RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Reciproca teoremei lui Thales este unealta cu care demonstrezi că două drepte sunt paralele, pornind de la o proporție între segmente. Mai jos găsești enunțul cu figură, pașii de aplicare și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Reciproca teoremei lui Thales: enunț și cum o aplici

Reciproca teoremei lui Thales. Dacă o dreaptă taie două laturi ale unui triunghi (sau prelungirile lor) și determină pe ele segmente proporționale, atunci dreapta este paralelă cu a treia latură. În triunghiul $A B C$ , cu $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ :

Dacă

\frac{A M}{M B} =

\frac{A N}{N C}

, atunci

M N ∥ B C

$\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C} \Rightarrow$ $M N ∥ B C$

Ce schimbă față de teorema directă. Teorema lui Thales pornește de la paralelism și îți dă proporția. Reciproca pornește de la proporție și îți dă paralelismul. Deci reciproca o folosești atunci când în enunț scrie „arată că” sau „demonstrează că” două drepte sunt paralele.

Pașii de aplicare. Calculezi separat cele două rapoarte, le aduci la forma cea mai simplă, apoi le compari.

$\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C} \Rightarrow$ $M N ∥ B C$

Poți folosi și varianta cu laturile întregi de mai sus: e aceeași condiție, scrisă altfel. Alege forma care se potrivește cu datele din enunț.

Atenție. Condiția trebuie verificată, nu presupusă. Dacă rapoartele ies diferite, concluzia este că dreptele nu sunt paralele.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Verifici proporțiaușor

În triunghiul $A B C$ , punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ sunt astfel încât $A M = 3$ cm, $M B = 6$ cm, $A N = 4$ cm și $N C = 8$ cm. Arată că $M N ∥ B C$ .

Paralelismul nu este marcat pe figură: el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi primul raport: $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{3}{6} =$ $\frac{1}{2}$ .
Calculezi al doilea raport: $\frac{A N}{N C} =$ $\frac{4}{8} =$ $\frac{1}{2}$ .
Rapoartele sunt egale, iar $M$ se află pe $A B$ , $N$ pe $A C$ .
Din reciproca teoremei lui Thales rezultă $M N ∥ B C$ .

Răspuns: $M N ∥ B C$

EXERCIȚIUL 2Când NU sunt paraleleușor

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ , cu $A M = 4$ cm, $M B = 5$ cm, $A N = 6$ cm și $N C = 8$ cm. Stabilește dacă $M N$ este paralelă cu $B C$ .

Figura nu îți spune dacă MN e paralelă cu BC; asta se stabilește prin calcul.

Rezolvare pas cu pas

$\frac{A M}{M B} =$ $\frac{4}{5}$ .
$\frac{A N}{N C} =$ $\frac{6}{8} =$ $\frac{3}{4}$ .
Compari cele două fracții aducându-le la același numitor: $\frac{4}{5} =$ $\frac{16}{20}$ și $\frac{3}{4} =$ $\frac{15}{20}$ .
Rapoartele sunt diferite, deci condiția din reciproca teoremei lui Thales nu este îndeplinită: $M N$ nu este paralelă cu $B C$ .

Răspuns: $M N$ nu este paralelă cu $B C$

EXERCIȚIUL 3Cu laturile întregiușor

În triunghiul $A B C$ , $A B = 15$ cm și $A C = 20$ cm. Punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ sunt astfel încât $A M = 6$ cm și $A N = 8$ cm. Arată că $M N ∥ B C$ .

Paralelismul nu este marcat pe figură: el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Afli bucățile rămase: $M B =$ $A B - A M =$ $15 - 6 =$ $9$ cm și $N C =$ $A C - A N =$ $20 - 8 =$ $12$ cm.
$\frac{A M}{M B} =$ $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3}$ .
$\frac{A N}{N C} =$ $\frac{8}{12} =$ $\frac{2}{3}$ .
Rapoartele sunt egale, deci din reciproca teoremei lui Thales rezultă $M N ∥ B C$ .

