PIRAMIDA HEXAGONALĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Piramida hexagonală regulată are ca bază un hexagon regulat, cu raza cercului circumscris bazei egală chiar cu latura ei, o proprietate pe care n-o mai întâlnești la celelalte piramide regulate. Urmează elementele, formulele cu figură explicativă și 8 exerciții rezolvate, în ordine crescătoare de dificultate.

De ce contează hexagonul la piramida hexagonală regulată

Baza $A B C D E F$ e un hexagon regulat, deci se împarte natural în 6 triunghiuri echilaterale identice, toate cu vârful în centrul $O$ și cu latura $l$ (aceeași cu latura hexagonului). De aici vine proprietatea care nu apare la nicio altă piramidă regulată: segmentul $O A$ , de la centru la un vârf al bazei, are exact aceeași lungime ca latura $l$ , nu doar apropiată, ci egală. Vârful $V$ se ridică perpendicular deasupra lui $O$ , pe înălțimea $h = V O$ ; asta face ca toate cele 6 muchii laterale $V A, V B, \dots, V F$ să iasă congruente, iar cele 6 fețe să fie triunghiuri isoscele identice.

Segmentul

O A

este raza cercului circumscris bazei, egală cu latura

l

. Triunghiul

V O M

, cu unghiul drept în

O

, leagă înălțimea

V O

de apotema bazei

O M

și de apotema piramidei

V M

Pe lângă $O A = l$ (numit $R$ , raza cercului circumscris bazei), mai ai nevoie de apotema bazei $a_{b} = O M$ , distanța de la $O$ la mijlocul $M$ al unei laturi, adică înălțimea unuia din cele 6 triunghiuri echilaterale, $a_{b} =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ , și de apotema piramidei $a_{p} = V M$ , înălțimea feței laterale $V B C$ . Perimetrul bazei e $P_{b} = 6 l$ .

Cum $O A = l$ , triunghiul $V O A$ (drept în $O$ ) dă direct $m^{2} = h^{2} + l^{2}$ , fără să mai calculezi $R$ separat, ca la celelalte piramide. Al doilea triunghi util e $V O M$ , tot drept în $O$ : $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ . Din oricare din cele două afli ce-ți lipsește, dacă știi înălțimea $h$ și una din laturi.

Aria bazei se calculează tot din cele 6 triunghiuri echilaterale: $A_{b} =$ $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$ . Aria laterală și totală:

$A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2} =$ $3 l \cdot a_{p}$

$A_{t} = A_{l} + A_{b}$

$V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$

Cum aria bazei conține deja $\sqrt{3}$ , majoritatea rezultatelor rămân în formă exactă, cu radical. Piramidele cu bază triunghi echilateral sau pătrat nu au relația $R = l$ : la piramida triunghiulară regulată, $R =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ ; la piramida patrulateră regulată, $R$ e jumătate din diagonala pătratului.

Exerciții rezolvate : piramida hexagonală regulată

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Din apotema piramidei obții ariileușor

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 6$ cm, iar apotema piramidei $V M = 8$ cm, cu $M$ mijlocul laturii $B C$ . Găsește aria laterală și aria totală a piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Latura bazei apare de 6 ori în perimetru: $P_{b} =$ $6 l =$ $6 \cdot 6 =$ $36$ cm.
Formula ariei laterale leagă perimetrul de apotema piramidei: $A_{l} =$ $3 l \cdot a_{p} =$ $3 \cdot 6 \cdot 8 =$ $144$ cm².
Poți controla rezultatul altfel: fiecare din cele 6 fețe laterale are aria $\frac{l \cdot a_{p}}{2} =$ $\frac{6 \cdot 8}{2} =$ $24$ cm², iar înmulțit cu 6 obții tot 144 cm².
Pentru aria totală mai ai nevoie de aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2} =$ $\frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} =$ $54 \sqrt{3}$ cm².
Aduni cele două: $A_{t} =$ $A_{l} + A_{b} =$ $144 + 54 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 144$ cm² și $A_{t} =$ $144 + 54 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 2Cât măsoară conturul și suprafața bazeiușor

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 4$ cm. Află perimetrul bazei și aria bazei.

Rezolvare pas cu pas

Hexagonul regulat are 6 laturi egale, așa că perimetrul se scrie $P_{b} = 6 \cdot 4 = 24$ cm.
Pentru arie folosești formula bazei hexagonale: $A_{b} =$ $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$ .
Înlocuiești $l = 4$ : $A_{b} =$ $\frac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} =$ $24 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $P_{b} = 24$ cm și $A_{b} = 24 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 3Suma muchiilor, pornind de la muchia lateralămediu

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 12$ cm și muchia laterală $V A = 13$ cm. Scrie înălțimea piramidei și suma lungimilor tuturor muchiilor.

