Teorema bisectoarei explicată simplu pentru clasa 7-8

de Echipa Școala Virtuală23 aprilie 2026

Teorema bisectoarei: formulă + 5 exerciții rezolvate

Ești la teză și dai de un triunghi în care se cere să găsești cum împarte bisectoarea latura opusă. Ai bisectoarea desenată, ai laturile triunghiului, și… te blochezi. Senzația aia că „am văzut asta, dar nu știu ce să fac cu ea” e exact motivul pentru care mă apuc să îți explic teorema bisectoarei altfel decât o găsești în manual. Nu cu definiții de la care adormi. Cu logică, cu pași, cu ce greșesc toți la început — inclusiv eu, când am învățat prima dată. Dacă ești înainte de teza de semestrul 2, ești exact unde trebuie să fii acum.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce face bisectoarea unui unghi într-un triunghi
Vei ști să aplici teorema bisectoarei pentru a afla segmente
Vei recunoaște greșelile clasice înainte să le faci la teză
Vei rezolva exerciții tipice de examen pas cu pas

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce e bisectoarea și ce treabă are cu laturile triunghiului

Hai să zicem că ai un triunghi ABC. Bisectoarea din vârful A e dreapta care împarte unghiul A exact în două unghiuri egale — practic taie unghiul în două jumătăți perfecte. Și ea pleacă din A și lovește latura BC în punctul, să zicem, D. Acum întrebarea interesantă: în ce raport împarte D latura BC? Adică cât e BD față de DC? Și uite că nu e la întâmplare. Raportul ăla depinde fix de laturile triunghiului — de AB și de AC. Asta e ideea centrală a teoremei. Nu trebuie să memorezi nimic deocamdată. Ține minte doar că bisectoarea nu taie latura opusă oricum — o taie proporțional cu laturile din jurul unghiului.

💡 Regula de bază

Dacă AD este bisectoarea unghiului A în triunghiul ABC, iar D este pe latura BC, atunci $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ . Adică bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente unghiului bisectat.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În triunghiul ABC, bisectoarea din A intersectează latura BC în punctul D. Știm că $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm și $B C = 10$ cm. Află lungimile segmentelor BD și DC.

🔢 Rezolvare

Scriem proporția dată de teorema bisectoarei:

$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Notăm $B D = 2 k$ și $D C = 3 k$ . Știm că $B D + D C = B C$ , deci:

$2 k + 3 k = 10$
$5 k = 10$
$k = 2$

Calculăm segmentele:

$B D = 2 \cdot 2 = 4 cm$
$D C = 3 \cdot 2 = 6 cm$

✅ Explicație

Trucul cheie e că nu lucrezi direct cu BD și DC, ci le exprimi ca multipli ai lui k. Raportul $\frac{2}{3}$ îți spune că BD și DC se comportă ca 2 părți și 3 părți. Adunate, fac 5 părți — și 5 părți = 10 cm, deci o parte = 2 cm. De acolo totul se calculează singur. Verifică mereu la final că BD + DC = BC.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confunzi laturile. Mulți scriu $\frac{B D}{D C} = \frac{B C}{A B}$ sau amestecă laturile la raport. E greșeala pe care o fac toți în prima săptămână — și eu am făcut-o.

✅ Corect: Raportul se face cu laturile care pornesc din același vârf cu bisectoarea. Bisectoarea e din A? Atunci raportul e $\frac{A B}{A C}$ — ambele laturi pornesc din A.

❌ Greșeala #2: Uită să simplifice raportul înainte să introducă necunoscuta k. Dacă scrii direct $B D = 6 k$ și $D C = 9 k$ fără să simplifici $\frac{6}{9}$ la $\frac{2}{3}$ , calculele devin inutile de grele și crește riscul de eroare.

✅ Corect: Simplifică întotdeauna fracția $\frac{A B}{A C}$ la forma ireductibilă înainte să notezi $B D = 2 k$ , $D C = 3 k$ . Îți salvezi timp și te ferești de calcule inutile.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În triunghiul ABC, bisectoarea din A întâlnește BC în D. Dacă $A B = 4 cm$ , $A C = 6 cm$ și $B C = 5 cm$ , calculează BD și DC.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scriem raportul dat de teorema bisectoarei și îl simplificăm:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Notăm $B D = 2 k$ și $D C = 3 k$ . Cum BD + DC = BC, obținem:

2 k + 3 k = 5 \Rightarrow 5 k = 5 \Rightarrow k = 1

B D = 2 \cdot 1 = 2 cm, D C = 3 \cdot 1 = 3 cm

Verificare: 2 + 3 = 5 cm, exact latura BC, iar raportul 2 la 3 coincide cu raportul laturilor 4 la 6. Corect.

