație

Am calculat mai întâi ipotenuza — fără ea nu puteam aplica formula. Apoi am folosit formula scurtă pentru triunghiul dreptunghic: suma catetelor minus ipotenuza, împărțit la 2. Rezultatul e raza cercului care încape perfect în acel triunghi, tangent la toate trei laturi. Nu uita: formula  $r=\frac{a+b-c}{2}$  merge doar la triunghiul dreptunghic. La orice alt triunghi folosești  $r=\frac{A}{p}$ .

📝 Enunț

Un triunghi are laturile  $a=5$  cm,  $b=12$  cm,  $c=13$  cm și aria  $A=30$  cm². Calculează raza cercului inscris.

🔢 Rezolvare

Pasul 1. Calculăm semi-perimetrul:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ cm}$$

Pasul 2. Aplicăm formula razei:

$$r=\frac{A}{p}=\frac{30}{15}$$

$$r=2\text{ cm}$$

✅ Explicație

Ai observat că și acest triunghi e de fapt dreptunghic —  $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$ . Dar nici nu contează: formula generală  $r=\frac{A}{p}$  funcționează pentru orice triunghi. Ai aria, calculezi semi-perimetrul, împarți. Atât. Nu trebuie să știi că e dreptunghic pentru a o folosi.

❌ Greșeala #1: Confundarea perimetrului cu semi-perimetrul. Mulți calculează  $p=a+b+c$  și folosesc asta direct în formulă, fără să împartă la 2.

✅ Corect: Semi-perimetrul e jumătate din perimetru:  $p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$ . Dacă uiți să împarți la 2, raza îți iese jumătate din ce trebuie — și nu vei înțelege unde ai greșit.

❌ Greșeala #2: Aplicarea formulei  $r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$  la orice triunghi, nu doar la cel dreptunghic. Am văzut asta des — elevii o memorează ca pe formula universală.

✅ Corect: Formula  $r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$  e valabilă doar când  $c$  e ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Altfel, folosești obligatoriu  $r={\displaystyle \frac{A}{p}}$ , cu aria calculată separat.

❌ Greșeala #3: Confundarea cercului inscris cu cercul circumscris. Cercul circumscris trece prin vârfuri, cel inscris atinge laturile. Formulele sunt complet diferite.

✅ Corect: Reține vizual: inscris = înăuntru, atinge laturile. Circumscris = în afară, trece prin vârfuri. Raza cercului circumscris e  $R={\displaystyle \frac{abc}{4A}}$  — alta complet.

Exercițiul 1. Un triunghi dreptunghic are catetele $3\text{cm}$ și $4\text{cm}$. Calculează raza cercului înscris.

Exercițiul 2. Un triunghi are laturile $7\text{cm}$, $15\text{cm}$, $20\text{cm}$ și aria $42{\text{cm}}^2$. Calculează raza cercului înscris.

Exercițiul 3. Un triunghi echilateral are latura $a=6\text{cm}$. Știind că aria lui este $A=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, calculează raza cercului înscris.

Exercițiul 4. Un triunghi dreptunghic are catetele $9\text{cm}$ și $12\text{cm}$. Calculează raza cercului înscris.

Exercițiul 5. Provocare: un triunghi are laturile $13\text{cm}$, $14\text{cm}$ și $15\text{cm}$, iar aria lui este $84{\text{cm}}^2$. Calculează raza cercului înscris.