Rezolvare pas cu pas

La hexagonul regulat distanța de la centru la un vârf egalează latura, deci $O A = 12$ cm.
În triunghiul dreptunghic $V O A$ (drept în $O$ ) scrii $V O^{2} =$ $V A^{2} - O A^{2} =$ $169 - 144 =$ $25$ .
Extragi radical și obții $V O = 5$ cm.
Muchiile bazei sunt 6, muchiile laterale tot 6: suma lor este $6 \cdot 12 + 6 \cdot 13 =$ $150$ cm.

Răspuns: $V O = 5$ cm, suma muchiilor este 150 cm

EXERCIȚIUL 4Ce înălțime are piramida, cunoscând volumulmediu

O piramidă hexagonală regulată are latura bazei de 6 cm și volumul $108 \sqrt{3}$ cm³. Scrie înălțimea piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Pornești de la aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} =$ $54 \sqrt{3}$ cm².
Formula volumului îți dă ecuația: $108 \sqrt{3} =$ $\frac{54 \sqrt{3} \cdot h}{3}$ .
Elimini fracția înmulțind cu 3: $324 \sqrt{3} =$ $54 \sqrt{3} \cdot h$ .
Împarți la $54 \sqrt{3}$ și rămâi cu $h = 6$ cm.

Răspuns: $h = 6$ cm

EXERCIȚIUL 5De la apotema piramidei la înălțime, cu Pitagoramediu

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 10$ cm și apotema piramidei $V M = 14$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $B C$ . Scrie înălțimea piramidei și aria laterală.

Rezolvare pas cu pas

Apotema bazei rezultă din jumătate de hexagon echilateral: $O M =$ $\frac{10 \sqrt{3}}{2} =$ $5 \sqrt{3}$ cm, adică $O M^{2} = 75$ .
În triunghiul dreptunghic $V O M$ scrii $V O^{2} =$ $V M^{2} - O M^{2} =$ $196 - 75 =$ $121$ .
De aici $V O = 11$ cm.
Aria laterală iese direct din formulă: $A_{l} =$ $3 l \cdot a_{p} =$ $3 \cdot 10 \cdot 14 =$ $420$ cm².

Răspuns: $V O = 11$ cm și $A_{l} = 420$ cm²

EXERCIȚIUL 6Volumul calculat direct din latură și înălțimemediu

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei de 8 cm și înălțimea $V O = 9$ cm. Scrie volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{3 \cdot 64 \sqrt{3}}{2} =$ $96 \sqrt{3}$ cm².
Aplici formula volumului: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3} =$ $\frac{96 \sqrt{3} \cdot 9}{3}$ .
Simplifici 9 cu 3 direct în fracție: rămâne $V =$ $96 \sqrt{3} \cdot 3 =$ $288 \sqrt{3}$ cm³.

Răspuns: $V = 288 \sqrt{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 7De la aria laterală, în trei pași, până la volumgreu

O piramidă hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 16$ cm și aria laterală de 912 cm². Scrie apotema piramidei, înălțimea și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Perimetrul bazei: $P_{b} =$ $6 \cdot 16 =$ $96$ cm.
Împarți aria laterală la jumătate din perimetru: $a_{p} =$ $\frac{2 \cdot 912}{96} =$ $19$ cm.
Apotema bazei: $O M =$ $\frac{16 \sqrt{3}}{2} =$ $8 \sqrt{3}$ cm, deci $O M^{2} = 192$ .
Triunghiul $V O M$ e dreptunghic în $O$ , așa că $V O^{2} =$ $V M^{2} - O M^{2} =$ $361 - 192 =$ $169$ , adică $h = 13$ cm.
Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{3 \cdot 256 \sqrt{3}}{2} =$ $384 \sqrt{3}$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{384 \sqrt{3} \cdot 13}{3} =$ $128 \sqrt{3} \cdot 13 =$ $1664 \sqrt{3}$ cm³.

Răspuns: $a_{p} = 19$ cm, $h = 13$ cm, $V = 1664 \sqrt{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 8Exercițiul tip Evaluare Națională, cu tangenta unghiuluigreu

Piramida hexagonală regulată $V A B C D E F$ are latura bazei $A B = 8$ cm și înălțimea $V O = 8 \sqrt{3}$ cm, unde $O$ este centrul bazei. a) Demonstrează că muchia laterală $V A$ măsoară 16 cm. b) Scrie volumul piramidei. c) Determină tangenta unghiului dintre muchia laterală $V A$ și planul bazei $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) La hexagonul regulat distanța de la centru la un vârf egalează latura: $O A = 8$ cm. În triunghiul dreptunghic $V O A$ : $V A^{2} =$ $V O^{2} + O A^{2} =$ ${(8 \sqrt{3})}^{2} + 8^{2} =$ $192 + 64 =$ $256$ .
Radical din 256 dă $V A = 16$ cm, exact ce trebuia demonstrat.
b) Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{3 \cdot 64 \sqrt{3}}{2} =$ $96 \sqrt{3}$ cm².
Volumul iese fără radical, pentru că $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =$ $3$ : $V =$ $\frac{96 \sqrt{3} \cdot 8 \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{96 \cdot 8 \cdot 3}{3} =$ $768$ cm³.
c) Piciorul înălțimii $O$ face ca $O A$ să fie proiecția lui $V A$ pe planul bazei, așa că unghiul căutat este $∠ V A O$ , cu vârful chiar în $A$ .
Triunghiul $V O A$ rămâne dreptunghic în $O$ , cu catetele $V O = 8 \sqrt{3}$ cm și $O A = 8$ cm.
Raportul dintre cateta opusă unghiului $∠ V A O$ și cateta alăturată dă tangenta: $\tan (∠ V A O) =$ $\frac{V O}{O A} =$ $\frac{8 \sqrt{3}}{8} =$ $\sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $V A = 16$ cm; b) $V = 768$ cm³; c) $\tan (∠ V A O) =$ $\sqrt{3}$

Cum recunoști un exercițiu pe piramida hexagonală regulată

Baza e un hexagon regulat (fagure, șurub, capac hexagonal, machetă) sau enunțul numește direct „piramida hexagonală regulată”.
Dacă problema dă doar latura $l$ și cere muchia laterală sau raza cercului circumscris, nu ai nevoie de nicio formulă suplimentară pentru $R$ : la hexagon, $R$ și $l$ sunt același număr.
Când cere apotema piramidei sau aria laterală, ai nevoie și de apotema bazei $a_{b} =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ , calculată din triunghiul echilateral care formează jumătate de hexagon.

Greșeli frecvente la piramida hexagonală regulată

Cauți o formulă separată pentru raza cercului circumscris. La hexagonul regulat nu există un pas suplimentar: $R$ coincide cu latura, $R = l$ . La orice altă bază (triunghi, pătrat), $R$ se calculează separat din latură.
Iei perimetrul bazei ca $P_{b} = 4 l$ sau $P_{b} = 3 l$ , copiind formula altei piramide. Hexagonul are 6 laturi egale, deci $P_{b} = 6 l$ întotdeauna, indiferent câte cifre are latura.
Amesteci $O M$ (spre mijlocul laturii) cu $O A$ (spre vârf) când sunt date amândouă în enunț. La hexagon cele două nu sunt în raportul 2:1 ca la triunghi: $O A = l$ e mai mic decât dublul lui $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2} \approx 0,87 l$ . Fiecare tip de bază are propriul raport, nu-l presupune.

Exersează : piramida hexagonală regulată

Fișă de lucru: Piramida hexagonală regulată, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, piramida regulatăPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre piramida hexagonală regulată

De ce raza cercului circumscris hexagonului este egală cu latura?

Pentru că un hexagon regulat se împarte în 6 triunghiuri echilaterale, toate cu vârful în centrul $O$ . Laturile acestor triunghiuri sunt egale, deci raza $O A$ este egală cu latura hexagonului $l$ .

Câte fețe, muchii și vârfuri are piramida hexagonală?

Are 7 fețe (baza și 6 fețe laterale), 12 muchii (6 ale bazei și 6 laterale) și 7 vârfuri.

Formula ariei bazei hexagonale este diferită de a triunghiului sau a pătratului?

Da. Aria bazei este $A_{b} =$ $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$ , pentru că un hexagon regulat conține 6 triunghiuri echilaterale cu latura $l$ , fiecare cu aria $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 5. Piramida hexagonală regulată..

Exersează cu fișa de lucru: Piramida hexagonală regulată — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Câte fețe laterale are o piramidă hexagonală regulată?
2. În piramida hexagonală regulată cu latura bazei $a$ , cum se calculează apotema bazei $a_{b}$ ?
3. Aria bazei unei piramide hexagonale regulate cu latura $a$ este:
4. Apotema laterală $a_{l}$ a piramidei hexagonale regulate, cu înălțimea $h$ și apotema bazei $a_{b}$ , se calculează cu formula:
5. Aria laterală a piramidei hexagonale regulate cu perimetrul bazei $P$ și apotema laterală $a_{l}$ este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)