Răspuns: $B D = 2 cm$ , $D C = 3 cm$

Exercițiul 2. În triunghiul MNP, bisectoarea din M intersectează NP în T. Știm că $M N = 10 cm$ , $M P = 15 cm$ și $N T = 8 cm$ . Află lungimea segmentului TP și lungimea laturii NP.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aceeași teoremă, alte litere. Bisectoarea pleacă din M, deci raportul se face cu laturile care pornesc din M:

\frac{N T}{T P} = \frac{M N}{M P} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

De data asta cunoaștem NT = 8 cm, deci scoatem TP din proporție:

\frac{8}{T P} = \frac{2}{3} \Rightarrow T P = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 cm

N P = N T + T P = 8 + 12 = 20 cm

Verificare: raportul 8 la 12 se simplifică la 2 la 3, exact raportul laturilor 10 la 15. Corect.

Răspuns: $T P = 12 cm$ , $N P = 20 cm$

Exercițiul 3. În triunghiul ABC, bisectoarea din B taie AC în punctul E. Știm că $A B = 5 cm$ , $B C = 8 cm$ și $A C = 6,5 cm$ . Calculează AE și EC.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Atenție: aici bisectoarea pleacă din B, deci raportul se face cu laturile care pornesc din B, adică BA și BC:

\frac{A E}{E C} = \frac{B A}{B C} = \frac{5}{8}

Fracția $\frac{5}{8}$ e deja ireductibilă, deci notăm $A E = 5 k$ și $E C = 8 k$ . Cum AE + EC = AC:

5 k + 8 k = 6,5 \Rightarrow 13 k = 6,5 \Rightarrow k = 0,5

A E = 5 \cdot 0,5 = 2,5 cm, E C = 8 \cdot 0,5 = 4 cm

Verificare: 2,5 + 4 = 6,5 cm, exact latura AC, iar raportul 2,5 la 4 dă 5 la 8, ca în teoremă. Corect.

Răspuns: $A E = 2,5 cm$ , $E C = 4 cm$

Exercițiul 4. În triunghiul ABC, bisectoarea din A taie BC în D. Dacă $B D = 6 cm$ , $D C = 8 cm$ și $A B = 9 cm$ , află lungimea laturii AC.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Acum teorema merge „invers": cunoaștem segmentele de pe BC și o latură, căutăm cealaltă latură. Scriem proporția:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{9}{A C}

Aplicăm regula fundamentală a proporției (produsul mezilor egal cu produsul extremilor):

6 \cdot A C = 8 \cdot 9 \Rightarrow A C = \frac{72}{6} = 12 cm

Verificare: raportul 6 la 8 se simplifică la 3 la 4, iar 9 la 12 dă tot 3 la 4. Corect.

Răspuns: $A C = 12 cm$

Exercițiul 5. Provocare: în triunghiul ABC, $A B = 8 cm$ și $A C = 12 cm$ , iar bisectoarea din A taie BC în D astfel încât $B D = 6 cm$ . Află DC și perimetrul triunghiului ABC.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pasul 1: aflăm DC din teorema bisectoarei. Raportul laturilor din A este:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{6}{D C} = \frac{2}{3} \Rightarrow D C = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 cm

Pasul 2: reconstruim latura BC și adunăm toate laturile:

B C = B D + D C = 6 + 9 = 15 cm

P = A B + A C + B C = 8 + 12 + 15 = 35 cm

Verificare: raportul 6 la 9 se simplifică la 2 la 3, exact raportul laturilor 8 la 12. Corect.

Răspuns: $D C = 9 cm$ , perimetrul este $35 cm$

Întrebări frecvente

❓ Teorema bisectoarei se aplică doar pentru bisectoarea din A sau și pentru cele din B și C?

Se aplică pentru bisectoarea oricărui unghi din triunghi. Dacă bisectoarea e din B și taie AC în D, atunci

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}

. Logica e aceeași — raportul segmentelor de pe latura opusă e egal cu raportul laturilor care pornesc din vârful respectiv. Schimbi doar vârful și laturile corespunzătoare.

❓ Cum știu că am rezolvat corect? Există o metodă de verificare rapidă?

Da, și e simplă. Aduni BD + DC și verifici că suma dă exact BC. Apoi verifici că

\frac{B D}{D C}

simplificat îți dă exact

\frac{A B}{A C}

simplificat. Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, e bine. Pasul ăsta îți ia 30 de secunde și îți poate salva puncte la teză.

❓ Ce fac dacă problema îmi dă BD și DC, și cere una dintre laturi?

Folosești aceeași proporție, dar o întorci. Știi că

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

, deci dacă ai BD, DC și una dintre laturi — AB, de exemplu — poți calcula AC direct:

A C = \frac{A B \cdot D C}{B D}

. Practic aceeași formulă, rezolvată pentru altă necunoscută. Nu e o regulă nouă, e aceeași.

▶ Vezi lecția video

Explicație pas cu pas, cu exerciții rezolvate — pe Școala Virtuală

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ipotenuza și catetele: formulă + 5 exerciții rezolvate

8 august 2026

Textul multimodal explicat cu exemple pentru clasele 5-8

8 august 2026

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

8 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună