UNGHIURI ALTERNE INTERNE, corespondente și criterii de paralelism - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Când două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, unghiurile alterne interne sunt congruente (au aceeași măsură). Mai jos găsești toate perechile de unghiuri formate de două drepte cu o secantă, criteriile de paralelism și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Unghiurile formate de două drepte cu o secantă

Secanta. O dreaptă $c$ care taie două drepte $a$ și $b$ în puncte diferite se numește secantă. În jurul celor două puncte de intersecție se formează 8 unghiuri. Unghiurile dintre cele două drepte sunt interne (3, 4, 5, 6), iar cele din afara lor sunt externe (1, 2, 7, 8).

Unghiurile 3, 4, 5, 6 sunt interne. Perechile alterne interne sunt 3 și 5, respectiv 4 și 6.

Alterne interne: interne, de o parte și de alta a secantei: 3 și 5, 4 și 6.
Alterne externe: externe, de o parte și de alta a secantei: 1 și 7, 2 și 8.
Corespondente: în aceeași poziție față de dreapta lor și de aceeași parte a secantei: 1 și 5, 2 și 6, 3 și 7, 4 și 8.
Interne de aceeași parte a secantei: 3 și 6, 4 și 5. Externe de aceeași parte a secantei: 1 și 8, 2 și 7.

Proprietatea. Dacă $a ∥ b$ , atunci unghiurile alterne interne, alterne externe și corespondente sunt congruente, iar unghiurile interne (sau externe) de aceeași parte a secantei sunt suplementare:

$a ∥ b \Rightarrow$ $∠ 3 \equiv ∠ 5,$ $∠ 4 \equiv ∠ 6,$ $m (∠ 3) + m (∠ 6) =$ $180^{\circ}$

Criterii de paralelism. Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă se întâmplă unul dintre lucrurile de mai jos:

două unghiuri alterne interne (sau alterne externe) sunt congruente;
două unghiuri corespondente sunt congruente;
două unghiuri interne (sau externe) de aceeași parte a secantei sunt suplementare.

Denumirile (alterne, corespondente) se folosesc pentru orice două drepte tăiate de o secantă. Egalitățile de măsuri sunt adevărate doar când dreptele sunt paralele.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Recunoaște perechile de unghiuriușor

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt tăiate de secanta $s$ în punctele $M$ și $N$ , ca în figură ( $E, F \in d_{1}$ , $G, H \in d_{2}$ , $K, L \in s$ ). Scrie: a) unghiul altern intern cu $∠ E M N$ ; b) unghiul corespondent cu $∠ K M E$ ; c) unghiul altern extern cu $∠ K M F$ ; d) unghiul intern de aceeași parte a secantei cu $∠ M N H$ .

Dreptele

d_{1}

și

d_{2}

nu sunt paralele: denumirile unghiurilor nu depind de paralelism.

Rezolvare pas cu pas

a) $∠ E M N$ este între cele două drepte (intern), în stânga secantei. Unghiul altern intern este tot între drepte, dar în dreapta secantei, la punctul $N$ : $∠ M N H$ .
b) $∠ K M E$ este deasupra dreptei $d_{1}$ , în stânga secantei. Corespondentul lui are aceeași poziție la punctul $N$ : deasupra lui $d_{2}$ , în stânga secantei, adică $∠ M N G$ .
c) $∠ K M F$ este extern (deasupra lui $d_{1}$ ), în dreapta secantei. Unghiul altern extern este sub $d_{2}$ , în stânga secantei: $∠ G N L$ .
d) $∠ M N H$ este intern, în dreapta secantei. Unghiul intern din dreapta secantei, la punctul $M$ , este $∠ F M N$ .

Răspuns: a) $∠ M N H$ ; b) $∠ M N G$ ; c) $∠ G N L$ ; d) $∠ F M N$

EXERCIȚIUL 2Aplicare directăușor

Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ în punctele $A \in a$ și $B \in b$ . Punctele $P \in a$ și $R, S \in b$ sunt așezate ca în figură, iar $m (∠ P A B) =$ $52^{\circ}$ . Calculează $m (∠ A B S)$ și $m (∠ A B R)$ .

Rezolvare pas cu pas

$∠ P A B$ și $∠ A B S$ sunt interne și se află de o parte și de alta a secantei, deci sunt alterne interne.
Cum $a ∥ b$ , unghiurile alterne interne sunt congruente: $m (∠ A B S) =$ $52^{\circ}$ .
$∠ A B R$ și $∠ A B S$ sunt adiacente suplementare ( $R$ , $B$ , $S$ sunt coliniare): $m (∠ A B R) =$ $180^{\circ} - 52^{\circ} =$ $128^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A B S) =$ $52^{\circ}$ , $m (∠ A B R) =$ $128^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Sunt dreptele paralele?ușor

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt tăiate de secanta $M N$ , cu $M, E \in d_{1}$ și $N, H \in d_{2}$ , ca în figură. Știind că $m (∠ E M N) =$ $74^{\circ}$ și $m (∠ M N H) =$ $74^{\circ}$ , stabilește dacă dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt paralele.

