PLANE PARALELE: definiție, criteriu și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi, ca fețele opuse ale unui paralelipiped dreptunghic. Mai jos găsești definiția, criteriul de paralelism, proprietățile importante și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Plane paralele: definiție, criteriu și proprietăți

Două plane $α$ și $β$ din spațiu se pot afla în exact trei poziții: secante (se intersectează după o dreaptă), paralele (nu au niciun punct comun) sau identice (sunt același plan).

Planele

(A B C)

și

(A^{'} B^{'} C^{'})

sunt paralele. Planul diagonal

(A C C^{'} A^{'})

le intersectează după dreptele

A C

și

A^{'} C^{'}

, care sunt paralele între ele.

$α ∥ β ⟺$ $α \cap β =$ $\emptyset$

Un exemplu concret: la un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , planele determinate de fețele opuse $A B C D$ și $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ sunt paralele. Distanța dintre două plane paralele este aceeași oriunde ai măsura-o, pe orice perpendiculară comună.

Criteriul de paralelism este metoda cu care demonstrezi că două plane sunt paralele, fără să verifici tot planul, punct cu punct:

$d_{1},$ $d_{2} \subset α,$ $d_{1} \cap d_{2} =$ ${P},$ $d_{1} ∥ β,$ $d_{2} ∥ β ⟹$ $α ∥ β$

Ai nevoie de două drepte concurente (care se intersectează) dintr-un plan, ambele paralele cu celălalt plan. O singură dreaptă paralelă nu este suficientă: planul tot s-ar putea „înclina” și să intersecteze celălalt plan în altă parte.

Trei proprietăți se folosesc des în exerciții, odată ce știi că $α ∥ β$ :

Dacă un al treilea plan $γ$ intersectează $α$ după dreapta $d_{1}$ și $β$ după dreapta $d_{2}$ , atunci $d_{1} ∥ d_{2}$ .
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe $α$ , atunci este perpendiculară și pe $β$ (și pe orice alt plan paralel cu $α$ ).
Orice segment cuprins între cele două plane, perpendicular pe ele, are aceeași lungime: este chiar distanța dintre plane.

Pentru poziția opusă, unghiul de $90^{\circ}$ dintre două plane, vezi plane perpendiculare.

Exerciții rezolvate : planele paralele

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Pozițiile relative a două planeușor

Enunță cele trei poziții relative posibile pentru două plane în spațiu și dă câte un exemplu pentru fiecare, folosind o cameră de locuit.

Rezolvare pas cu pas

Secante: se intersectează după o dreaptă. Exemplu: planul unui perete și planul tavanului se intersectează după dreapta din colțul dintre ei.
Paralele: nu au niciun punct comun. Exemplu: planul podelei și planul tavanului aceleiași camere.
Identice: sunt același plan. Exemplu: planul unei mese și planul determinat de oricare alte 3 puncte necoliniare de pe aceeași masă.

Răspuns: secante, paralele, identice; exemple: perete-tavan, podea-tavan, aceeași masă

EXERCIȚIUL 2Distanța dintre două plane paraleleușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A A^{'} = 6$ cm. Care este distanța dintre planele paralele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ ?

Rezolvare pas cu pas

Planele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ sunt determinate de cele două baze ale paralelipipedului, care sunt fețe opuse, deci paralele.
Muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe ambele plane (este o muchie laterală a paralelipipedului dreptunghic), deci lungimea ei este chiar distanța dintre cele două plane.

Răspuns: distanța este $6$ cm

EXERCIȚIUL 3Criteriul de paralelismmediu

În planul $α$ se află dreptele $m$ și $n$ , cu $m \cap n = {P}$ . Se știe că $m ∥ β$ și $n ∥ β$ . Demonstrează că $α ∥ β$ .

Rezolvare pas cu pas

Ai două drepte, $m$ și $n$ , ambele incluse în planul $α$ și concurente în punctul $P$ : $m, n \subset α$ , $m \cap n = {P}$ .
Fiecare dintre ele este paralelă cu planul $β$ : $m ∥ β$ și $n ∥ β$ .
Aceste condiții sunt exact ipoteza criteriului de paralelism a două plane: două drepte concurente dintr-un plan, paralele cu celălalt plan.
Conform criteriului, rezultă direct $α ∥ β$ .

Răspuns: $α ∥ β$ , demonstrat cu criteriul de paralelism

EXERCIȚIUL 4Planul secant la două plane paralelemediu

În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu $A B = 6$ cm și $B C = 8$ cm, planul diagonal $(A C C^{'} A^{'})$ intersectează planele paralele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ . a) Arată că dreptele de intersecție $A C$ și $A^{'} C^{'}$ sunt paralele. b) Calculează lungimea lui $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Planele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ sunt paralele (fețe opuse ale paralelipipedului), iar planul $(A C C^{'} A^{'})$ le intersectează pe amândouă.
Din proprietatea planului secant la două plane paralele, dreptele de intersecție sunt paralele: $A C ∥ A^{'} C^{'}$ .
b) Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ (unghi al bazei dreptunghiulare): $A C^{2} =$ $A B^{2} + B C^{2} =$ $36 + 64 =$ $100$ .
Rezultă $A C = 10$ cm (și, din congruența fețelor $A B C D$ și $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , $A^{'} C^{'} = 10$ cm).

Răspuns: a) $A C ∥ A^{'} C^{'}$ (demonstrat); b) $A C = 10$ cm

EXERCIȚIUL 5Distanța dintre plane, din volum și ariemediu

Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are volumul de $360$ cm³, iar aria bazei $A B C D$ este de $40$ cm². Calculează distanța dintre planele paralele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Rezolvare pas cu pas

Distanța dintre cele două plane paralele este chiar înălțimea paralelipipedului, $h = A A^{'}$ .
Din formula volumului, $V = A_{b} \cdot h$ : $360 = 40 \cdot h$ .
Rezultă $h = 360 : 40 = 9$ cm.

Răspuns: distanța este $9$ cm

EXERCIȚIUL 6Perpendiculara comună pe două plane paralelemediu

În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , planul $(A^{'} B^{'} C^{'})$ este paralel cu planul $(A B C)$ . a) Demonstrează că dreapta $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul $(A^{'} B^{'} C^{'})$ . b) Se dă $A A^{'} = 5$ cm și diagonala $A^{'} C^{'} = 12$ cm. Calculează $A C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul $(A B C)$ , pentru că este muchie laterală a paralelipipedului dreptunghic.
Cum o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară și pe orice plan paralel cu el, iar $(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)$ , rezultă $A A^{'} ⟂ (A^{'} B^{'} C^{'})$ .
b) Din a), $A A^{'} ⟂ A^{'} C^{'}$ (pentru că $A^{'} C^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'})$ ), deci triunghiul $A A^{'} C^{'}$ este dreptunghic în $A^{'}$ .
Aplici Pitagora: $A C^{' 2} =$ $A A^{' 2} + A^{'} C^{' 2} =$ $25 + 144 =$ $169$ , deci $A C^{'} = 13$ cm.

Răspuns: a) $A A^{'} ⟂ (A^{'} B^{'} C^{'})$ (demonstrat); b) $A C^{'} = 13$ cm

EXERCIȚIUL 7Diagonala paralelipipedului, cu plane paralelegreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 9$ cm, $B C = 12$ cm și $A A^{'} = 8$ cm. Calculează diagonala $A C^{'}$ , folosind faptul că planele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ sunt paralele.

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $A C^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $A C = 15$ cm.
Cum $A A^{'} ⟂ (A B C)$ (muchie laterală) și $(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)$ , rezultă $A A^{'} ⟂ A C$ (deoarece $A C \subset (A B C)$ ), deci triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ , cu $C C^{'} = A A^{'} = 8$ cm.
Aplici Pitagora: $A C^{' 2} =$ $A C^{2} + C C^{' 2} =$ $225 + 64 =$ $289$ , deci $A C^{'} = 17$ cm.

Răspuns: $A C^{'} = 17$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm și $A A^{'} = 5$ cm. a) Demonstrează, folosind criteriul de paralelism, că planele $(A B C)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'})$ sunt paralele. b) Calculează distanța dintre cele două plane. c) Planul $(A C C^{'} A^{'})$ intersectează cele două plane paralele după dreptele $A C$ și $A^{'} C^{'}$ : arată că sunt paralele și calculează lungimea lui $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) În planul $(A B C)$ , dreptele $A B$ și $B C$ sunt concurente în $B$ . Cum $A B C D$ și $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ sunt fețe opuse și congruente ale paralelipipedului, $A B ∥ A^{'} B^{'}$ și $B C ∥ B^{'} C^{'}$ , deci $A B ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ și $B C ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ .
Din criteriul de paralelism (două drepte concurente dintr-un plan, paralele cu celălalt plan), rezultă $(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ .
b) $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul $(A B C)$ (muchie laterală), deci lungimea ei este chiar distanța dintre cele două plane paralele: $5$ cm.
c) Planul $(A C C^{'} A^{'})$ intersectează cele două plane paralele după $A C$ , respectiv $A^{'} C^{'}$ , deci $A C ∥ A^{'} C^{'}$ , conform proprietății planului secant.
În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $A C^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $A C = 10$ cm.

Răspuns: a) $(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ (demonstrat); b) distanța este $5$ cm; c) $A C ∥ A^{'} C^{'}$ (demonstrat), $A C = 10$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe plane paralele

Enunțul spune „plane paralele”, „fețe opuse” ale unui corp, sau descrie o cameră (podea-tavan, pereți opuși).
Ți se cere să demonstrezi paralelismul: cauți două drepte concurente într-un plan, ambele paralele cu celălalt plan.
Ți se cere o lungime „din planul secant”: folosești faptul că liniile de intersecție cu două plane paralele sunt paralele între ele.

Greșeli frecvente la planele paralele

Consideri suficientă o singură dreaptă paralelă pentru a demonstra planele paralele. Ai nevoie de două drepte concurente dintr-un plan, ambele paralele cu celălalt plan. O singură dreaptă nu „fixează” planul: el tot s-ar putea înclina și intersecta celălalt plan.
Confunzi „dreaptă paralelă cu un plan” cu „plan paralel cu alt plan”. Dacă $d ∥ α$ , nu rezultă automat că planul care conține pe $d$ este paralel cu $α$ : verifici separat, cu criteriul de paralelism a planelor.
Uiți că o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe toate planele paralele cu el. Dacă $d ⟂ α$ și $β ∥ α$ , atunci automat $d ⟂ β$ : nu mai trebuie demonstrat separat pentru $β$ .

Exersează : planele paralele

Fișă de lucru: Pozițiile relative a două plane, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF) Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre planele paralele

Ce înseamnă că două plane sunt paralele?

Că nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi. Distanța dintre ele rămâne aceeași oriunde ai măsura-o, pe o perpendiculară comună.

Ajunge o singură dreaptă paralelă ca să demonstrez două plane paralele?

Nu. Ai nevoie de două drepte concurente dintr-un plan, ambele paralele cu celălalt plan (criteriul de paralelism).

Ce se întâmplă când un al treilea plan intersectează două plane paralele?

Dreptele de intersecție rezultate sunt paralele între ele. Este proprietatea cea mai folosită la exercițiile cu plane secante la două plane paralele.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 13. Pozițiile relative a două plane. Plane paralele..

Exersează cu fișa de lucru: Pozițiile relative a două plane — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două plane sunt paralele dacă și numai dacă:
2. Câte poziții relative pot avea două plane în spațiu?
3. Dacă planul $α$ este paralel cu planul $β$ și planul $β$ este paralel cu planul $γ$ , atunci:
4. Un plan $α$ este paralel cu un plan $β$ dacă în planul $α$ există:
5. Două plane secante se intersectează după: