UNGHIURI COMPLEMENTARE: aplicații cu triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Complementul unui unghi este $90^{\circ}$ minus măsura lui, iar la clasa a VI-a folosești această regulă împreună cu unghiurile opuse la vârf și cu triunghiul dreptunghic, nu izolat. Teoria de bază a complementului o găsești în <a href=„/unghiuri-suplementare-definitie-proprietati-si-exemple/”>unghiuri suplementare</a>; mai jos ai direct aplicațiile, cu 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce e nou la unghiurile complementare, la clasa a VI-a

Ai văzut deja, la unghiuri suplementare, ce înseamnă unghiuri complementare: suma măsurilor lor este $90^{\circ}$ . Reținem doar formula, pentru că o folosești în fiecare exercițiu de mai jos.

Unghiul drept

B A C

este împărțit de semidreapta

A D

în

∠ B A D =

25^{\circ}

și

∠ D A C =

65^{\circ}

, complementare:

25^{\circ} + 65^{\circ} =

90^{\circ}

$α + β =$ $90^{\circ} \Rightarrow$ $β =$ $90^{\circ} - α$

Ce este nou la clasa a VI-a e felul în care complementul apare împreună cu alte noțiuni deja cunoscute. Într-un triunghi dreptunghic, o semidreaptă care pleacă din vârful unghiului drept împarte acel unghi în două unghiuri complementare, pentru că împreună fac tot $90^{\circ}$ , oricare ar fi ele. La intersecția a două drepte, complementul unui unghi te ajută să afli, prin unghiurile opuse la vârf, toate cele patru unghiuri formate acolo. Și, ca la orice capitol de clasa a VI-a, relația dintre cele două unghiuri complementare devine o ecuație, nu doar o scădere simplă.

Exerciții rezolvate : unghiurile complementare

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Un unghi dublul celuilaltușor

Unghiurile $α$ și $β$ sunt complementare, iar $β$ este dublul lui $α$ . Calculează măsurile celor două unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $α = x$ , deci $β = 2 x$ . Fiind complementare, suma lor este $90^{\circ}$ .
$x + 2 x = 90^{\circ}$ , adică $3 x = 90^{\circ}$ , deci $x = 30^{\circ}$ .
$α = 30^{\circ}$ și $β =$ $2 \cdot 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ . Verificare: $30^{\circ} + 60^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .

Răspuns: $α = 30^{\circ}$ , $β = 60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Complement și unghiuri opuse la vârfușor

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în punctul $O$ . Unghiurile $∠ A O C$ și $∠ B O D$ sunt opuse la vârf. Se știe că $m (∠ A O C)$ și un unghi de $35^{\circ}$ sunt complementare. Calculează $m (∠ B O D)$ .

Rezolvare pas cu pas

Din complementul cu $35^{\circ}$ , aflăm $m (∠ A O C) =$ $90^{\circ} - 35^{\circ} =$ $55^{\circ}$ .
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci $m (∠ B O D) =$ $m (∠ A O C) =$ $55^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B O D) =$ $55^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Unghiul drept al unui triunghi dreptunghicușor

Triunghiul $A B C$ are unghiul drept în $A$ . Semidreapta $[A D$ (cu $D$ pe $B C$ ) împarte unghiul $B A C$ în $∠ B A D$ și $∠ D A C$ , astfel încât $m (∠ B A D) =$ $38^{\circ}$ . Calculează $m (∠ D A C)$ și arată că cele două unghiuri sunt complementare.

Rezolvare pas cu pas

Cele două unghiuri împart exact unghiul drept al triunghiului: $m (∠ B A D) + m (∠ D A C) =$ $m (∠ B A C) =$ $90^{\circ}$ .
$m (∠ D A C) =$ $90^{\circ} - 38^{\circ} =$ $52^{\circ}$ .
Suma lor este $38^{\circ} + 52^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , deci $∠ B A D$ și $∠ D A C$ sunt complementare.

Răspuns: $m (∠ D A C) =$ $52^{\circ}$ ; cele două unghiuri sunt complementare

EXERCIȚIUL 4Triunghi dreptunghic, relație de 30°mediu

Triunghiul $A B C$ are unghiul drept în $A$ . Semidreapta $[A D$ (cu $D$ pe $B C$ ) împarte unghiul $B A C$ astfel încât $m (∠ D A C)$ este cu $30^{\circ}$ mai mare decât $m (∠ B A D)$ . Calculează măsurile celor două unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $m (∠ B A D) = x$ , deci $m (∠ D A C) =$ $x + 30^{\circ}$ . Împreună fac unghiul drept: $x + (x + 30^{\circ}) =$ $90^{\circ}$ .
$2 x + 30^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , adică $2 x = 60^{\circ}$ , deci $x = 30^{\circ}$ .
$m (∠ B A D) =$ $30^{\circ}$ și $m (∠ D A C) =$ $30^{\circ} + 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ . Verificare: $30^{\circ} + 60^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B A D) =$ $30^{\circ}$ , $m (∠ D A C) =$ $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Toate cele patru unghiuri, din complementmediu

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în punctul $O$ . Măsura unghiului $∠ A O C$ este complementul unui unghi de $42^{\circ}$ . Calculează măsurile celor patru unghiuri formate în $O$ .

Rezolvare pas cu pas

$m (∠ A O C) =$ $90^{\circ} - 42^{\circ} =$ $48^{\circ}$ .
Cum $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare, $∠ A O C$ și $∠ C O B$ sunt suplementare: $m (∠ C O B) =$ $180^{\circ} - 48^{\circ} =$ $132^{\circ}$ .
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $m (∠ B O D) =$ $m (∠ A O C) =$ $48^{\circ}$ și $m (∠ D O A) =$ $m (∠ C O B) =$ $132^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A O C) =$ $m (∠ B O D) =$ $48^{\circ}$ , $m (∠ C O B) =$ $m (∠ D O A) =$ $132^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Unghi drept împărțit în raportmediu

Unghiul drept $A O B$ este împărțit de semidreapta $[O C$ în unghiurile $∠ A O C$ și $∠ C O B$ , complementare, aflate în raportul $7 : 8$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $m (∠ A O C) = 7 k$ și $m (∠ C O B) = 8 k$ , pentru că sunt în raportul $7 : 8$ . Fiind părți ale unghiului drept, suma lor este $90^{\circ}$ .
$7 k + 8 k = 90^{\circ}$ , adică $15 k = 90^{\circ}$ , deci $k = 6^{\circ}$ .
$m (∠ A O C) =$ $7 \cdot 6^{\circ} =$ $42^{\circ}$ și $m (∠ C O B) =$ $8 \cdot 6^{\circ} =$ $48^{\circ}$ . Verificare: $42^{\circ} + 48^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A O C) =$ $42^{\circ}$ , $m (∠ C O B) =$ $48^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Triunghi dreptunghic, trei unghiurigreu

Triunghiul $A B C$ are unghiul drept în $A$ . Semidreptele $[A D$ și $[A E$ (cu $D$ , $E$ pe $B C$ , în ordinea $B$ , $D$ , $E$ , $C$ ) împart unghiul $B A C$ în trei unghiuri: $m (∠ B A D) = x$ , $m (∠ D A E) =$ $2 x - 5^{\circ}$ și $m (∠ E A C) =$ $x + 15^{\circ}$ . Calculează $x$ , apoi arată că $∠ B A D$ și $∠ D A C$ (unde $∠ D A C =$ $∠ D A E + ∠ E A C$ ) sunt complementare.

Rezolvare pas cu pas

Cele trei unghiuri împart unghiul drept, deci suma lor este $90^{\circ}$ : $x + (2 x - 5^{\circ}) + (x + 15^{\circ}) =$ $90^{\circ}$ .
Adunăm termenii asemenea: $4 x + 10^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , deci $4 x = 80^{\circ}$ , adică $x = 20^{\circ}$ .
$m (∠ B A D) =$ $20^{\circ}$ , $m (∠ D A E) =$ $2 \cdot 20^{\circ} - 5^{\circ} =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ E A C) =$ $20^{\circ} + 15^{\circ} =$ $35^{\circ}$ .
$m (∠ D A C) =$ $m (∠ D A E) + m (∠ E A C) =$ $35^{\circ} + 35^{\circ} =$ $70^{\circ}$ . Cum $m (∠ B A D) + m (∠ D A C) =$ $20^{\circ} + 70^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , unghiurile $∠ B A D$ și $∠ D A C$ sunt complementare.

Răspuns: $x = 20^{\circ}$ ; $m (∠ B A D) =$ $20^{\circ}$ , $m (∠ D A E) =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ E A C) =$ $35^{\circ}$ , iar $∠ B A D$ și $∠ D A C$ sunt complementare

EXERCIȚIUL 8Provocare: complement, apoi opuse la vârfgreu

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în punctul $O$ . Măsura unghiului $∠ B O D$ este complementul unui unghi de $21^{\circ}$ . Calculează măsurile celorlalte trei unghiuri formate în $O$ și precizează perechile de unghiuri opuse la vârf.

Rezolvare pas cu pas

$m (∠ B O D) =$ $90^{\circ} - 21^{\circ} =$ $69^{\circ}$ .
Unghiul opus la vârf lui $∠ B O D$ este $∠ A O C$ : $m (∠ A O C) =$ $m (∠ B O D) =$ $69^{\circ}$ .
Cum $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare, $m (∠ C O B) =$ $180^{\circ} - 69^{\circ} =$ $111^{\circ}$ , iar opusul lui la vârf, $∠ D O A$ , are aceeași măsură: $111^{\circ}$ .
Perechile de unghiuri opuse la vârf sunt $∠ A O C$ cu $∠ B O D$ (câte $69^{\circ}$ ) și $∠ C O B$ cu $∠ D O A$ (câte $111^{\circ}$ ).

Răspuns: $m (∠ A O C) =$ $69^{\circ}$ , $m (∠ C O B) =$ $m (∠ D O A) =$ $111^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu combinat cu unghiuri complementare

Enunțul combină cuvântul „complementare” cu „opuse la vârf” sau cu un triunghi dreptunghic.
Ți se cere să împarți un unghi drept, dintr-un triunghi sau dintr-o figură oarecare, în două părți care folosesc faptul că suma lor e $90^{\circ}$ .
Relația dintre cele două unghiuri complementare e dată printr-un raport, o diferență sau „de câte ori mai mare”, nu direct în grade.

Greșeli frecvente la unghiurile complementare

Confunzi unghiurile opuse la vârf cu unghiurile complementare. Unghiurile opuse la vârf sunt mereu congruente (egale). Unghiurile complementare au suma $90^{\circ}$ , aproape niciodată nu sunt egale. Nu le amesteca.
Crezi că orice pereche de unghiuri dintr-un unghi drept împărțit e complementară. Dacă unghiul drept e împărțit în trei părți de două semidrepte, doar prima și ultima parte adunate (nu oricare două alăturate) dau $90^{\circ}$ . Verifică mereu ce anume se adună la întregul unghi drept.
Rezolvi ecuația, dar uiți verificarea finală. După ce afli necunoscuta, înlocuiește în ambele unghiuri și adună-le din nou. Dacă suma nu dă exact $90^{\circ}$ , ai greșit undeva.

Exersează : unghiurile complementare

Fișă de lucru: Unghiuri complementare, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Unghiuri, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiurile complementare

Ce e nou aici, față de teoria de bază a complementului?

Formula rămâne aceeași (suma $90^{\circ}$ ), dar la clasa a VI-a o folosești împreună cu unghiurile opuse la vârf, cu triunghiul dreptunghic și cu ecuații mai complexe, nu izolat, ca la clasa a V-a.

De ce un unghi drept, împărțit de o singură semidreaptă, dă mereu unghiuri complementare?

Pentru că cele două părți însumează exact măsura unghiului din care provin, adică $90^{\circ}$ . Orice două numere care însumează $90^{\circ}$ sunt, prin definiție, complementare.

Ce legătură au unghiurile opuse la vârf cu unghiurile complementare?

Nu sunt aceeași relație, dar pot apărea împreună: dacă afli complementul unui unghi format la intersecția a două drepte, poți afla imediat și unghiul opus lui la vârf, care are exact aceeași măsură.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 5. Unghiuri complementare. Unghiuri suplimentare..

Exersează cu fișa de lucru: Unghiuri complementare — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este egală cu:
2. Două unghiuri sunt suplimentare dacă suma măsurilor lor este egală cu:
3. Complementarul unui unghi cu măsura $35^{\circ}$ are măsura:
4. Suplimentarul unui unghi cu măsura $70^{\circ}$ are măsura:
5. Un unghi și complementarul său sunt egale. Care este măsura fiecăruia?