UNGHIURI ÎN JURUL UNUI PUNCT: suma lor de 360 de grade - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Dacă mai multe semidrepte pornesc din același punct și acoperă tot planul din jurul lui, suma măsurilor unghiurilor formate este mereu $360^{\circ}$ . Mai jos găsești regula, deosebirea față de unghiul alungit de pe o dreaptă, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce înseamnă unghiuri în jurul unui punct

Dintr-un punct $O$ pot porni oricâte semidrepte. Dacă acele semidrepte, luate în ordine, formează unghiuri care acoperă complet planul din jurul lui $O$ , fără să se suprapună și fără goluri, atunci suma măsurilor tuturor acelor unghiuri este $360^{\circ}$ .

m (∠ A O B) +

m (∠ B O C) +

m (∠ C O A) =

100^{\circ} + 140^{\circ} + 120^{\circ} =

360^{\circ}

$m (∠ 1) +$ $m (∠ 2) +$ $\dots +$ $m (∠ n) =$ $360^{\circ}$

Nu confunda cu unghiul alungit, format de o singură dreaptă: acela are $180^{\circ}$ , pentru că e doar jumătate de rotație completă. Unghiurile în jurul unui punct acoperă rotația întreagă, adică $360^{\circ}$ . Dacă știi toate unghiurile mai puțin unul, îl afli scăzând suma celorlalte din $360^{\circ}$ .

Exerciții rezolvate : unghiurile în jurul unui punct

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Al treilea unghiușor

În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri: $m (∠ A O B) =$ $118^{\circ}$ , $m (∠ B O C) =$ $96^{\circ}$ și $m (∠ C O A) = x$ . Calculează $x$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele trei unghiuri acoperă tot planul din jurul lui $O$ , deci suma lor este $360^{\circ}$ : $118^{\circ} + 96^{\circ} + x =$ $360^{\circ}$ .
$214^{\circ} + x =$ $360^{\circ}$ , deci $x =$ $360^{\circ} - 214^{\circ} =$ $146^{\circ}$ .

Răspuns: $x = 146^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Șase unghiuri egaleușor

Șase semidrepte pornesc din același punct $O$ și formează șase unghiuri egale între ele, acoperind tot planul din jurul lui $O$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Cele șase unghiuri sunt egale și împreună fac $360^{\circ}$ , deci le împarți în șase părți egale.
$360^{\circ} : 6 =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: Fiecare unghi măsoară $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Patru unghiuri egale, al cincilea diferitușor

În jurul unui punct $O$ se formează cinci unghiuri. Patru dintre ele sunt egale, cu $54^{\circ}$ fiecare, iar al cincilea este diferit. Calculează măsura celui de-al cincilea unghi.

Rezolvare pas cu pas

Cele patru unghiuri egale însumează $4 \cdot 54^{\circ} =$ $216^{\circ}$ .
Toate cele cinci unghiuri fac $360^{\circ}$ , deci al cincilea este $360^{\circ} - 216^{\circ} =$ $144^{\circ}$ .

Răspuns: Al cincilea unghi măsoară $144^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Trei unghiuri în raportmediu

În jurul unui punct $O$ se formează trei unghiuri, ale căror măsuri sunt în raportul $2 : 3 : 4$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cele trei unghiuri $2 k$ , $3 k$ și $4 k$ , pentru că sunt în raportul $2 : 3 : 4$ . Suma lor este $360^{\circ}$ .
$2 k + 3 k + 4 k =$ $360^{\circ}$ , adică $9 k = 360^{\circ}$ , deci $k = 40^{\circ}$ .
Unghiurile măsoară $2 \cdot 40^{\circ} =$ $80^{\circ}$ , $3 \cdot 40^{\circ} =$ $120^{\circ}$ și $4 \cdot 40^{\circ} =$ $160^{\circ}$ . Verificare: $80^{\circ} + 120^{\circ} + 160^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Răspuns: Unghiurile măsoară $80^{\circ}$ , $120^{\circ}$ și $160^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Diferența dintre două unghiurimediu

În jurul punctului $O$ se formează unghiurile $∠ A O B$ , $∠ B O C$ și $∠ C O A$ , astfel încât $m (∠ C O A) =$ $116^{\circ}$ , iar $m (∠ B O C)$ este cu $24^{\circ}$ mai mare decât $m (∠ A O B)$ . Calculează măsurile unghiurilor $∠ A O B$ și $∠ B O C$ .

Rezolvare pas cu pas

Notăm $m (∠ A O B) = a$ , deci $m (∠ B O C) =$ $a + 24^{\circ}$ . Suma celor trei unghiuri este $360^{\circ}$ .
$a + (a + 24^{\circ}) + 116^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , adică $2 a + 140^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , deci $2 a = 220^{\circ}$ și $a = 110^{\circ}$ .
$m (∠ A O B) =$ $110^{\circ}$ și $m (∠ B O C) =$ $110^{\circ} + 24^{\circ} =$ $134^{\circ}$ . Verificare: $110^{\circ} + 134^{\circ} + 116^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A O B) =$ $110^{\circ}$ , $m (∠ B O C) =$ $134^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Două unghiuri congruente și unul triplumediu

Patru semidrepte $O A$ , $O B$ , $O C$ , $O D$ , în această ordine, împart planul din jurul lui $O$ astfel: $∠ A O B \equiv ∠ B O C$ , $m (∠ C O D)$ este dublul lui $m (∠ A O B)$ , iar $m (∠ D O A) =$ $40^{\circ}$ . Calculează măsurile tuturor unghiurilor.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $m (∠ A O B) =$ $m (∠ B O C) =$ $x$ , deci $m (∠ C O D) = 2 x$ . Suma celor patru unghiuri este $360^{\circ}$ .
$x + x + 2 x + 40^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , adică $4 x = 320^{\circ}$ , deci $x = 80^{\circ}$ .
$m (∠ A O B) =$ $m (∠ B O C) =$ $80^{\circ}$ și $m (∠ C O D) =$ $2 \cdot 80^{\circ} =$ $160^{\circ}$ . Verificare: $80^{\circ} +$ $80^{\circ} +$ $160^{\circ} +$ $40^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A O B) =$ $m (∠ B O C) =$ $80^{\circ}$ , $m (∠ C O D) =$ $160^{\circ}$ , $m (∠ D O A) =$ $40^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Patru unghiuri, o singură necunoscutăgreu

Patru semidrepte $O A$ , $O B$ , $O C$ , $O D$ împart planul din jurul lui $O$ în patru unghiuri: $m (∠ A O B) =$ $2 x + 10^{\circ}$ , $m (∠ B O C) =$ $x - 5^{\circ}$ , $m (∠ C O D) = 3 x$ și $m (∠ D O A) =$ $2 x - 5^{\circ}$ . Calculează valoarea lui $x$ și măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Cele patru unghiuri acoperă tot planul din jurul lui $O$ , deci suma lor este $360^{\circ}$ : $(2 x + 10^{\circ}) +$ $(x - 5^{\circ}) +$ $3 x +$ $(2 x - 5^{\circ}) =$ $360^{\circ}$ .
Adunăm termenii asemenea: $8 x + 0^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , deci $x = 45^{\circ}$ .
$m (∠ A O B) =$ $2 \cdot 45^{\circ} + 10^{\circ} =$ $100^{\circ}$ , $m (∠ B O C) =$ $45^{\circ} - 5^{\circ} =$ $40^{\circ}$ , $m (∠ C O D) =$ $3 \cdot 45^{\circ} =$ $135^{\circ}$ , $m (∠ D O A) =$ $2 \cdot 45^{\circ} - 5^{\circ} =$ $85^{\circ}$ .
Verificare: $100^{\circ} +$ $40^{\circ} +$ $135^{\circ} +$ $85^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Răspuns: $x = 45^{\circ}$ ; unghiurile măsoară $100^{\circ}$ , $40^{\circ}$ , $135^{\circ}$ și $85^{\circ}$

EXERCIȚIUL 8Provocare: două drepte care se intersecteazăgreu

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în punctul $O$ , astfel încât $m (∠ A O C) =$ $72^{\circ}$ . Calculează măsurile celorlalte trei unghiuri formate în jurul lui $O$ și precizează care perechi sunt unghiuri opuse la vârf.

Rezolvare pas cu pas

Punctele $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare, deci $∠ A O C$ și $∠ C O B$ însumează $180^{\circ}$ : $m (∠ C O B) =$ $180^{\circ} - 72^{\circ} =$ $108^{\circ}$ .
La fel, $C$ , $O$ , $D$ sunt coliniare, deci $m (∠ B O D) =$ $180^{\circ} - 108^{\circ} =$ $72^{\circ}$ , iar apoi $m (∠ D O A) =$ $180^{\circ} - 72^{\circ} =$ $108^{\circ}$ .
Cele patru unghiuri acoperă tot planul din jurul lui $O$ : $72^{\circ} +$ $108^{\circ} +$ $72^{\circ} +$ $108^{\circ} =$ $360^{\circ}$ . Unghiurile opuse la vârf sunt $∠ A O C$ cu $∠ B O D$ (ambele $72^{\circ}$ ) și $∠ C O B$ cu $∠ D O A$ (ambele $108^{\circ}$ ).

Răspuns: $m (∠ C O B) =$ $m (∠ D O A) =$ $108^{\circ}$ , $m (∠ B O D) =$ $72^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu cu unghiuri în jurul unui punct

Mai multe semidrepte pornesc din același punct și acoperă tot planul din jurul lui, nu doar o dreaptă.
Ți se cere un unghi necunoscut din mai multe unghiuri care, adunate, dau întotdeauna $360^{\circ}$ .
Enunțul descrie un obiect real cu mai multe direcții pornind dintr-un centru comun: străzi la o intersecție, palete, raze ale unei stele.

Greșeli frecvente la unghiurile în jurul unui punct

Folosești $180^{\circ}$ în loc de $360^{\circ}$ . Unghiurile de pe o dreaptă (unghiul alungit) fac $180^{\circ}$ , pentru că e doar jumătate de rotație. Unghiurile care acoperă tot planul din jurul unui punct fac $360^{\circ}$ , o rotație completă.
Uiți un unghi când aduni. La exercițiile cu multe semidrepte, numără de câte ori apare fiecare literă și verifică la final că ai atâția termeni în sumă câte unghiuri sunt în enunț.
Nu verifici suma finală. După ce calculezi necunoscuta, înlocuiește în fiecare unghi și adună din nou toate rezultatele. Dacă suma nu dă exact $360^{\circ}$ , ai greșit undeva.

Exersează : unghiurile în jurul unui punct

Fișă de lucru: Unghiuri în jurul unui punct, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Unghiuri, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiurile în jurul unui punct

De ce suma unghiurilor din jurul unui punct este

360^{\circ}

, nu

180^{\circ}

Pentru că unghiurile din jurul unui punct acoperă o rotație completă, un tur întreg. Unghiul de $180^{\circ}$ apare doar când semidreptele sunt pe aceeași dreaptă, adică acoperă doar jumătate de rotație.

Poate un unghi din jurul unui punct să fie mai mare de

180^{\circ}

Da. Se numește unghi reflex și apare atunci când celelalte unghiuri din jurul punctului sunt mici, iar unul singur „adună” tot restul din $360^{\circ}$ . Important e ca suma tuturor unghiurilor să rămână $360^{\circ}$ , indiferent câte sunt reflexe.

Ce legătură au unghiurile opuse la vârf cu unghiurile din jurul unui punct?

Când două drepte se intersectează, se formează patru unghiuri în jurul punctului de intersecție. Ele sunt egale două câte două (unghiurile opuse la vârf) și însumează împreună $360^{\circ}$ , exact regula de mai sus.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Unghiuri în jurul unui punct..

Exersează cu fișa de lucru: Unghiuri în jurul unui punct — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este suma tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct?
2. Trei raze pornesc din același punct O și formează unghiurile $∠ A O B = 120^{\circ}$ și $∠ B O C = 95^{\circ}$ . Cât măsoară $∠ C O A$ ?
3. Patru raze pornesc din punctul O formând patru unghiuri egale în jurul punctului. Cât măsoară fiecare unghi?
4. Două raze pornesc din punctul O și formează un unghi de $75^{\circ}$ . Cât măsoară unghiul explementar (cel care completează până la $360^{\circ}$ )?
5. În jurul punctului O se formează unghiurile $∠ 1 = 80^{\circ}$ , $∠ 2 = 110^{\circ}$ și $∠ 3 = x$ . Cât este $x$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 septembrie 2026, actualizat 23 septembrie 2026