Răspuns: $M N ∥ B C$

EXERCIȚIUL 4Afli valoarea care dă paralelismulmediu

În triunghiul $A B C$ , $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ , cu $A M = x$ cm, $M B = 8$ cm, $A N = 6$ cm și $N C = 12$ cm. Află valoarea lui $x$ pentru care $M N ∥ B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Ca să avem $M N ∥ B C$ , din reciproca teoremei lui Thales trebuie ca $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ .
Înlocuiești datele: $\frac{x}{8} =$ $\frac{6}{12}$ .
Simplifici fracția din dreapta: $\frac{6}{12} =$ $\frac{1}{2}$ .
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $2 x = 8$ , deci $x = 4$ .

Răspuns: $x = 4$ cm

EXERCIȚIUL 5Punctele pe prelungirile laturilormediu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 6$ cm și $A C = 9$ cm. Pe prelungirea laturii $A B$ , dincolo de $B$ , se ia punctul $M$ cu $B M = 4$ cm, iar pe prelungirea laturii $A C$ , dincolo de $C$ , punctul $N$ cu $C N = 6$ cm. Arată că $M N ∥ B C$ .

Paralelismul nu este marcat pe figură: el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Privești triunghiul $A M N$ : punctul $B$ se află pe $(A M)$ , iar $C$ pe $(A N)$ .
$\frac{A B}{B M} =$ $\frac{6}{4} =$ $\frac{3}{2}$ .
$\frac{A C}{C N} =$ $\frac{9}{6} =$ $\frac{3}{2}$ .
Rapoartele sunt egale, deci din reciproca teoremei lui Thales, aplicată în triunghiul $A M N$ , rezultă $B C ∥ M N$ .

Răspuns: $M N ∥ B C$

EXERCIȚIUL 6Unde trebuie luat al doilea punctmediu

În triunghiul $A B C$ , $A B = 20$ cm și $A C = 25$ cm. Punctul $M \in (A B)$ are $A M = 12$ cm. Află lungimile $A N$ și $N C$ pentru care punctul $N \in (A C)$ dă $M N ∥ B C$ .

Punctul

N

urmează să fie găsit pe latura

A C

Rezolvare pas cu pas

$M B =$ $A B - A M =$ $20 - 12 =$ $8$ cm, deci $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{12}{8} =$ $\frac{3}{2}$ .
Ca să avem $M N ∥ B C$ , trebuie ca $\frac{A N}{N C} =$ $\frac{3}{2}$ .
Notezi $A N = 3 t$ și $N C = 2 t$ . Cum $A N + N C = A C$ , obții $5 t = 25$ , deci $t = 5$ .
$A N = 15$ cm și $N C = 10$ cm. Verificare: $\frac{15}{10} =$ $\frac{3}{2}$ .

Răspuns: $A N = 15$ cm și $N C = 10$ cm

EXERCIȚIUL 7Paralelă cu bazele unui trapezgreu

Trapezul $A B C D$ are $A B ∥ C D$ , $A D = 12$ cm și $B C = 15$ cm. Punctele $M \in (A D)$ și $N \in (B C)$ sunt astfel încât $A M = 4$ cm și $B N = 5$ cm. Arată că $M N ∥ A B$ .

Segmentul

M N

este desenat, dar faptul că pare paralel cu

A B

nu demonstrează nimic: paralelismul se stabilește prin calcul. Diagonala

A C

(punctată) este construcția ajutătoare din rezolvare.

Rezolvare pas cu pas

Afli bucățile rămase: $M D = 12 - 4 = 8$ cm și $N C = 15 - 5 = 10$ cm.
Duci diagonala $A C$ și iei pe ea punctul $P$ cu $\frac{A P}{P C} =$ $\frac{1}{2}$ .
În triunghiul $A D C$ : $\frac{A M}{M D} =$ $\frac{4}{8} =$ $\frac{1}{2}$ și $\frac{A P}{P C} =$ $\frac{1}{2}$ , deci din reciproca teoremei lui Thales $M P ∥ D C$ .
În triunghiul $C B A$ : $\frac{C N}{N B} =$ $\frac{10}{5} =$ $\frac{2}{1}$ și $\frac{C P}{P A} =$ $\frac{2}{1}$ , deci tot din reciprocă $P N ∥ A B$ .
Cum $D C ∥ A B$ , ambele drepte $M P$ și $P N$ sunt paralele cu $A B$ și trec prin $P$ , deci coincid: $M$ , $P$ și $N$ sunt coliniare.
Prin urmare $M N ∥ A B$ .

Răspuns: $M N ∥ A B$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: două paralele și un trapezgreu

Triunghiul $A B C$ are $A B = 18$ cm, $A C = 24$ cm și $B C = 15$ cm. Punctele $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ și $P \in (B C)$ au $A M = 12$ cm, $A N = 16$ cm și $B P = 5$ cm. a) Arată că $M N ∥ B C$ . b) Arată că $M P ∥ A C$ . c) Arată că patrulaterul $M N C P$ este trapez.

Paralelismele nu sunt marcate pe figură: ele trebuie demonstrate.

Rezolvare pas cu pas

a) $M B = 18 - 12 = 6$ cm și $N C = 24 - 16 = 8$ cm.
a) $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{12}{6} =$ $2$ și $\frac{A N}{N C} =$ $\frac{16}{8} =$ $2$ , deci din reciproca teoremei lui Thales $M N ∥ B C$ .
b) $P C = 15 - 5 = 10$ cm. Privești triunghiul $B A C$ , cu $M \in (B A)$ și $P \in (B C)$ .
b) $\frac{B M}{M A} =$ $\frac{6}{12} =$ $\frac{1}{2}$ și $\frac{B P}{P C} =$ $\frac{5}{10} =$ $\frac{1}{2}$ , deci din reciprocă $M P ∥ A C$ .
c) Din punctul a) știi că $M N ∥ B C$ . Punctul $P$ se află pe $B C$ , deci $M N ∥ P C$ .
c) Patrulaterul $M N C P$ are două laturi opuse paralele, $M N$ și $P C$ , deci este trapez.

Răspuns: a) și b) sunt demonstrate cu reciproca teoremei lui Thales; c) $M N C P$ este trapez

Cum recunoști un exercițiu pe reciproca teoremei lui Thales

În enunț scrie „arată că”, „demonstrează că” sau „stabilește dacă” două drepte sunt paralele, iar tu primești lungimi de segmente.
Cele două puncte stau pe două laturi ale aceluiași triunghi (sau pe prelungirile lor), iar dreapta care le unește ar trebui comparată cu a treia latură.
Ți se cere o valoare (un $x$ ) pentru care două drepte devin paralele: scrii proporția cerută de reciprocă și rezolvi ecuația.

Greșeli frecvente

Presupui paralelismul pe care trebuie să îl demonstrezi. Dacă enunțul cere „arată că $M N ∥ B C$ ”, nu ai voie să pornești de la $M N ∥ B C$ . Pornești de la lungimi, calculezi rapoartele și abia la final tragi concluzia.
Scrii rapoartele în ordini diferite. Pe ambele laturi păstrezi aceeași ordine: $\frac{A M}{M B}$ și $\frac{A N}{N C}$ , amândouă cu bucata de lângă $A$ la numărător. Dacă amesteci, comparația nu mai înseamnă nimic.
Compari rapoartele fără să le simplifici. Fracțiile $\frac{6}{9}$ și $\frac{8}{12}$ arată diferit, dar sunt egale. Simplifică-le sau folosește produsul extremilor și al mezilor.

Exersează

Fișă de lucru: Teorema lui Thales, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Asemănarea triunghiurilor, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Segmente proporționale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce spune reciproca teoremei lui Thales?

Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură: din $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{A N}{N C}$ rezultă $M N ∥ B C$ .

Când folosesc teorema și când reciproca?

Folosești teorema când paralelismul este dat și ți se cer lungimi. Folosești reciproca când ți se dau lungimi și trebuie să demonstrezi paralelismul.

Pot să folosesc reciproca dacă punctele sunt pe prelungirile laturilor?

Da. Reciproca funcționează și atunci, cu grijă la triunghiul în care lucrezi: dacă $B \in (A M)$ și $C \in (A N)$ , aplici reciproca în triunghiul $A M N$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →