CONUL CIRCULAR DREPT elemente, desfășurare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Conul circular drept are raza bazei $r$ , înălțimea $h$ și generatoarea $l$ , legate prin $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . Mai jos găsești toate elementele, desfășurarea conului și formulele pentru arie și volum, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Conul circular drept: elemente, desfășurare și formule

Conul circular drept se obține rotind un triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete. Are o bază care este un cerc, un vârf $V$ și o suprafață laterală care se strânge de la bază spre vârf.

Triunghiul

V O A

este dreptunghic în

O

: raza

r = O A

, înălțimea

h = V O

și generatoarea

l = V A

sunt legate prin

l^{2} = r^{2} + h^{2}

Raza bazei: $r = O A$ , unde $O$ este centrul bazei.
Înălțimea: $h = V O$ , distanța de la vârf la centrul bazei, perpendiculară pe planul bazei.
Generatoarea: $l = V A$ , distanța de la vârf până la un punct de pe cercul bazei, măsurată pe suprafața laterală (nu prin interior).

Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ , deci raza, înălțimea și generatoarea sunt legate prin teorema lui Pitagora:

$l^{2} = r^{2} + h^{2}$

Desfășurarea conului: dacă tai suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întinzi pe plan, obții un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea $l$ . Arcul acestui sector are exact lungimea cercului bazei, $2 π r$ , pentru că suprafața laterală „învelește” baza fără să se suprapună. Unghiul la centru al sectorului $α$ se află din proporția dintre arc și cercul întreg de rază $l$ :

$α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$

Formulele pentru arii și volum:

$A_{b} = π r^{2}$

$A_{l} = π r l$

$A_{t} =$ $A_{l} + A_{b} =$ $π r (l + r)$

$V =$ $\frac{1}{3} π r^{2} h$

Aria laterală este chiar aria sectorului de cerc din desfășurare. Volumul conului este o treime din volumul unui cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime. Pentru aria discului sau lungimea cercului bazei, separat, vezi aria discului și lungimea cercului. Pentru mai multe exerciții de aplicare directă pe arie laterală și volum, vezi și aria laterală și volumul conului.

Exerciții rezolvate : conul circular drept

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Generatoarea, cu Pitagoraușor

Un con circular drept are raza bazei $r = 5$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează generatoarea conului.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ , deci $l^{2} =$ $r^{2} + h^{2} =$ $25 + 144 =$ $169$ .
Rezultă $l = 13$ cm.

Răspuns: $l = 13$ cm

EXERCIȚIUL 2Aria laterală din rază și generatoareușor

Un con circular drept are raza bazei $r = 6$ cm și generatoarea $l = 10$ cm. Calculează aria laterală.

Rezolvare pas cu pas

Aplici direct formula: $A_{l} =$ $π r l =$ $π \cdot 6 \cdot 10 =$ $60 π$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 60 π$ cm²

EXERCIȚIUL 3Aria laterală, aria totală și volumulmediu

Un con circular drept are raza bazei $r = 9$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Generatoarea: $l^{2} = 81 + 144 = 225$ , deci $l = 15$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $π \cdot 9 \cdot 15 =$ $135 π$ cm².
Aria bazei: $A_{b} =$ $π \cdot 81 =$ $81 π$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $135 π + 81 π =$ $216 π$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{1}{3} π \cdot 81 \cdot 12 =$ $27 π \cdot 12 =$ $324 π$ cm³.

Răspuns: $A_{l} = 135 π$ cm², $A_{t} = 216 π$ cm², $V = 324 π$ cm³

EXERCIȚIUL 4Unghiul sectorului din desfășuraremediu

Un con circular drept are raza bazei $r = 4$ cm și generatoarea $l = 12$ cm. Calculează unghiul la centru al sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale.

Rezolvare pas cu pas

Aplici formula unghiului sectorului: $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ} =$ $\frac{4}{12} \cdot 360^{\circ}$ .
Simplifici fracția: $\frac{4}{12} =$ $\frac{1}{3}$ , deci $α =$ $\frac{360^{\circ}}{3} =$ $120^{\circ}$ .

Răspuns: $α = 120^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Din unghiul sectorului la raza bazeimediu

Desfășurarea unui con circular drept este un sector de cerc cu unghiul la centru de $90^{\circ}$ și raza (generatoarea conului) de 8 cm. Calculează raza bazei conului.

Rezolvare pas cu pas

Din $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$ obții $90 =$ $\frac{r}{8} \cdot 360$ .
Împarți ambii membri la 360: $\frac{r}{8} =$ $\frac{90}{360} =$ $\frac{1}{4}$ .
Deci $r = \frac{8}{4} = 2$ cm.

Răspuns: $r = 2$ cm

EXERCIȚIUL 6Raza din aria lateralămediu

Aria laterală a unui con circular drept este $75 π$ cm², iar generatoarea este $l = 15$ cm. Calculează raza bazei conului.

Rezolvare pas cu pas

Din $A_{l} = π r l$ obții $75 π =$ $π \cdot r \cdot 15$ .
Simplifici cu $π$ : $75 = 15 r$ , deci $r = 5$ cm.

Răspuns: $r = 5$ cm

EXERCIȚIUL 7Dimensiuni proporționalegreu

Raza bazei și înălțimea unui con circular drept sunt direct proporționale cu numerele 3 și 4, iar generatoarea conului este $l = 20$ cm. Calculează raza, înălțimea și volumul conului.

Rezolvare pas cu pas

Notezi $r = 3 k$ și $h = 4 k$ , cu $k > 0$ .
Din $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ : $400 =$ $9 k^{2} + 16 k^{2} =$ $25 k^{2}$ , deci $k^{2} = 16$ și $k = 4$ .
Rezultă $r = 3 \cdot 4 = 12$ cm și $h = 4 \cdot 4 = 16$ cm.
Volumul: $V =$ $\frac{1}{3} π \cdot 144 \cdot 16 =$ $48 π \cdot 16 =$ $768 π$ cm³.

Răspuns: $r = 12$ cm, $h = 16$ cm, $V = 768 π$ cm³

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Un con circular drept are raza bazei $r = 6$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. a) Calculează aria laterală a conului. b) Calculează volumul conului. c) Calculează unghiul la centru al sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale.

Rezolvare pas cu pas

a) Generatoarea: $l^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $l = 10$ cm. Aria laterală: $A_{l} =$ $π \cdot 6 \cdot 10 =$ $60 π$ cm².
b) Volumul: $V =$ $\frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot 8 =$ $12 π \cdot 8 =$ $96 π$ cm³.
c) Unghiul sectorului: $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ} =$ $\frac{6}{10} \cdot 360^{\circ} =$ $216^{\circ}$ .

Răspuns: a) $A_{l} = 60 π$ cm²; b) $V = 96 π$ cm³; c) $α = 216^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu pe conul circular drept

Enunțul vorbește despre un con, o pălărie de petrecere, un con de înghețată sau de trafic: are o bază circulară și un vârf.
Se dau două din $r$ , $h$ , $l$ și se cere a treia: aplici Pitagora în triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ .
Se cere „unghiul sectorului” sau „desfășurarea” conului: folosești $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$ , nu formulele de arie sau volum.

Greșeli frecvente la conul circular drept

Confunzi generatoarea $l$ cu înălțimea $h$ . Înălțimea $h$ e pe interiorul conului, perpendiculară pe bază. Generatoarea $l$ e pe suprafața laterală, de la vârf la marginea bazei. În formula ariei laterale intră mereu $l$ , nu $h$ .
Uiți împărțirea la 3 la volum. Volumul conului este o treime din cel al cilindrului cu aceeași bază și înălțime: $V =$ $\frac{1}{3} π r^{2} h$ . Fără împărțire la 3 calculezi volumul unui cilindru, nu al unui con.
La unghiul sectorului, împarți $r$ la $r$ în loc de $r$ la $l$ . Formula $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$ compară raza bazei cu generatoarea (raza sectorului desfășurat), nu raza cu ea însăși. Dacă pui alt raport, unghiul iese greșit.

Exersează : conul circular drept

Fișă de lucru: Conul circular drept, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, con circular dreptPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre conul circular drept

Care este formula generatoarei conului?

$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ , din teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ . Pentru $r = 3$ cm și $h = 4$ cm, $l = 5$ cm.

Ce se obține dacă desfășori suprafața laterală a unui con?

Un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea $l$ și arcul egal cu lungimea cercului bazei, $2 π r$ . Unghiul la centru al sectorului este $α =$ $\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}$ .

De ce volumul conului are un

\frac{1}{3}

în formulă?

Pentru că un con încape exact de trei ori într-un cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul cilindrului este $π r^{2} h$ , iar al conului, o treime din el.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 9. Conul circular drept..

Exersează cu fișa de lucru: Conul circular drept — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula ariei laterale a unui con circular drept cu raza bazei $r$ și generatoarea $l$ ?
2. Un con circular drept are raza bazei $r = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Care este lungimea generatoarei $l$ ?
3. Care este formula volumului unui con circular drept cu raza bazei $r$ și înălțimea $h$ ?
4. Care este formula ariei totale a unui con circular drept cu raza $r$ și generatoarea $l$ ?
5. Un con circular drept are raza bazei $r = 6$ cm și generatoarea $l = 10$ cm. Care este volumul conului?