Pe figură nu am marcat paralelismul: el trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

$∠ E M N$ și $∠ M N H$ sunt între cele două drepte și de o parte și de alta a secantei $M N$ , deci sunt alterne interne.
Au aceeași măsură, $74^{\circ}$ , deci sunt congruente.
După criteriul de paralelism cu unghiuri alterne interne congruente, $d_{1} ∥ d_{2}$ .

Răspuns: Da, $d_{1} ∥ d_{2}$

EXERCIȚIUL 4Toate cele opt unghiurimediu

Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ . Suma a două unghiuri alterne interne este $136^{\circ}$ . Află măsurile celor 8 unghiuri formate.

Rezolvare pas cu pas

Cum $a ∥ b$ , cele două unghiuri alterne interne sunt congruente, deci fiecare are $136^{\circ} : 2 =$ $68^{\circ}$ .
Unghiul adiacent cu un unghi de $68^{\circ}$ , pe aceeași dreaptă, este suplementul lui: $180^{\circ} - 68^{\circ} =$ $112^{\circ}$ .
În fiecare punct de intersecție, unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci avem două unghiuri de $68^{\circ}$ și două de $112^{\circ}$ .
Același lucru se întâmplă în celălalt punct de intersecție.

Răspuns: patru unghiuri de $68^{\circ}$ și patru unghiuri de $112^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Interne de aceeași parte, în raport datmediu

Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $A B$ , cu $A, Q \in a$ și $B, S \in b$ , ca în figură. Măsurile unghiurilor $Q A B$ și $A B S$ sunt în raportul $2 : 7$ . Calculează măsurile celor două unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

$∠ Q A B$ și $∠ A B S$ sunt interne și de aceeași parte a secantei. Cum $a ∥ b$ , ele sunt suplementare: $m (∠ Q A B) + m (∠ A B S) =$ $180^{\circ}$ .
Din raportul dat: $\frac{m (∠ Q A B)}{2} =$ $\frac{m (∠ A B S)}{7} =$ $\frac{180^{\circ}}{2 + 7} =$ $20^{\circ}$ .
$m (∠ Q A B) =$ $2 \cdot 20^{\circ} =$ $40^{\circ}$ și $m (∠ A B S) =$ $7 \cdot 20^{\circ} =$ $140^{\circ}$ .
Verificare: $40^{\circ} + 140^{\circ} =$ $180^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ Q A B) =$ $40^{\circ}$ , $m (∠ A B S) =$ $140^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Criteriul cu unghiuri suplementaremediu

Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt tăiate de secanta $M N$ , cu $M, F \in d_{1}$ și $N, H \in d_{2}$ , ca în figură. a) Dacă $m (∠ F M N) =$ $118^{\circ}$ și $m (∠ M N H) =$ $62^{\circ}$ , arată că $d_{1} ∥ d_{2}$ . b) Ar fi dreptele paralele dacă $m (∠ M N H)$ ar fi $72^{\circ}$ ?

Pe figură sunt datele de la punctul a).

Rezolvare pas cu pas

a) $∠ F M N$ și $∠ M N H$ sunt interne și de aceeași parte a secantei (în dreapta ei).
$118^{\circ} + 62^{\circ} =$ $180^{\circ}$ , deci unghiurile sunt suplementare. După criteriul de paralelism, $d_{1} ∥ d_{2}$ .
b) $118^{\circ} + 72^{\circ} =$ $190^{\circ} \neq 180^{\circ}$ .
Dacă dreptele ar fi paralele, cele două unghiuri interne de aceeași parte ar trebui să aibă suma $180^{\circ}$ . Nu au, deci dreptele nu ar fi paralele.

Răspuns: a) $d_{1} ∥ d_{2}$ ; b) nu, dreptele nu ar fi paralele

EXERCIȚIUL 7Unghiul dintre paralele (paralela ajutătoare)greu

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, $A, P \in a$ , $B, S \in b$ , iar punctul $M$ se află între cele două drepte, ca în figură. Știind că $m (∠ P A M) =$ $35^{\circ}$ și $m (∠ S B M) =$ $50^{\circ}$ , calculează $m (∠ A M B)$ .

Linia punctată este paralela ajutătoare

M N

, dusă în rezolvare.

