ȘIRURI DE NUMERE NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Într-un șir aritmetic de numere naturale, fiecare termen se obține din cel dinainte adunând mereu același număr, numit rație, iar formula $a_{n} =$ $a_{1} + (n - 1) \cdot r$ îți dă direct orice termen, fără să-i construiești pe toți pe rând. Mai jos găsești regula pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum se calculează un termen dintr-un șir de numere naturale

Ce este un șir. Un șir e o listă de numere scrise într-o ordine precisă, în care fiecare număr se numește termen. Primul termen se notează $a_{1}$ , al doilea $a_{2}$ , al treilea $a_{3}$ și așa mai departe: termenul de pe locul $n$ se notează $a_{n}$ .

Șirul aritmetic. Cel mai des întâlnit tip de șir la clasa a V-a este șirul aritmetic: cel în care diferența dintre doi termeni consecutivi e mereu aceeași. Acel număr constant se numește rație și se notează $r$ . Rația se află scăzând un termen din cel care vine imediat după el: $r = a_{2} - a_{1}$ .

Formula termenului general. Ca să afli termenul de pe locul $n$ , fără să construiești tot șirul până acolo, folosești formula:

$a_{n} =$ $a_{1} + (n - 1) \cdot r$

Ideea din spatele formulei e simplă: primul termen e deja dat, deci de la locul $1$ la locul $n$ faci exact $n - 1$ pași, nu $n$ pași. Rația poate fi și negativă, dacă șirul e descrescător, sau chiar $0$ , caz în care toți termenii sunt egali.

Exerciții rezolvate : șirurile de numere naturale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Al șaselea termen al unui șir crescătorușor

Se dă șirul $4, 9, 14, 19, \dots$ Găsește al șaselea termen.

Rezolvare pas cu pas

Aflăm rația: $r =$ $a_{2} - a_{1} =$ $9 - 4 =$ $5$ .
Aplicăm formula: $a_{6} =$ $a_{1} + (6 - 1) \cdot r =$ $4 + 5 \cdot 5$ .
Calculăm: $4 + 25 = 29$ .

Răspuns: Al șaselea termen este $29$ .

EXERCIȚIUL 2Șir descrescătorușor

Șirul $50,$ $44,$ $38,$ $32,$ $\dots$ este descrescător. Găsește al cincilea termen.

Rezolvare pas cu pas

Aflăm rația: $r = 44 - 50 = - 6$ . E negativă, pentru că șirul scade.
Aplicăm formula: $a_{5} =$ $50 + (5 - 1) \cdot (- 6)$ .
Calculăm: $50 + 4 \cdot (- 6) =$ $50 - 24 =$ $26$ .

Răspuns: Al cincilea termen este $26$ .

EXERCIȚIUL 3Recunoașterea unui șir aritmeticușor

Care dintre șirurile $3, 6, 9, 12, \dots$ și $2, 4, 8, 16, \dots$ este un șir aritmetic? Găsește rația lui.

Rezolvare pas cu pas

Verificăm primul șir: $6 - 3 = 3$ , $9 - 6 = 3$ , $12 - 9 = 3$ . Diferența e mereu aceeași, deci e un șir aritmetic, cu rația $r = 3$ .
Verificăm al doilea șir: $4 - 2 = 2$ , dar $8 - 4 = 4$ . Diferența nu e constantă, deci al doilea șir nu e aritmetic (fiecare termen se obține înmulțind cu $2$ , nu adunând un număr fix).

Răspuns: Șirul $3, 6, 9, 12, \dots$ este aritmetic, cu rația $r = 3$ .

EXERCIȚIUL 4Suma primilor termenimediu

Primul termen al unui șir aritmetic este $a_{1} = 6$ , iar rația este $r = 7$ . Calculează suma primilor 5 termeni ai șirului.

Rezolvare pas cu pas

Construim termenii, unul câte unul, adunând mereu rația: $a_{1} = 6$ , $a_{2} = 13$ , $a_{3} = 20$ , $a_{4} = 27$ , $a_{5} = 34$ .
Adunăm cei 5 termeni: $6 + 13 + 20 + 27 + 34$ .
Calculăm suma: $100$ .

Răspuns: Suma primilor 5 termeni este $100$ .

EXERCIȚIUL 5Rația și primul termen, din doi termeni cunoscuțimediu

Știi că al doilea termen al unui șir aritmetic este $15$ , iar al șaptelea termen este $45$ . Găsește rația și primul termen al șirului.

Rezolvare pas cu pas

De la termenul 2 la termenul 7 sunt exact $5$ pași, deci $a_{7} - a_{2} =$ $5 \cdot r$ .
Calculăm: $45 - 15 =$ $30 =$ $5 \cdot r$ , deci $r = 6$ .
Din $a_{2} = a_{1} + r$ , obținem $a_{1} =$ $a_{2} - r =$ $15 - 6 =$ $9$ .

Răspuns: Rația este $r = 6$ , iar primul termen este $a_{1} = 9$ .

EXERCIȚIUL 6Problemă cu economiimediu

În prima săptămână, Maria pune deoparte $20$ de lei. În fiecare săptămână următoare pune cu $8$ lei mai mult decât în săptămâna anterioară. Câți lei pune deoparte în a șasea săptămână și câți lei a strâns în total, după cele 6 săptămâni?

