POZIȚIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE ȘI ALE CERCURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

O dreaptă poate fi exterioară, tangentă sau secantă unui cerc, după cum distanța de la centru la dreaptă este mai mare, egală sau mai mică decât raza. Mai jos găsești regula, aceeași idee aplicată la două cercuri, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele trei poziții ale unei drepte față de un cerc

Fie un cerc cu centrul $O$ și raza $r$ , și o dreaptă $d$ . Notezi cu $O F$ distanța de la $O$ la dreapta $d$ (segmentul perpendicular cel mai scurt dintre ele) și o compari cu raza.

De la stânga la dreapta: dreaptă exterioară (

O F > r

), tangentă (

O F = r

) și secantă (

O F < r

$O F > r$

Dreapta este exterioară cercului: nu au niciun punct comun.

$O F = r$

Dreapta este tangentă cercului: au exact un punct comun.

$O F < r$

Dreapta este secantă cercului: îl taie în două puncte.

La două cercuri cu razele $r_{1}$ și $r_{2}$ și distanța $D$ dintre centre, compari $D$ cu suma și cu diferența razelor: dacă $D > r_{1} + r_{2}$ , cercurile sunt exterioare; dacă $D = r_{1} + r_{2}$ , sunt tangente exterior; dacă $| r_{1} - r_{2} | < D < r_{1} + r_{2}$ , sunt secante; dacă $D = | r_{1} - r_{2} |$ (cu $r_{1} \neq r_{2}$ ), sunt tangente interior; iar dacă $D < | r_{1} - r_{2} |$ , un cerc este în interiorul celuilalt, fără niciun punct comun.

Exerciții rezolvate : pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Dreaptă secantăușor

Un cerc cu centrul $O$ are raza $5 cm$ . Distanța de la $O$ la o dreaptă $d$ este $3 cm$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Segmentul punctat este distanța de la O la dreaptă (3 cm); segmentul continuu din O este raza (5 cm).

Rezolvare pas cu pas

Compari distanța de la centru la dreaptă cu raza: $3 cm < 5 cm$ .
Cum distanța este mai mică decât raza, dreapta $d$ este secantă cercului (îl taie în două puncte).

Răspuns: Dreapta $d$ este secantă cercului

EXERCIȚIUL 2Dreaptă tangentăușor

Un cerc cu centrul $O$ are raza $6 cm$ . Distanța de la $O$ la o dreaptă $d$ este $6 cm$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Segmentul punctat este distanța de la O la dreaptă, egală cu raza (6 cm), motiv pentru care atinge cercul exact în punctul de contact.

Rezolvare pas cu pas

Compari distanța de la centru la dreaptă cu raza: $6 cm =$ $6 cm$ .
Cum distanța este egală cu raza, dreapta $d$ este tangentă cercului (îl atinge într-un singur punct).

Răspuns: Dreapta $d$ este tangentă cercului

EXERCIȚIUL 3Dreaptă exterioarăușor

Un cerc cu centrul $O$ are raza $5 cm$ . Distanța de la $O$ la o dreaptă $d$ este $8 cm$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Segmentul punctat este distanța de la O la dreaptă (8 cm); segmentul continuu din O este raza (5 cm).

Rezolvare pas cu pas

Compari distanța de la centru la dreaptă cu raza: $8 cm > 5 cm$ .
Cum distanța este mai mare decât raza, dreapta $d$ este exterioară cercului (nu îl atinge deloc).

Răspuns: Dreapta $d$ este exterioară cercului

EXERCIȚIUL 4Două cercuri tangente exteriormediu

Două cercuri cu centrele $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele $3 cm$ și $5 cm$ . Distanța dintre centre este $8 cm$ . Determină poziția relativă a celor două cercuri.

Segmentul dintre O1 și O2 este distanța dintre centre (8 cm); T este punctul de tangență.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi suma razelor: $r_{1} + r_{2} =$ $3 cm + 5 cm =$ $8 cm$ .
Distanța dintre centre este exact egală cu suma razelor: $D =$ $8 cm =$ $r_{1} + r_{2}$ , deci cercurile sunt tangente exterior (au un singur punct comun, iar fiecare cerc este în exteriorul celuilalt).

Răspuns: Cercurile sunt tangente exterior

EXERCIȚIUL 5Două cercuri secantemediu

Două cercuri cu centrele $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele $4 cm$ și $6 cm$ . Distanța dintre centre este $7 cm$ . Determină poziția relativă a celor două cercuri.

Segmentul dintre O1 și O2 este distanța dintre centre (7 cm).

Rezolvare pas cu pas

Calculezi diferența și suma razelor: $| r_{1} - r_{2} | =$ $| 4 cm - 6 cm | =$ $2 cm$ , iar $r_{1} + r_{2} =$ $10 cm$ .
Distanța dintre centre se află între ele: $2 cm < 7 cm < 10 cm$ , deci cercurile sunt secante (au două puncte comune).

Răspuns: Cercurile sunt secante

EXERCIȚIUL 6Două cercuri exterioaremediu

Două cercuri cu centrele $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele $3 cm$ și $4 cm$ . Distanța dintre centre este $10 cm$ . Determină poziția relativă a celor două cercuri.

Segmentul dintre O1 și O2 este distanța dintre centre (10 cm).

Rezolvare pas cu pas

Calculezi suma razelor: $r_{1} + r_{2} =$ $3 cm + 4 cm =$ $7 cm$ .
Distanța dintre centre este mai mare decât suma razelor: $10 cm > 7 cm$ , deci cercurile sunt exterioare unul altuia, fără niciun punct comun.