Rezolvare pas cu pas

Prin $M$ ducem dreapta $M N ∥ a$ , cu $N$ de partea opusă punctelor $P$ și $S$ . Cum $a ∥ b$ , avem și $M N ∥ b$ (două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele).
Dreptele $a$ și $M N$ sunt tăiate de secanta $A M$ . Unghiurile $P A M$ și $A M N$ sunt alterne interne, deci $m (∠ A M N) =$ $35^{\circ}$ .
Dreptele $b$ și $M N$ sunt tăiate de secanta $B M$ . Unghiurile $S B M$ și $N M B$ sunt alterne interne, deci $m (∠ N M B) =$ $50^{\circ}$ .
Semidreapta $M N$ este în interiorul unghiului $A M B$ , deci $m (∠ A M B) =$ $35^{\circ} + 50^{\circ} =$ $85^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A M B) =$ $85^{\circ}$

EXERCIȚIUL 8Cu bisectoarea unui unghigreu

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, $A \in a$ , $B \in b$ , iar $P$ și $Q$ sunt puncte pe $a$ , de o parte și de alta a lui $A$ , ca în figură. Știm că $m (∠ P A B) =$ $64^{\circ}$ . Bisectoarea unghiului $Q A B$ intersectează dreapta $b$ în punctul $C$ . Calculează $m (∠ A C B)$ și $m (∠ A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

$∠ P A B$ și $∠ Q A B$ sunt adiacente suplementare: $m (∠ Q A B) =$ $180^{\circ} - 64^{\circ} =$ $116^{\circ}$ .
$A C$ este bisectoarea lui $∠ Q A B$ : $m (∠ Q A C) =$ $m (∠ C A B) =$ $116^{\circ} : 2 =$ $58^{\circ}$ .
Dreptele $a ∥ b$ sunt tăiate de secanta $A C$ : $∠ Q A C$ și $∠ A C B$ sunt alterne interne, deci $m (∠ A C B) =$ $58^{\circ}$ .
Dreptele $a ∥ b$ sunt tăiate de secanta $A B$ : $∠ P A B$ și $∠ A B C$ sunt alterne interne, deci $m (∠ A B C) =$ $64^{\circ}$ .
Observă că $∠ C A B \equiv ∠ A C B$ : ambele au $58^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A C B) =$ $58^{\circ}$ , $m (∠ A B C) =$ $64^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu pe unghiuri alterne interne

În enunț apar două drepte paralele (sau despre care trebuie să arăți că sunt paralele) și o dreaptă care le taie pe amândouă.
Se cere un unghi aflat între cele două drepte, iar unghiul cunoscut este tot între ele, dar de cealaltă parte a secantei.
Apare un punct între două paralele sau o bisectoare care taie a doua dreaptă: de obicei trebuie să duci o secantă sau o paralelă ajutătoare și să cauți perechi de alterne interne.

Greșeli frecvente

Confunzi alterne interne cu corespondente. Alternele interne sunt amândouă între drepte și de părți diferite ale secantei. Corespondentele sunt de aceeași parte a secantei și au aceeași poziție față de dreapta lor: unul este între drepte, celălalt în afara lor.
Scrii că unghiurile sunt congruente fără ca dreptele să fie paralele. Congruența alternelor interne este adevărată doar dacă $a ∥ b$ . Pentru drepte neparalele, unghiurile au aceleași nume, dar măsuri diferite.
Crezi că unghiurile interne de aceeași parte sunt congruente. La drepte paralele, ele sunt suplementare: suma lor este $180^{\circ}$ . Sunt congruente doar când fiecare are $90^{\circ}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Criterii de paralelism, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Unghiuri, clasa a VI-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Drepte paralele, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile alterne interne?

Sunt două unghiuri formate de două drepte cu o secantă, aflate amândouă între cele două drepte și de o parte și de alta a secantei.

Unghiurile alterne interne sunt mereu egale?

Nu. Ele sunt congruente doar dacă dreptele tăiate de secantă sunt paralele. Invers, dacă două unghiuri alterne interne sunt congruente, dreptele sunt paralele.

Care este diferența dintre unghiurile alterne interne și cele alterne externe?

Ambele perechi sunt de o parte și de alta a secantei. Cele interne sunt între cele două drepte, iar cele externe sunt în afara lor. La drepte paralele, și unele, și celelalte sunt congruente.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două drepte sunt paralele dacă, tăiate de o secantă, unghiurile alterne interne sunt:
2. Dacă două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, unghiurile corespondente (de aceeași parte a secantei, în aceeași poziție) sunt:
3. Dacă două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, suma unghiurilor interne de aceeași parte a secantei este egală cu:
4. O secantă taie două drepte și formează unghiuri alterne externe egale. Ce putem concluziona despre cele două drepte?
5. O secantă taie două drepte astfel încât unghiurile corespondente măsoară $65 °$ și $65 °$ . Ce putem spune despre cele două drepte?