Rezolvare pas cu pas

Avem un șir aritmetic cu $a_{1} = 20$ și $r = 8$ . Calculăm al șaselea termen: $a_{6} =$ $20 + (6 - 1) \cdot 8 =$ $20 + 40 =$ $60$ .
Construim toți termenii: $20,$ $28,$ $36,$ $44,$ $52,$ $60$ .
Adunăm toți cei 6 termeni: $20 + 28 + 36 + 44 + 52 + 60 =$ $240$ .

Răspuns: În a șasea săptămână pune deoparte 60 de lei; în total, 240 de lei.

EXERCIȚIUL 7Termeni lipsă din mijlocul șiruluigreu

Completează termenii lipsă din șirul aritmetic $4,$ $__,$ $16,$ $__,$ $28$ .

Rezolvare pas cu pas

Între primul termen ( $4$ ) și ultimul termen dat ( $28$ ) sunt exact $4$ pași, deci $28 = 4 + 4 \cdot r$ .
Calculăm rația: $4 \cdot r = 24$ , deci $r = 6$ .
Completăm termenii lipsă: $a_{2} = 4 + 6 = 10$ și $a_{4} = 16 + 6 = 22$ .
Verificăm cu termenul deja cunoscut: $a_{3} = 10 + 6 = 16$ . Bate.

Răspuns: Șirul complet este $4, 10, 16, 22, 28$ .

EXERCIȚIUL 8Pe ce loc se află un termen datgreu

Provocare: Un șir aritmetic are primul termen $a_{1} = 3$ și rația $r = 5$ . Pe ce loc din șir se află termenul $98$ ?

Rezolvare pas cu pas

Pornim de la formula termenului general: $a_{n} =$ $a_{1} + (n - 1) \cdot r$ , și înlocuim $a_{n}$ cu $98$ : $98 =$ $3 + (n - 1) \cdot 5$ .
Izolăm paranteza: $(n - 1) \cdot 5 =$ $98 - 3 =$ $95$ , deci $n - 1 = 19$ .
Aflăm poziția: $n = 20$ .

Răspuns: Termenul $98$ se află pe locul $20$ din șir.

Cum recunoști un exercițiu cu șiruri de numere naturale

Ți se dau câțiva termeni ai unui șir, urmați de puncte de suspensie, și ți se cere „al câtelea termen” sau „ce urmează”.
Enunțul menționează cuvântul „rație” sau îți cere să verifici dacă un șir e aritmetic.
Se cere poziția pe care se află un termen dat sau completarea unor termeni lipsă din mijlocul șirului.

Greșeli frecvente la șirurile de numere naturale

Înmulțești rația cu $n$ în loc de $n - 1$ . Primul termen e deja dat, nu-l mai construiești. De la locul 1 la locul $n$ faci doar $n - 1$ pași, nu $n$ pași.
Calculezi rația cu semn greșit la un șir descrescător. Rația se calculează mereu scăzând termenul dinainte din cel care vine după el: $r = a_{2} - a_{1}$ . Dacă șirul scade, rația iese negativă, nu trebuie „corectată” la pozitiv.
Confunzi un șir aritmetic cu unul în care termenii se înmulțesc. Într-un șir aritmetic, diferența dintre termeni consecutivi e constantă. Dacă în loc de diferență constantă observi un raport constant (fiecare termen e de același număr de ori mai mare decât precedentul), nu mai e șir aritmetic.

Exersează : șirurile de numere naturale

Fișă de lucru: Șiruri de numere naturale, clasa a V-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Numere naturale, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre șirurile de numere naturale

Cum știu dacă un șir este aritmetic sau nu?

Calculezi diferența dintre fiecare pereche de termeni consecutivi. Dacă diferența e mereu aceeași, șirul e aritmetic. Dacă diferențele variază, nu e un șir aritmetic.

Rația poate fi zero?

Da. Înseamnă că toți termenii șirului sunt egali între ei, ca la $7, 7, 7, 7, \dots$ , unde $r = 0$ . Formula funcționează la fel, doar că fiecare pas adaugă $0$ .

Trebuie să știu formula pe de rost sau o pot deduce?

Cel mai bine e s-o înțelegi: pornești de la primul termen și adaugi rația de $(n - 1)$ ori. Dacă înțelegi de ce scazi $1$ din poziție, nu mai ai nevoie s-o memorezi mecanic.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Șiruri de numere naturale. Numărul de termeni și regula de formare a acestora.

Exersează cu fișa de lucru: Șiruri de numere naturale — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este regula de formare a șirului $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ ?
2. Câți termeni are șirul $5, 10, 15, 20, 25$ ?
3. Care este termenul lipsă din șirul $3, 6, 9, \dots, 15$ ?
4. Șirul $100, 90, 80, 70, 60$ are ca regulă de formare:
5. Care este al cincilea termen al șirului care începe cu $1, 3, 9, 27, \dots$ și are regula înmulțirii cu 3?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 22 august 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SCRIEREA ȘI CITIREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

COMPARAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

MINUS ÎN FAȚA PARANTEZELOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ÎNMULȚIREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună