TEOREMA BISECTOAREI în triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Bisectoarea unui unghi al triunghiului împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate unghiului: $\frac{B D}{D C} =$ $\frac{A B}{A C}$ . Mai jos găsești teorema explicată pe figură și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema bisectoarei

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura opusă $B C$ în punctul $D$ . Bisectoarea împarte unghiul $A$ în două unghiuri congruente, dar și latura $B C$ o împarte, într-un raport precis, legat de celelalte două laturi ale triunghiului.

Arcele identice arată că

A D

înjumătățește unghiul

A

; raportul

B D : D C

este egal cu

A B : A C

$\frac{B D}{D C} =$ $\frac{A B}{A C}$

Adică raportul segmentelor $B D$ și $D C$ este egal cu raportul laturilor $A B$ și $A C$ , cele care pornesc din același vârf $A$ ca bisectoarea. Nu bisectoarea taie latura opusă la întâmplare sau la mijloc (asta ar face-o mediană, nu bisectoare), ci proporțional cu laturile alăturate unghiului bisectat.

În exerciții, de obicei notezi raportul simplificat cu $k$ : dacă $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{m}{n}$ , scrii $B D = m k$ și $D C = n k$ , apoi folosești $B D + D C = B C$ ca să afli $k$ . Teorema se construiește pe segmente proporționale și paralele echidistante, materie din același capitol, Asemănarea triunghiurilor, motiv pentru care apare abia la clasa a VII-a, nu mai devreme.

Reține și sensul geometric: cu cât o latură e mai lungă față de cealaltă, cu atât bisectoarea „împinge" punctul $D$ mai aproape de vârful opus laturii mai scurte. Dacă $A B = A C$ (triunghi isoscel), raportul e $1 : 1$ , iar bisectoarea cade exact la mijlocul lui $B C$ , coincizând atunci cu mediana.

Un exemplu rapid, ca să vezi mecanismul complet: dacă $A B = 6$ cm și $A C = 9$ cm, raportul $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3}$ se simplifică întotdeauna înainte să notezi cu $k$ . Scrii $B D = 2 k$ și $D C = 3 k$ , nu $B D = 6 k$ și $D C = 9 k$ : raportul rămâne același, dar numerele cu care lucrezi sunt mult mai mici, iar riscul de greșeală de calcul scade.

Un ultim detaliu care merită reținut: teorema funcționează identic dacă bisectoarea pleacă din $B$ sau din $C$ , nu doar din $A$ . Schimbi doar vârful de referință și laturile alăturate lui: bisectoarea din $B$ împarte latura $A C$ proporțional cu $A B$ și $B C$ , iar bisectoarea din $C$ împarte latura $A B$ proporțional cu $C A$ și $C B$ . Mecanismul e mereu același, doar literele se schimbă.

Exerciții rezolvate : teorema bisectoarei

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ intersectează latura $B C$ în $D$ . Se știe că $A B = 8$ cm, $A C = 12$ cm și $B C = 15$ cm. Află lungimile segmentelor $B D$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem raportul dat de teoremă: $\frac{B D}{D C} =$ $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{8}{12} =$ $\frac{2}{3}$ .
Notăm $B D = 2 k$ și $D C = 3 k$ . Cum $B D + D C = B C$ : $2 k + 3 k =$ $15 \Rightarrow$ $5 k =$ $15 \Rightarrow$ $k =$ $3$ .
$B D = 2 \cdot 3 = 6$ cm, $D C = 3 \cdot 3 = 9$ cm.

Răspuns: $B D = 6$ cm, $D C = 9$ cm

EXERCIȚIUL 2Drumul invers: afli o laturăușor

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ , cu $B D = 6$ cm și $D C = 9$ cm. Știind că $A B = 10$ cm, află $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teoremă: $\frac{B D}{D C} =$ $\frac{A B}{A C} \Rightarrow$ $A C =$ $\frac{A B \cdot D C}{B D}$ .
$A C =$ $\frac{10 \cdot 9}{6} =$ $\frac{90}{6}$ .

Răspuns: $A C = 15$ cm

EXERCIȚIUL 3Raport dat directmediu

În triunghiul $A B C$ , $A B : A C = 3 : 5$ , iar bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ . Se știe că $B C = 24$ cm. Află $B D$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

Notăm $A B = 3 k$ , $A C = 5 k$ , deci $B D = 3 p$ și $D C = 5 p$ (același raport, cu altă notație).
$B D + D C = B C$ : $3 p + 5 p =$ $24 \Rightarrow$ $8 p =$ $24 \Rightarrow$ $p =$ $3$ .
$B D = 3 \cdot 3 = 9$ cm, $D C = 5 \cdot 3 = 15$ cm.

Răspuns: $B D = 9$ cm, $D C = 15$ cm

EXERCIȚIUL 4Din segmentul întregmediu

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ . Se știe că $A B = 15$ cm, $B C = 21$ cm și $B D = 9$ cm. Află $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Aflăm întâi $D C$ : $D C =$ $B C - B D =$ $21 - 9 =$ $12$ cm.
Din teoremă: $A C =$ $\frac{A B \cdot D C}{B D} =$ $\frac{15 \cdot 12}{9} =$ $\frac{180}{9}$ .

Răspuns: $A C = 20$ cm

EXERCIȚIUL 5Cu necunoscuta xmediu

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ , cu $B D = 6$ cm și $D C = 3$ cm. Laturile sunt $A B = (x + 3)$ cm și $A C = (x - 1)$ cm. Află $x$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teoremă: $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{B D}{D C} =$ $\frac{6}{3} =$ $2$ .
Scriem ecuația: $x + 3 = 2 (x - 1)$ .
$x + 3 =$ $2 x - 2 \Rightarrow$ $3 + 2 =$ $2 x - x \Rightarrow$ $x =$ $5$ .
Verificare: $A B = 8$ cm, $A C = 4$ cm, raport $8 / 4 = 2$ , corect.

Răspuns: $x = 5$

EXERCIȚIUL 6Raport de simplificatmediu

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ . Se știe că $A B = 18$ cm, $A C = 24$ cm și $B C = 28$ cm. Află $B D$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

Raportul $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{18}{24}$ se simplifică la $\frac{3}{4}$ .
Notăm $B D = 3 k$ , $D C = 4 k$ : $3 k + 4 k =$ $28 \Rightarrow$ $7 k =$ $28 \Rightarrow$ $k =$ $4$ .
$B D = 3 \cdot 4 = 12$ cm, $D C = 4 \cdot 4 = 16$ cm.

Răspuns: $B D = 12$ cm, $D C = 16$ cm

EXERCIȚIUL 7Cu suma laturilorgreu

În triunghiul $A B C$ , $A B + A C = 35$ cm, $B C = 21$ cm, iar bisectoarea din $A$ intersectează $B C$ în $D$ , cu $B D = 9$ cm. Află $A B$ și $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Aflăm întâi $D C =$ $B C - B D =$ $21 - 9 =$ $12$ cm.
Raportul laturilor: $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{B D}{D C} =$ $\frac{9}{12} =$ $\frac{3}{4}$ . Notăm $A B = 3 k$ , $A C = 4 k$ .
Din sumă: $3 k + 4 k =$ $35 \Rightarrow$ $7 k =$ $35 \Rightarrow$ $k =$ $5$ .
$A B = 3 \cdot 5 = 15$ cm, $A C = 4 \cdot 5 = 20$ cm.

Răspuns: $A B = 15$ cm, $A C = 20$ cm

EXERCIȚIUL 8Verifici dacă un segment e chiar bisectoareagreu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 14$ cm, $A C = 21$ cm și $B C = 25$ cm. Punctul $M$ de pe $B C$ are $B M = 9$ cm și $M C = 16$ cm. Este $A M$ bisectoarea unghiului $A$ ? Justifică.

Punctele D (piciorul real al bisectoarei) și M (dat în enunț) sunt apropiate, dar nu identice; diferența nu se vede clar într-un desen la scară redusă, se demonstrează prin calcul.

Rezolvare pas cu pas

Dacă $A M$ ar fi bisectoarea, ar trebui ca $\frac{B M}{M C} =$ $\frac{A B}{A C}$ .
Calculăm raportul laturilor: $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{14}{21} =$ $\frac{2}{3} \approx 0,667$ .
Calculăm raportul dat de $M$ : $\frac{B M}{M C} =$ $\frac{9}{16} =$ $0,5625$ .
Cele două rapoarte nu sunt egale ( $0,667 \neq 0,5625$ ), deci $A M$ NU este bisectoarea unghiului $A$ .

Răspuns: nu, $A M$ nu este bisectoarea unghiului $A$

Cum recunoști un exercițiu pe teorema bisectoarei

Enunțul spune „bisectoare” și dă un punct pe latura opusă unde bisectoarea o intersectează.
Ți se cer segmentele în care bisectoarea împarte latura opusă, sau invers, una din laturile triunghiului.
Datele includ un raport sau o sumă/diferență de laturi, nu doar valori izolate.

Greșeli frecvente la teorema bisectoarei

Amestecarea laturilor în raport. Raportul se face cu laturile care pornesc din același vârf ca bisectoarea. Bisectoarea e din $A$ ? Atunci raportul e $\frac{A B}{A C}$ , nu $\frac{B C}{A B}$ sau altă combinație.
Uitarea simplificării raportului înainte de a nota cu $k$ . Dacă scrii direct $B D = 18 k$ și $D C = 24 k$ fără să simplifici $18 : 24$ la $3 : 4$ , calculele devin inutil de grele.
Confundarea bisectoarei cu mediana. Mediana împarte latura opusă exact la mijloc, indiferent de celelalte laturi. Bisectoarea o împarte proporțional cu laturile alăturate unghiului, aproape niciodată la mijloc.

Exersează : teorema bisectoarei

Fișă de lucru: Teorema bisectoarei, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Asemănarea triunghiurilor, clasa a VII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema bisectoarei

Teorema bisectoarei se aplică la orice triunghi?

Da, la orice triunghi, indiferent dacă e oarecare, isoscel sau dreptunghic, atât timp cât bisectoarea pleacă dintr-un vârf și intersectează latura opusă.

Bisectoarea împarte întotdeauna latura opusă la mijloc?

Nu, decât dacă triunghiul e isoscel cu cele două laturi alăturate unghiului egale. În general, raportul depinde de laturile $A B$ și $A C$ , nu e 1:1.

Ce diferență e între teorema bisectoarei și proprietatea punctelor de pe bisectoare?

Sunt subiecte diferite. Proprietatea punctelor de pe bisectoare (clasa a VI-a) spune că orice punct de pe bisectoare e la aceeași distanță de laturile unghiului. Teorema bisectoarei (clasa a VII-a) spune în ce raport împarte bisectoarea latura opusă a triunghiului.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În triunghiul $A B C$ , bisectoarea unghiului $A$ împarte latura opusă $B C$ în segmentele $B D$ și $D C$ . Conform teoremei bisectoarei, raportul $\frac{B D}{D C}$ este egal cu:
2. În triunghiul $A B C$ , bisectoarea din $A$ cade în punctul $D$ pe $B C$ . Dacă $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm și $B C = 10$ cm, atunci $B D$ este egal cu:
3. Trei drepte paralele $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ sunt tăiate de două transversale. Pe prima transversală se determină segmentele $A B = 4$ cm și $B C = 6$ cm. Pe a doua transversală se determină segmentele $A^{'} B^{'}$ și $B^{'} C^{'}$ . Dacă $A^{'} B^{'} = 6$ cm, atunci $B^{'} C^{'}$ este:
4. Teorema paralelelor neechidistante afirmă că dacă mai multe drepte paralele sunt tăiate de două transversale, atunci:
5. În triunghiul $M N P$ , bisectoarea din $M$ împarte latura $N P$ în segmentele $N Q$ și $Q P$ . Dacă $M N = 8$ cm, $M P = 12$ cm și $N Q = 6$ cm, atunci $Q P$ este: