RAZA CERCULUI ÎNSCRIS ÎN TRIUNGHI și centrul lui - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Cercul înscris în triunghi are centrul în punctul de intersecție al bisectoarelor, iar raza lui este $r = \frac{A}{p}$ (aria împărțită la semiperimetru). Mai jos găsești formulele, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cercul înscris în triunghi: centrul, tangentele și raza

Cercul înscris într-un triunghi este cercul tangent la toate cele trei laturi. Laturile ating cercul în câte un singur punct, numit punct de tangență.

Liniile punctate sunt bisectoarele. Razele

I D

I E

I F

sunt perpendiculare pe laturi.

Centrul cercului înscris, notat de obicei cu $I$ , este punctul în care se intersectează cele trei bisectoare ale triunghiului. Punctul $I$ se află la aceeași distanță de toate laturile, iar această distanță este raza $r$ . Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe latură: $I D ⟂ B C$ , $I E ⟂ C A$ , $I F ⟂ A B$ .

Tangentele din același vârf sunt egale (vezi și tangentele la cerc): $A E = A F$ , $B D = B F$ , $C D = C E$ . Dacă $p$ este semiperimetrul, atunci $A E = A F = p - B C$ , $B D = B F = p - C A$ și $C D = C E = p - A B$ .

Raza cercului înscris, unde $A$ este aria triunghiului și $p =$ $\frac{A B + B C + C A}{2}$ este semiperimetrul:

$r = \frac{A}{p}$

În triunghiul dreptunghic cu catetele $c_{1}$ , $c_{2}$ și ipotenuza $i p$ : $r =$ $\frac{c_{1} + c_{2} - i p}{2}$ .

Raza cercului circumscris (cercul care trece prin cele trei vârfuri, cu centrul la intersecția mediatoarelor): în triunghiul dreptunghic centrul este mijlocul ipotenuzei, deci $R = \frac{i p}{2}$ . În triunghiul echilateral cu înălțimea $h$ , cele două cercuri au același centru, centrul de greutate, deci $R = \frac{2 h}{3}$ și $r = \frac{h}{3}$ . Mai multe găsești la cercul circumscris unui triunghi.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Perimetrul din tangenteușor

Cercul înscris în triunghiul $A B C$ este tangent laturilor $B C$ , $C A$ și $A B$ în punctele $D$ , $E$ , respectiv $F$ . Știind că $A F = 3$ cm, $B D = 5$ cm și $C E = 4$ cm, calculează perimetrul triunghiului $A B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Tangentele duse din același vârf sunt egale: $A E = A F = 3$ cm, $B F = B D = 5$ cm și $C D = C E = 4$ cm.
$A B =$ $A F + F B =$ $3 + 5 =$ $8$ cm, $B C =$ $B D + D C =$ $5 + 4 =$ $9$ cm și $C A =$ $C E + E A =$ $4 + 3 =$ $7$ cm.
$P = 8 + 9 + 7 = 24$ cm. Mai scurt: $P =$ $2 \cdot (3 + 5 + 4) =$ $24$ cm.

Răspuns: $P = 24$ cm

EXERCIȚIUL 2Raza în triunghiul dreptunghicușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm, $A C = 6$ cm și ipotenuza $B C = 10$ cm. Calculează raza cercului înscris în triunghi.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul este dreptunghic, deci folosim $r =$ $\frac{c_{1} + c_{2} - i p}{2}$ .
$r =$ $\frac{8 + 6 - 10}{2} =$ $\frac{4}{2} =$ $2$ cm.
Verificare cu formula generală: $A =$ $\frac{8 \cdot 6}{2} =$ $24$ cm², $p =$ $\frac{8 + 6 + 10}{2} =$ $12$ cm, deci $r =$ $\frac{24}{12} =$ $2$ cm.

Răspuns: $r = 2$ cm

EXERCIȚIUL 3Unghiul din centrul cercului înscrismediu

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ A) =$ $70^{\circ}$ și $m (∠ B) =$ $50^{\circ}$ . Punctul $I$ este centrul cercului înscris în triunghi. Calculează $m (∠ B I C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Suma unghiurilor triunghiului: $m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 70^{\circ} - 50^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .
$I$ este intersecția bisectoarelor, deci $B I$ și $C I$ sunt bisectoare: $m (∠ I B C) =$ $50^{\circ} : 2 =$ $25^{\circ}$ și $m (∠ I C B) =$ $60^{\circ} : 2 =$ $30^{\circ}$ .
În triunghiul $B I C$ : $m (∠ B I C) =$ $180^{\circ} - 25^{\circ} - 30^{\circ} =$ $125^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B I C) =$ $125^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Segmentele determinate de punctele de tangențămediu

Triunghiul $A B C$ are $A B = 10$ cm, $B C = 12$ cm și $C A = 8$ cm. Cercul înscris este tangent laturilor $B C$ , $C A$ , $A B$ în $D$ , $E$ , respectiv $F$ . Calculează $B D$ , $C D$ și $A F$ .

Rezolvare pas cu pas

Semiperimetrul: $p =$ $\frac{10 + 12 + 8}{2} =$ $15$ cm.
Din fiecare vârf, cele două tangente sunt egale, iar tangenta din vârf este $p$ minus latura opusă vârfului.
$B D =$ $p - C A =$ $15 - 8 =$ $7$ cm și $C D =$ $p - A B =$ $15 - 10 =$ $5$ cm.
$A F =$ $p - B C =$ $15 - 12 =$ $3$ cm.
Verificare: $B D + C D =$ $7 + 5 =$ $12 =$ $B C$ și $A F + F B =$ $3 + 7 =$ $10 =$ $A B$ .

Răspuns: $B D = 7$ cm, $C D = 5$ cm, $A F = 3$ cm

EXERCIȚIUL 5Raza cu formula r = A/pmediu

Triunghiul $A B C$ are $A B = 13$ cm, $B C = 14$ cm și $C A = 15$ cm, iar înălțimea $A D$ , cu $D$ pe $B C$ , are $12$ cm. Calculează raza cercului înscris în triunghi.

Rezolvare pas cu pas

Aria: $A =$ $\frac{B C \cdot A D}{2} =$ $\frac{14 \cdot 12}{2} =$ $84$ cm².
Semiperimetrul: $p =$ $\frac{13 + 14 + 15}{2} =$ $21$ cm.
$r =$ $\frac{A}{p} =$ $\frac{84}{21} =$ $4$ cm.

Răspuns: $r = 4$ cm

EXERCIȚIUL 6Cercul înscris și cercul circumscrismediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 12$ cm, $A C = 5$ cm și $B C = 13$ cm. Calculează raza $r$ a cercului înscris și raza $R$ a cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Cercul înscris: $r =$ $\frac{12 + 5 - 13}{2} =$ $\frac{4}{2} =$ $2$ cm.
Cercul circumscris unui triunghi dreptunghic are centrul $O$ în mijlocul ipotenuzei (unghiul drept este înscris într-un semicerc), deci ipotenuza este diametru.
$R =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{13}{2} =$ $6,5$ cm.

Răspuns: $r = 2$ cm și $R = 6,5$ cm

EXERCIȚIUL 7Triunghiul echilateralgreu

Triunghiul echilateral $A B C$ are înălțimea $A D = 9$ cm. Calculează raza cercului înscris și raza cercului circumscris triunghiului.

În triunghiul echilateral, bisectoarele, mediatoarele și medianele coincid, deci cele două cercuri au același centru

O

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul echilateral, înălțimea $A D$ este și mediană, și bisectoare, și mediatoare. Deci centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris sunt același punct $O$ , centrul de greutate.
Centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf: $A O =$ $\frac{2}{3} \cdot 9 =$ $6$ cm și $O D =$ $\frac{1}{3} \cdot 9 =$ $3$ cm.
$O D ⟂ B C$ , deci $O D$ este distanța de la centru la latură: $r = O D = 3$ cm.
$O$ este la aceeași distanță de vârfuri, deci $R = O A = 6$ cm.