Răspuns: Cercurile sunt exterioare unul altuia

EXERCIȚIUL 7Raza pentru care dreapta devine tangentăgreu

Un cerc cu centrul $O$ are raza $r$ , necunoscută. Distanța de la $O$ la o dreaptă $d$ este $7 cm$ . a) Pentru ce valoare a lui $r$ dreapta $d$ devine tangentă cercului? b) Dacă raza crește cu $3 cm$ față de această valoare, ce poziție relativă va avea dreapta $d$ ?

Segmentul punctat este distanța de la O la dreaptă (7 cm); raza nu e desenată, e exact ce trebuie să calculezi.

Rezolvare pas cu pas

a) Dreapta este tangentă exact atunci când distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza: $r = 7 cm$ .
b) Noua rază este $7 cm + 3 cm =$ $10 cm$ . Compari din nou distanța cu noua rază: $7 cm < 10 cm$ .
Cum distanța a rămas mai mică decât noua rază, dreapta $d$ devine secantă cercului.

Răspuns: a) $r = 7 cm$ ; b) dreapta $d$ devine secantă

EXERCIȚIUL 8Provocare: două cercuri tangente interiorgreu

Două cercuri cu centrele $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele $9 cm$ și $4 cm$ . Distanța dintre centre este $5 cm$ . Determină poziția relativă a celor două cercuri și precizează care cerc conține celălalt.

Segmentul dintre O1 și O2 este distanța dintre centre (5 cm); T este punctul de tangență.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi diferența razelor: $| r_{1} - r_{2} | =$ $| 9 cm - 4 cm | =$ $5 cm$ .
Distanța dintre centre este exact egală cu această diferență: $D =$ $5 cm =$ $| r_{1} - r_{2} |$ , deci cercurile sunt tangente interior (au un singur punct comun).
Cum raza cercului mic ( $4 cm$ ) este mai mică decât raza cercului mare ( $9 cm$ ) și distanța dintre centre este mică, cercul mic se află în interiorul cercului mare, atingându-l într-un singur punct.

Răspuns: Cercurile sunt tangente interior; cercul cu raza $9 cm$ conține cercul cu raza $4 cm$

Cum recunoști un exercițiu cu poziții relative dreaptă-cerc sau cerc-cerc

Enunțul dă direct distanța de la centrul unui cerc la o dreaptă, sau distanța dintre centrele a două cercuri.
Ți se cere să precizezi dacă figurile au 0, 1 sau 2 puncte comune, fără să le desenezi la scară exactă.
Apar cuvintele „exterioară”, „tangentă” sau „secantă”, ori „tangente exterior/interior”, pentru două cercuri.

Greșeli frecvente la pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor

Compari distanța doar cu una dintre raze, la două cercuri. La două cercuri trebuie să compari distanța dintre centre atât cu suma razelor, cât și cu diferența lor. O singură comparație nu e suficientă pentru a stabili poziția corectă.
Crezi că tangența interioară cere cercuri egale. Nu. Tangența interioară apare când un cerc mai mic e „lipit” pe dinăuntru de un cerc mai mare, cu $D = | r_{1} - r_{2} |$ . Cercurile egale, concentrice, cu aceeași rază, ar coincide, nu ar fi tangente.
Uiți cazul cercurilor concentrice. Dacă cele două cercuri au același centru ( $D = 0$ ) și raze diferite, nu au niciun punct comun: cercul mic e mereu strict în interiorul celui mare, fără să-l atingă.

Exersează : pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor

Fișă de lucru: Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Perpendicularitate și cercul, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor

Cum aflu distanța de la centrul cercului la o dreaptă, fără ecuații?

La clasa a VI-a, această distanță se măsoară ca lungime a segmentului perpendicular din centru pe dreaptă, exact ca orice altă distanță de la un punct la o dreaptă. Nu ai nevoie de ecuația dreptei sau de coordonate.

Ce înseamnă că o dreaptă este „secantă” unui cerc?

Înseamnă că dreapta intră în cerc și îl taie în două puncte distincte, pentru că distanța de la centru la dreaptă este mai mică decât raza.

Se poate ca o dreaptă să fie tangentă unui cerc „din interior”?

Nu. O dreaptă e infinită în ambele direcții, deci nu poate fi „în interiorul” unui cerc. Tangența dreaptă-cerc e mereu din exterior, într-un singur punct. Tangența interioară există doar între două cercuri.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 19. Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc. Pozițiile relative a două cercuri..

Exersează cu fișa de lucru: Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. O dreaptă față de un cerc poate avea cel mult câte puncte comune?
2. Cum se numește dreapta care are exact un punct comun cu un cerc?
3. Fie un cerc cu centrul O și raza $r$ , și o dreaptă $d$ . Dreapta $d$ este exterioară cercului dacă distanța de la O la $d$ este:
4. Două cercuri sunt tangente extern dacă:
5. Fie două cercuri cu razele $r_{1} = 3$ cm și $r_{2} = 5$ cm și distanța dintre centre $d = 8$ cm. Care este poziția relativă a celor două cercuri?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 septembrie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ELEMENTELE CERCULUI: rază, coardă, diametru și arc - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 4: Noțiuni geometrice fundamentale

UNGHI LA CENTRU: formula și arcul corespunzător - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 4: Noțiuni geometrice fundamentale

NUMERE ÎNTREGI recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

COMPARAREA NUMERELOR ÎNTREGI ordonare și modul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR ÎNTREGI reguli și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

REGULA SEMNELOR la numere întregi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună