UNGHI LA CENTRU: formula și arcul corespunzător - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. Arcul mic $AB$ are exact aceeași măsură ca unghiul la centru care îl determină: $m({{AB}^{⌢}}_{\text{mic}})=$ ${95}^{\circ }$.
2. Arcul mare este ce rămâne din cercul întreg: $m({{AB}^{⌢}}_{\text{mare}})=$ ${360}^{\circ }-{95}^{\circ }=$ ${265}^{\circ }$.

Răspuns: Arcul mic $AB$ are ${95}^{\circ }$, arcul mare $AB$ are ${265}^{\circ }$

1. Relația merge și invers: unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul mic pe care îl determină, deci $m(\angle AOB)=$ ${162}^{\circ }$.
2. Arcul mare este diferența față de cercul întreg: $m({{AB}^{⌢}}_{\text{mare}})=$ ${360}^{\circ }-{162}^{\circ }=$ ${198}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOB)=$ ${162}^{\circ }$, arcul mare $AB$ are ${198}^{\circ }$

1. Cadranul întreg are ${360}^{\circ }$, împărțit în 12 arce egale, câte unul pentru fiecare oră: fiecare arc are ${360}^{\circ }:12=$ ${30}^{\circ }$.
2. De la ora 12 la ora 3 sunt exact 3 arce de acest fel, deci unghiul la centru dintre minutar și orar este $3\cdot {30}^{\circ }=$ ${90}^{\circ }$.

Răspuns: Unghiul dintre orar și minutar este de ${90}^{\circ }$

1. Cum $M$ se află pe arcul $AB$, acesta este format din reuniunea arcelor $AM$ și $MB$: $m({AB}^{⌢})=$ $m({AM}^{⌢})+$ $m({MB}^{⌢})$.
2. $m({AB}^{⌢})=$ ${54}^{\circ }+{71}^{\circ }=$ ${125}^{\circ }$.
3. Unghiul la centru $\angle AOB$ are aceeași măsură ca arcul pe care îl determină: $m(\angle AOB)=$ ${125}^{\circ }$.

Răspuns: Arcul $AB$ are ${125}^{\circ }$, iar $m(\angle AOB)=$ ${125}^{\circ }$

1. Fiind diametru, $A$, $O$, $C$ sunt coliniare, deci $\angle AOC$ este alungit: $m(\angle AOC)=$ ${180}^{\circ }$.
2. Notăm $m(\angle AOB)=x$, deci $m(\angle BOC)=2x$. Suma celor două părți dă unghiul alungit: $x+2x={180}^{\circ }$, adică $3x={180}^{\circ }$, deci $x={60}^{\circ }$.
3. $m(\angle AOB)=$ ${60}^{\circ }$ și $m(\angle BOC)=$ $2\cdot {60}^{\circ }=$ ${120}^{\circ }$. Verificare: ${60}^{\circ }+{120}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOB)=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle BOC)=$ ${120}^{\circ }$

1. Notăm cele trei unghiuri $3k$, $4k$ și $5k$, pentru că sunt în raportul $3:4:5$. Fiind trei sectoare care acoperă discul întreg, suma lor este ${360}^{\circ }$.
2. $3k+4k+5k=$ ${360}^{\circ }$, adică $12k={360}^{\circ }$, deci $k={30}^{\circ }$.
3. Unghiurile au măsurile $3\cdot {30}^{\circ }=$ ${90}^{\circ }$, $4\cdot {30}^{\circ }=$ ${120}^{\circ }$ și $5\cdot {30}^{\circ }=$ ${150}^{\circ }$. Verificare: ${90}^{\circ }+{120}^{\circ }+{150}^{\circ }=$ ${360}^{\circ }$.

Răspuns: Unghiurile la centru măsoară ${90}^{\circ }$, ${120}^{\circ }$ și ${150}^{\circ }$

1. Cele patru unghiuri acoperă tot cercul, deci suma lor este ${360}^{\circ }$: $2x+$ $(x+{15}^{\circ })+$ $(3x-5^{\circ })+$ $(2x-{10}^{\circ })=$ ${360}^{\circ }$.
2. Adunăm termenii asemenea: $8x+0^{\circ }=$ ${360}^{\circ }$, deci $x={45}^{\circ }$.
3. $m(\angle AOB)=$ $2\cdot {45}^{\circ }=$ ${90}^{\circ }$, $m(\angle BOC)=$ ${45}^{\circ }+{15}^{\circ }=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle COD)=$ $3\cdot {45}^{\circ }-5^{\circ }=$ ${130}^{\circ }$, $m(\angle DOA)=$ $2\cdot {45}^{\circ }-{10}^{\circ }=$ ${80}^{\circ }$.
4. Verificare: ${90}^{\circ }+$ ${60}^{\circ }+$ ${130}^{\circ }+$ ${80}^{\circ }=$ ${360}^{\circ }$.

Răspuns: $x={45}^{\circ }$; unghiurile măsoară ${90}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, ${130}^{\circ }$ și ${80}^{\circ }$

1. Unghiul mic $\angle AOB$ are ${130}^{\circ }$, deci unghiul mare (reflex) $AOB$, care corespunde arcului mare, are ${360}^{\circ }-{130}^{\circ }=$ ${230}^{\circ }$.
2. Semidreapta $[OC$ împarte acest unghi mare în două părți congruente: fiecare are ${230}^{\circ }:2=$ ${115}^{\circ }$.
3. Deci $m(\angle AOC)=$ $m(\angle BOC)=$ ${115}^{\circ }$ (măsurate pe partea arcului mare, prin exteriorul unghiului mic $AOB$).

Răspuns: $m(\angle AOC)=$ $m(\angle BOC)=$ ${115}^{\circ }$