Răspuns: $r = 3$ cm și $R = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Triunghiul isoscelgreu

Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C = 10$ cm, $B C = 12$ cm și înălțimea $A D = 8$ cm, cu $D$ pe $B C$ . Cercul înscris, de centru $I$ , este tangent laturii $A C$ în $E$ . Calculează: a) raza cercului înscris; b) lungimea $A I$ ; c) lungimea $A E$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Aria: $A =$ $\frac{12 \cdot 8}{2} =$ $48$ cm². Semiperimetrul: $p =$ $\frac{10 + 10 + 12}{2} =$ $16$ cm. Raza: $r =$ $\frac{48}{16} =$ $3$ cm.
b) În triunghiul isoscel, înălțimea $A D$ este și bisectoarea unghiului $A$ , deci $I$ se află pe $A D$ . Pentru că $D$ este și mijlocul lui $B C$ , $I D ⟂ B C$ , deci $D$ este punctul de tangență de pe $B C$ și $I D = r = 3$ cm.
$A I =$ $A D - I D =$ $8 - 3 =$ $5$ cm.
c) Tangenta din vârful $A$ : $A E =$ $p - B C =$ $16 - 12 =$ $4$ cm.

Răspuns: a) $r = 3$ cm; b) $A I = 5$ cm; c) $A E = 4$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe cercul înscris în triunghi

Enunțul spune „cercul înscris în triunghi”, „cercul tangent laturilor” sau „punctul de intersecție al bisectoarelor”.
Se cer segmente de pe laturi, de la vârfuri la punctele de tangență: folosești tangentele egale și semiperimetrul.
Se cere raza și știi (sau poți afla) aria și laturile: folosești $r = \frac{A}{p}$ , iar la triunghiul dreptunghic și $r =$ $\frac{c_{1} + c_{2} - i p}{2}$ .

Greșeli frecvente

Împarți aria la perimetru, nu la semiperimetru. În $r = \frac{A}{p}$ , $p$ este jumătate din perimetru. Dacă împarți la perimetrul întreg, raza iese de două ori mai mică.
Confunzi centrul cercului înscris cu centrul cercului circumscris. Cercul înscris are centrul la intersecția bisectoarelor și atinge laturile. Cercul circumscris are centrul la intersecția mediatoarelor și trece prin vârfuri. Ele coincid doar în triunghiul echilateral.
Folosești formula de la triunghiul dreptunghic la orice triunghi. Formula $r =$ $\frac{c_{1} + c_{2} - i p}{2}$ este adevărată doar în triunghiul dreptunghic. Într-un triunghi oarecare calculezi aria și folosești $r = \frac{A}{p}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc, cerc înscris în triunghiPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Cercul, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Bisectoarea, centrul cercului înscris, clasa a VI-aPDF de printat, recapitulare pentru centrul cercului înscris

Din același capitol

Întrebări frecvente

De unde vine formula razei în triunghiul dreptunghic?

Din vârful unghiului drept, cele două tangente au lungimea $r$ (se formează un pătrat cu latura $r$ ). Tangentele din celelalte două vârfuri se adună și dau ipotenuza. De aici $c_{1} + c_{2} = 2 r + i p$ , deci $r =$ $\frac{c_{1} + c_{2} - i p}{2}$ .

Ce fac dacă nu știu ipotenuza triunghiului dreptunghic?

O afli cu teorema lui Pitagora, pe care o înveți în capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”. De exemplu, pentru catetele $6$ cm și $8$ cm, ipotenuza este $10$ cm, deci $r = 2$ cm.

Centrul cercului înscris poate fi în afara triunghiului?

Nu. Bisectoarele se intersectează mereu în interiorul triunghiului, deci cercul înscris este mereu în interior. Centrul cercului circumscris, în schimb, poate fi în afara triunghiului, la triunghiul obtuzunghic.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 27 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

UNGHI ÎNSCRIS ÎN CERC triunghi și patrulater înscris - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

TANGENTA LA CERC: proprietăți și tangentele dintr-un punct exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC latura, apotema și aria - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună