PATRULATERUL CONVEX suma unghiurilor și diagonalele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 4 octombrie 2026

Un patrulater este convex dacă, pentru fiecare latură, celelalte două vârfuri se află de aceeași parte a dreptei care conține latura. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ}$ , iar diagonalele lui se intersectează în interior. Mai jos găsești definiția, elementele, unghiurile exterioare și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce este un patrulater convex și ce elemente are

Fie patru puncte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , oricare trei necoliniare. Figura formată din segmentele $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ , care se ating doar la capete, se numește patrulater. Patrulaterul este convex dacă, oricare ar fi latura aleasă, celelalte două vârfuri se află de aceeași parte a dreptei care conține latura. Dacă măcar o latură are vârfurile rămase de o parte și de alta a dreptei ei, patrulaterul este neconvex (concav).

Patrulaterul convex

A B C D

: diagonalele

A C

și

B D

se intersectează în punctul

O

, aflat în interiorul figurii.

Elementele patrulaterului $A B C D$ :

vârfurile $A$ , $B$ , $C$ , $D$ și laturile $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ . Laturile care au un vârf comun sunt consecutive ( $A B$ și $B C$ ), iar cele fără vârf comun sunt opuse ( $A B$ și $C D$ );
unghiurile $∠ A$ , $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ . Unghiurile $A$ și $C$ , respectiv $B$ și $D$ , sunt opuse;
diagonalele $A C$ și $B D$ , segmentele care unesc vârfuri opuse. Un patrulater are exact două diagonale;
perimetrul, suma lungimilor laturilor: $P =$ $A B + B C + C D + D A$ .

Diagonala $A C$ împarte patrulaterul convex în triunghiurile $A B C$ și $A C D$ . Unghiurile celor două triunghiuri formează exact unghiurile patrulaterului, iar fiecare triunghi are $180^{\circ}$ . De aici:

$m (∠ A) +$ $m (∠ B) +$ $m (∠ C) +$ $m (∠ D) =$ $360^{\circ}$

Trei consecințe folositoare:

Într-un patrulater convex, fiecare unghi are mai puțin de $180^{\circ}$ . Dacă un calcul îți dă un unghi mai mare de $180^{\circ}$ , patrulaterul este neconvex, cu un vârf „intrat” spre interior.
Diagonalele unui patrulater convex se intersectează într-un punct aflat în interiorul patrulaterului. La un patrulater neconvex, una dintre diagonale rămâne în afara figurii.
Unghiul exterior dintr-un vârf este suplementul unghiului interior. Luând câte un unghi exterior în fiecare vârf, suma lor este $4 \cdot 180^{\circ} - 360^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Exerciții rezolvate : patrulaterul convex

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Al patrulea unghiușor

Patrulaterul convex $A B C D$ are $m (∠ A) =$ $75^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $120^{\circ}$ și $m (∠ C) =$ $65^{\circ}$ . Calculează măsura unghiului $D$ .

Rezolvare pas cu pas

Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ}$ .
Aduni unghiurile cunoscute: $75^{\circ} + 120^{\circ} + 65^{\circ} =$ $260^{\circ}$ .
$m (∠ D) =$ $360^{\circ} - 260^{\circ} =$ $100^{\circ}$ .
Verificare: $100^{\circ}$ este mai mic decât $180^{\circ}$ , ca toate unghiurile unui patrulater convex.

Răspuns: $m (∠ D) =$ $100^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Unghiuri direct proporționale cu numere dateușor

Unghiurile patrulaterului convex $M N P Q$ au măsurile direct proporționale cu numerele $2$ , $3$ , $4$ și $6$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

Notezi unghiurile cu $2 k$ , $3 k$ , $4 k$ și $6 k$ .
Suma lor este $360^{\circ}$ : $2 k + 3 k + 4 k + 6 k =$ $15 k =$ $360^{\circ}$ , deci $k = 24^{\circ}$ .
$m (∠ M) =$ $48^{\circ}$ , $m (∠ N) =$ $72^{\circ}$ , $m (∠ P) =$ $96^{\circ}$ , $m (∠ Q) =$ $144^{\circ}$ .
Verificare: $48^{\circ} +$ $72^{\circ} +$ $96^{\circ} +$ $144^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , iar toate sunt sub $180^{\circ}$ .

Răspuns: $48^{\circ}$ , $72^{\circ}$ , $96^{\circ}$ , $144^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Laturi exprimate prin numere consecutiveușor

Lungimile laturilor unui patrulater convex, exprimate în centimetri, sunt patru numere naturale consecutive, iar perimetrul patrulaterului este $38$ cm. Află lungimile laturilor.

Rezolvare pas cu pas

Notezi cea mai mică latură cu $n$ . Celelalte sunt $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ .
Perimetrul: $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) =$ $4 n + 6 =$ $38$ .
$4 n = 32$ , deci $n = 8$ .
Laturile au $8$ cm, $9$ cm, $10$ cm și $11$ cm. Verificare: $8 + 9 + 10 + 11 = 38$ .

Răspuns: $8$ cm, $9$ cm, $10$ cm, $11$ cm

EXERCIȚIUL 4Poate fi patrulaterul convex?mediu

Patrulaterul $A B C D$ are $m (∠ A) =$ $60^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $50^{\circ}$ și $m (∠ D) =$ $40^{\circ}$ . Calculează măsura unghiului interior $C$ și stabilește dacă patrulaterul este convex.

Pe figură nu este marcat unghiul din

C

: măsura lui se calculează. Diagonala

B D

, punctată, trece prin exteriorul patrulaterului.

Rezolvare pas cu pas

Și la patrulaterul neconvex, suma unghiurilor interioare este $360^{\circ}$ : diagonala $A C$ , care este în interior, îl împarte tot în două triunghiuri.
$m (∠ C) =$ $360^{\circ} - 60^{\circ} - 50^{\circ} - 40^{\circ} =$ $210^{\circ}$ .
Un unghi interior de $210^{\circ}$ este mai mare decât $180^{\circ}$ , ceea ce la un patrulater convex nu se poate.
Deci patrulaterul este neconvex: vârful $C$ este „intrat” în interiorul triunghiului $A B D$ , iar diagonala $B D$ rămâne în afara patrulaterului.

Răspuns: $m (∠ C) =$ $210^{\circ}$ ; patrulaterul nu este convex

EXERCIȚIUL 5Unghiurile exterioaremediu

Patrulaterul convex $A B C D$ are unghiurile exterioare din $A$ , $B$ și $C$ de $100^{\circ}$ , $95^{\circ}$ , respectiv $80^{\circ}$ . Calculează unghiurile interioare ale patrulaterului și unghiul exterior din $D$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul exterior și unghiul interior din același vârf sunt suplementare: $m (∠ A) =$ $180^{\circ} - 100^{\circ} =$ $80^{\circ}$ .
La fel: $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 95^{\circ} =$ $85^{\circ}$ și $m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 80^{\circ} =$ $100^{\circ}$ .
Din suma unghiurilor interioare: $m (∠ D) =$ $360^{\circ} - 80^{\circ} - 85^{\circ} - 100^{\circ} =$ $95^{\circ}$ .
Unghiul exterior din $D$ are $180^{\circ} - 95^{\circ} =$ $85^{\circ}$ .
Verificare: $100^{\circ} +$ $95^{\circ} +$ $80^{\circ} +$ $85^{\circ} =$ $360^{\circ}$ , suma unghiurilor exterioare.

Răspuns: $80^{\circ}$ , $85^{\circ}$ , $100^{\circ}$ , $95^{\circ}$ ; unghiul exterior din $D$ are $85^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Două perechi de laturi consecutive congruentemediu

Patrulaterul convex $A B C D$ are $A B = A D$ și $C B = C D$ . Știind că $m (∠ B A D) =$ $70^{\circ}$ și $m (∠ B C D) =$ $110^{\circ}$ , calculează măsurile unghiurilor $B$ și $D$ .

Unghiurile din

B

și

D

nu sunt marcate ca unghiuri drepte: măsura lor se calculează.

Rezolvare pas cu pas

Compari triunghiurile $A B C$ și $A D C$ : $A B = A D$ , $C B = C D$ , iar latura $A C$ este comună.
Din cazul de congruență latură-latură-latură, $△ A B C \equiv △ A D C$ , deci unghiurile corespunzătoare sunt congruente: $∠ A B C \equiv ∠ A D C$ .
Suma unghiurilor patrulaterului: $70^{\circ} +$ $110^{\circ} +$ $m (∠ B) +$ $m (∠ D) =$ $360^{\circ}$ , deci $m (∠ B) + m (∠ D) =$ $180^{\circ}$ .
Unghiurile $B$ și $D$ sunt egale, deci fiecare are $\frac{180^{\circ}}{2} =$ $90^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B) =$ $m (∠ D) =$ $90^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Suma diagonalelor și perimetrulgreu

Patrulaterul convex $A B C D$ are $A B = 6$ cm, $B C = 7$ cm, $C D = 8$ cm și $D A = 9$ cm. Diagonalele se intersectează în $O$ . Arată că suma diagonalelor este mai mare de $15$ cm și mai mică de $30$ cm.

Figura nu îți dă lungimile diagonalelor: inegalitățile se demonstrează doar din laturi.

Rezolvare pas cu pas

Patrulaterul este convex, deci $O$ se află pe ambele diagonale, între capetele lor: $A C = A O + O C$ și $B D = B O + O D$ .
Inegalitatea triunghiului în triunghiurile $A O B$ , $B O C$ , $C O D$ , $D O A$ : $A B < A O + O B$ , $B C < B O + O C$ , $C D < C O + O D$ , $D A < D O + O A$ .
Aduni: $A B +$ $B C +$ $C D +$ $D A < 2 (A O + O C) +$ $2 (B O + O D) =$ $2 (A C + B D)$ . Perimetrul este $30$ cm, deci $A C + B D > 15$ cm.
Pentru cealaltă inegalitate: $A C < A B + B C = 13$ cm (triunghiul $A B C$ ) și $B D < B C + C D = 15$ cm (triunghiul $B C D$ ).
Aduni: $A C + B D < 13 + 15 =$ $28$ cm, deci cu atât mai mult $A C + B D < 30$ cm, adică mai puțin decât perimetrul.

Răspuns: $15$ cm $< A C + B D < 30$ cm

EXERCIȚIUL 8Unghiul dintre două bisectoaregreu

În patrulaterul convex $A B C D$ , $m (∠ C) =$ $100^{\circ}$ și $m (∠ D) =$ $120^{\circ}$ . Bisectoarele unghiurilor $A$ și $B$ se intersectează în punctul $E$ . Calculează $m (∠ A E B)$ și arată că este semisuma unghiurilor $C$ și $D$ .

Unghiul

A E B

nu este marcat pe figură: măsura lui este răspunsul.

Rezolvare pas cu pas

Din suma unghiurilor: $m (∠ A) + m (∠ B) =$ $360^{\circ} - 100^{\circ} - 120^{\circ} =$ $140^{\circ}$ .
Bisectoarele împart unghiurile în jumătăți, deci $m (∠ E A B) + m (∠ E B A) =$ $\frac{m (∠ A) + m (∠ B)}{2} =$ $\frac{140^{\circ}}{2} =$ $70^{\circ}$ .
În triunghiul $A E B$ : $m (∠ A E B) =$ $180^{\circ} - 70^{\circ} =$ $110^{\circ}$ .
Semisuma unghiurilor $C$ și $D$ : $\frac{100^{\circ} + 120^{\circ}}{2} =$ $110^{\circ}$ . Cele două rezultate coincid.
Nu a fost nevoie de $m (∠ A)$ și $m (∠ B)$ separat, ci doar de suma lor. Regula este generală: $m (∠ A E B) =$ $\frac{m (∠ C) + m (∠ D)}{2}$ .

Răspuns: $m (∠ A E B) =$ $110^{\circ} =$ $\frac{100^{\circ} + 120^{\circ}}{2}$

Cum recunoști un exercițiu pe patrulaterul convex

Se dau trei unghiuri, unghiuri proporționale sau exprimate cu o necunoscută: pornești de la suma de $360^{\circ}$ .
Se întreabă dacă patrulaterul poate fi convex: calculezi toate unghiurile și verifici că fiecare este sub $180^{\circ}$ .
Apar diagonalele și inegalități între lungimi: folosești punctul lor de intersecție, aflat în interior, și inegalitatea triunghiului.

Greșeli frecvente la patrulaterul convex

Folosești $180^{\circ}$ în loc de $360^{\circ}$ . Suma de $180^{\circ}$ este a triunghiului. Patrulaterul se împarte printr-o diagonală în două triunghiuri, deci are $2 \cdot 180^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .
Accepți un unghi mai mare de $180^{\circ}$ la un patrulater convex. Dacă îți iese un unghi de peste $180^{\circ}$ , fie ai greșit calculul, fie patrulaterul nu este convex. Verifică întotdeauna rezultatul.
Aduni unghiul exterior la cel interior ca să obții $360^{\circ}$ . Unghiul exterior și cel interior din același vârf sunt suplementare: suma lor este $180^{\circ}$ . Suma de $360^{\circ}$ este a celor patru unghiuri exterioare, câte unul din fiecare vârf.

Exersează : patrulaterul convex

Fișă de lucru: Patrulaterul convex, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Patrulaterul convex, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre patrulaterul convex

Cum îmi dau seama dacă un patrulater este convex?

Iei pe rând fiecare latură și verifici că celelalte două vârfuri sunt de aceeași parte a dreptei ei. Mai simplu: dacă toate unghiurile au sub $180^{\circ}$ și diagonalele se intersectează în interior, patrulaterul este convex.

De ce suma unghiurilor unui patrulater este 360 de grade?

O diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri. Unghiurile celor două triunghiuri formează împreună unghiurile patrulaterului, iar fiecare triunghi are $180^{\circ}$ : $180^{\circ} + 180^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Câte diagonale are un patrulater?

Două: $A C$ și $B D$ , fiecare unind două vârfuri opuse. Laturile unesc vârfuri consecutive, deci nu sunt diagonale.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații definește corect un patrulater convex?
2. Suma unghiurilor interioare ale unui patrulater convex este egală cu:
3. Într-un patrulater convex $A B C D$ , diagonalele sunt segmentele:
4. Care este proprietatea diagonalelor unui patrulater convex față de interiorul său?
5. Un patrulater $A B C D$ are unghiurile: $\hat{A} = 80 °$ , $\hat{B} = 110 °$ , $\hat{C} = 95 °$ . Cât măsoară unghiul $\hat{D}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI, definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună