TRIUNGHIURI ASEMENEA - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. Raportul de asemănare arată de câte ori e mai mică fiecare latură a lui $DEF$ față de latura corespunzătoare din $ABC$.
2. $DE=$ $AB\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=$ $18\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. $DE=12$ cm.

Răspuns: $DE=12$ cm

1. Două perechi de unghiuri congruente înseamnă criteriul UU: $△ABC\sim △DEF$.
2. Raportul de asemănare este $k=$ ${\displaystyle \frac{DE}{AB}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{8}}=$ $\mathrm{1,5}$.
3. Același raport se aplică laturii corespunzătoare: $EF=$ $BC\cdot k=$ $10\cdot \mathrm{1,5}$.
4. $EF=15$ cm.

Răspuns: $EF=15$ cm

1. Verifici raportul laturilor care formează unghiul: ${\displaystyle \frac{DE}{AB}}=$ ${\displaystyle \frac{9}{6}}=$ $\mathrm{1,5}$ și ${\displaystyle \frac{DF}{AC}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{8}}=$ $\mathrm{1,5}$.
2. Rapoartele sunt egale, iar unghiul dintre laturi este congruent (amândouă drepte), deci criteriul LUL este îndeplinit: $△ABC\sim △DEF$, cu $k=\mathrm{1,5}$.
3. Cum unghiul $A$ e drept, $BC$ e ipotenuză: $BC=$ $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=$ $\sqrt{36+64}=$ $10$ cm.
4. Aplici raportul de asemănare: $EF=$ $BC\cdot k=$ $10\cdot \mathrm{1,5}$.
5. $EF=15$ cm.

Răspuns: $EF=15$ cm

1. Calculezi cele trei rapoarte ale laturilor corespunzătoare: ${\displaystyle \frac{DE}{AB}}=$ ${\displaystyle \frac{15}{5}}=$ $3$, ${\displaystyle \frac{EF}{BC}}=$ ${\displaystyle \frac{21}{7}}=$ $3$, ${\displaystyle \frac{FD}{CA}}=$ ${\displaystyle \frac{27}{9}}=$ $3$.
2. Toate trei rapoartele sunt egale cu $3$, deci criteriul LLL este îndeplinit: $△ABC\sim △DEF$, cu $k=3$.
3. Perimetrul triunghiului $ABC$ este $P_{ABC}=$ $5+7+9=$ $21$ cm.
4. Perimetrul lui $DEF$ se află în același raport: $P_{DEF}=$ $P_{ABC}\cdot k=$ $21\cdot 3$.
5. $P_{DEF}=63$ cm.

Răspuns: $P_{DEF}=63$ cm

1. Raportul de asemănare este egal cu raportul perimetrelor: $k=$ ${\displaystyle \frac{P_{DEF}}{P_{ABC}}}=$ ${\displaystyle \frac{36}{24}}=$ $\mathrm{1,5}$.
2. Același raport se aplică oricărei perechi de laturi corespunzătoare: $DE=AB\cdot k$.
3. $DE=$ $8\cdot \mathrm{1,5}=$ $12$ cm.

Răspuns: $DE=12$ cm

1. La triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: ${\displaystyle \frac{{𝒜}_{DEF}}{{𝒜}_{ABC}}}=$ $k^2$.
2. $k^2=$ ${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2=$ ${\displaystyle \frac{9}{25}}$.
3. ${𝒜}_{DEF}=$ ${\displaystyle \frac{9}{25}}\cdot 75$.
4. ${𝒜}_{DEF}=$ $27$ cm².

Răspuns: ${𝒜}_{DEF}=$ $27$ cm²

1. Razele soarelui cad sub același unghi peste stâlp și peste copac, în același moment al zilei.
2. Fiecare pereche stâlp-umbră și copac-umbră formează un triunghi dreptunghic (unghi drept între obiect și sol), cu același unghi la vârful umbrei.
3. Din criteriul UU (unghi drept comun și unghiul razei de soare comun), cele două triunghiuri sunt asemenea.
4. Raportul dintre înălțime și umbră este același pentru amândouă: ${\displaystyle \frac{h_{copac}}{10}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.
5. $h_{copac}=$ ${\displaystyle \frac{3\cdot 10}{2}}=$ $15$ m.

Răspuns: $h_{copac}=15$ m

1. Unghiurile $\angle AOB$ și $\angle COD$ sunt opuse la vârf, deci sunt congruente.
2. Verifici rapoartele laturilor care formează acest unghi: ${\displaystyle \frac{OC}{OA}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{4}}=$ $2$ și ${\displaystyle \frac{OD}{OB}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{6}}=$ $2$.
3. Rapoartele sunt egale, iar unghiul dintre laturi este congruent, deci criteriul LUL este îndeplinit: $△OAB\sim △OCD$, cu $k=2$.
4. Segmentul $CD$ corespunde lui $AB$: $CD=$ $AB\cdot k=$ $5\cdot 2$.
5. $CD=10$ cm.

Răspuns: $CD=10$ cm