Unghiuri alterne interne — definiție, proprietăți

📌 Ce vei învăța

• Vei înțelege ce sunt unghiurile alterne interne și cum le recunoști pe orice desen
• Vei ști de ce sunt egale când dreptele sunt paralele — nu doar regula, ci și logica din spatele ei
• Vei ști să le deosebești de unghiurile corespondente și de cele alterne externe
• Vei putea rezolva exerciții în care calculezi unghiuri necunoscute folosind această proprietate

💡 Regula de bază

Dacă două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, atunci unghiurile alterne interne sunt egale. Adică dacă notăm cele două unghiuri cu  $\alpha$  și  $\beta$ , atunci  $\alpha =\beta$ . Reciproca e și ea adevărată: dacă unghiurile alterne interne sunt egale, dreptele sunt paralele.

💡 Cum le deosebești de corespondente și alterne externe

Alterne interne: ambele între drepte, pe laturi opuse ale secantei — egale dacă dreptele sunt paralele. Corespondente: una în interior, una în exterior, pe aceeași latură a secantei — tot egale. Alterne externe: ambele în afara dreptelor, pe laturi opuse — și ele egale. Diferența e poziția față de „tunel”.

📝 Enunț

Dreptele  $d_1$  și  $d_2$  sunt paralele și sunt tăiate de secanta  $t$ . Unghiul format la intersecția secantei cu  $d_1$  măsoară  $65°$ . Știind că unghiul de  $65°$  și unghiul  $\angle x$  de la intersecția cu  $d_2$  sunt unghiuri alterne interne, află măsura lui  $\angle x$ .

🔢 Rezolvare

$$d_1\parallel d_2,\text{secanta }t\text{ taie ambele drepte}$$
$$\angle \alpha =65°,\angle \alpha \text{ și }\angle x\text{ sunt unghiuri alterne interne}$$
$$\text{Proprietate: unghiurile alterne interne sunt egale}\Rightarrow \angle x=\angle \alpha$$
$$\angle x=65°$$

✅ Explicație

N-a trebuit niciun calcul complicat. Ai identificat că dreptele sunt paralele, ai verificat că unghiurile sunt interne și pe laturi opuse ale secantei — deci alterne interne — și ai aplicat direct proprietatea. Când dreptele sunt paralele, perechea asta de unghiuri e mereu egală. Atât. Toată rezolvarea se reduce la a recunoaște corect poziția unghiurilor.

📝 Enunț

Dreptele  $a\parallel b$  sunt tăiate de secanta  $s$ . La intersecția cu  $a$  se formează unghiurile  $\angle 1=110°$  și unghiul adiacent  $\angle 2$ . Știind că  $\angle 3$  (la intersecția cu  $b$ ) este unghi altern intern cu  $\angle 2$ , calculează  $\angle 3$ .

🔢 Rezolvare

$$\angle 1=110°$$
$$\angle 1+\angle 2=180°\text{(unghiuri suplementare, adiacente pe o dreaptă)}$$
$$\angle 2=180°-110°=70°$$
$$\angle 3=\angle 2=70°\text{(unghiuri alterne interne, }a\parallel b\text{)}$$

✅ Explicație

Aici ai nevoie de un pas în plus față de primul exemplu.  $\angle 2$  nu era dat direct, deci l-ai calculat mai întâi folosind proprietatea unghiurilor suplementare. Abia după ai aplicat proprietatea unghiurilor alterne interne. Exercițiile mai grele sunt, de obicei, combinații din două proprietăți cunoscute — nu ceva nou și misterios.

❌ Greșeala #1: Confunzi unghiurile alterne interne cu unghiurile corespondente. Marchezi două unghiuri care sunt pe aceeași parte a secantei și zici că sunt alterne interne.

✅ Corect: Verifici întotdeauna dacă unghiurile sunt pe laturi opuse ale secantei. Dacă sunt pe aceeași latură, sunt corespondente sau colaterale — nu alterne. Pune degetul pe secantă și întreabă-te: „E unul la stânga și unul la dreapta?”

❌ Greșeala #2: Aplici proprietatea (unghiurile sunt egale) chiar dacă în problemă nu scrie că dreptele sunt paralele — sau uiți să verifici dacă dreptele chiar sunt paralele.

✅ Corect: Proprietatea „unghiurile alterne interne sunt egale” funcționează doar când dreptele sunt paralele. Dacă dreptele nu sunt paralele, unghiurile alterne interne există ca poziție, dar nu sunt egale. Verifică mereu că problema menționează  $d_1\parallel d_2$  înainte să scrii egalitatea.

❌ Greșeala #3: Confunzi „intern” cu „acut”. Unii elevi cred că unghiurile interne sunt neapărat cele mai mici — deci caută unghiurile ascuțite și le numesc alterne interne.

✅ Corect: „Intern” se referă strict la poziție — în zona dintre cele două drepte tăiate — nu la mărime. Un unghi obtuз de  $120°$  poate fi la fel de bine unghi altern intern. Uită-te unde e unghiul, nu cât măsoară.