SUME TELESCOPICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

O sumă telescopică arată complicat, cu zeci de termeni, dar se rezolvă printr-un singur truc: descompui fiecare termen într-o diferență, iar aproape tot se anulează, rămânând doar primul și ultimul termen. Mai jos găsești regula pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Regula sumelor telescopice

Ideea de bază. Numele vine de la un tub telescopic: când îl strângi, bucățile din mijloc dispar în interior și rămân vizibile doar capetele. La fel se întâmplă și cu o sumă telescopică: fiecare termen se scrie ca o diferență, iar la adunare termenii din mijloc se anulează perechi-perechi.

Descompunerea cheie. Cel mai des întâlnești sume telescopice cu termeni de forma $\frac{1}{k (k + 1)}$ . Fiecare astfel de termen se descompune ca o diferență de două fracții:

$\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

Verifici descompunerea aducând cele două fracții din dreapta la același numitor: $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} =$ $\frac{(k + 1) - k}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k (k + 1)}$ . Dacă obții exact fracția de la care ai pornit, descompunerea e corectă.

Regula generală. Când fiecare termen al unei sume se scrie ca $f (k) - f (k + 1)$ , suma tuturor termenilor, de la $k = a$ până la $k = b$ , este $f (a) - f (b + 1)$ : tot ce e la mijloc dispare, rămân doar primul și ultimul termen desfășurat.

Atenție la coeficient. Dacă termenii au un coeficient în față, ca $\frac{2}{k (k + 1)}$ , scoți coeficientul înaintea descompunerii: $\frac{2}{k (k + 1)} =$ $2 \cdot (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$ , apoi telescoparea funcționează la fel.

Suma nu pornește mereu de la 1. Dacă suma începe de la un $k$ mai mare decât $1$ , regula rămâne aceeași: descompui fiecare termen, anulezi ce se repetă la mijloc și rămâi cu primul și ultimul termen desfășurat, oricare ar fi ei.

Cel mai sigur mod să nu greșești la o sumă telescopică e să scrii efectiv, pe hârtie, primii trei sau patru termeni desfășurați, cu parantezele lor, înainte să tai ce se anulează. Nu sări direct la formula finală doar pentru că ai memorat-o: dacă scrii termenii pe rând, vezi cu ochii tăi care fracție se anulează cu care, iar riscul să ștergi din greșeală primul sau ultimul termen scade mult. Abia după ce ai desfășurat suficienți termeni ca să fii sigur de tipar, poți trece direct la rezultatul final, fără să mai desfășori toată suma, mai ales când are zeci sau sute de termeni.

Exerciții rezolvate : sumele telescopice

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Trei termeniușor

Calculează $S =$ $\frac{1}{1 \cdot 2} +$ $\frac{1}{2 \cdot 3} +$ $\frac{1}{3 \cdot 4}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompun fiecare termen: $S =$ $(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) +$ $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) +$ $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ .
Termenii din mijloc se anulează: $- \frac{1}{2}$ cu $+ \frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{3}$ cu $+ \frac{1}{3}$ . Rămâne $S =$ $\frac{1}{1} - \frac{1}{4}$ .
Calculez: $S =$ $\frac{4}{4} - \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ .

Răspuns: $S = \frac{3}{4}$

EXERCIȚIUL 2Cinci termeniușor

Calculează $S =$ $\frac{1}{1 \cdot 2} +$ $\frac{1}{2 \cdot 3} +$ $\frac{1}{3 \cdot 4} +$ $\frac{1}{4 \cdot 5} +$ $\frac{1}{5 \cdot 6}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompun fiecare termen după formula $\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Toți termenii din mijloc se anulează, rămân doar primul și ultimul: $S =$ $\frac{1}{1} - \frac{1}{6}$ .
Calculez: $S =$ $\frac{6}{6} - \frac{1}{6} =$ $\frac{5}{6}$ .

Răspuns: $S = \frac{5}{6}$

EXERCIȚIUL 3Sumă care nu pornește de la 1mediu

Calculează $S =$ $\frac{1}{3 \cdot 4} +$ $\frac{1}{4 \cdot 5} +$ $\frac{1}{5 \cdot 6} +$ $\frac{1}{6 \cdot 7} +$ $\frac{1}{7 \cdot 8}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompun fiecare termen, pentru $k$ de la $3$ la $7$ : $\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Termenii din mijloc se anulează, rămân primul termen al primei paranteze și ultimul termen al ultimei paranteze: $S =$ $\frac{1}{3} - \frac{1}{8}$ .
Aduc la același numitor și calculez: $S =$ $\frac{8}{24} - \frac{3}{24} =$ $\frac{5}{24}$ .

Răspuns: $S = \frac{5}{24}$

EXERCIȚIUL 4Douăzeci de termenimediu

Calculează $S =$ $\frac{1}{1 \cdot 2} +$ $\frac{1}{2 \cdot 3} +$ $\dots +$ $\frac{1}{20 \cdot 21}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompun fiecare termen pentru $k$ de la $1$ la $20$ : $\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Toate fracțiile din mijloc se anulează, rămâne doar $S =$ $\frac{1}{1} - \frac{1}{21}$ .
Calculez: $S =$ $\frac{21}{21} - \frac{1}{21} =$ $\frac{20}{21}$ .

Răspuns: $S = \frac{20}{21}$

EXERCIȚIUL 5Interval scurt, capete marimediu

Calculează $S =$ $\frac{1}{10 \cdot 11} +$ $\frac{1}{11 \cdot 12} +$ $\dots +$ $\frac{1}{15 \cdot 16}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompun fiecare termen pentru $k$ de la $10$ la $15$ : $\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Termenii din mijloc se anulează, rămâne $S =$ $\frac{1}{10} - \frac{1}{16}$ .
Aduc la același numitor comun $80$ : $S =$ $\frac{8}{80} - \frac{5}{80} =$ $\frac{3}{80}$ .

Răspuns: $S = \frac{3}{80}$

EXERCIȚIUL 6Sumă cu coeficientgreu

Calculează $S =$ $\frac{2}{1 \cdot 2} +$ $\frac{2}{2 \cdot 3} +$ $\dots +$ $\frac{2}{9 \cdot 10}$ .

Rezolvare pas cu pas

Scot coeficientul $2$ în afara descompunerii: $\frac{2}{k (k + 1)} =$ $2 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$ .
Suma din paranteză telescopează normal, pentru $k$ de la $1$ la $9$ : rămâne $\frac{1}{1} - \frac{1}{10} =$ $\frac{9}{10}$ .
Înmulțesc cu coeficientul: $S =$ $2 \cdot \frac{9}{10} =$ $\frac{9}{5}$ .

Răspuns: $S = \frac{9}{5}$

EXERCIȚIUL 7Află câți termeni are sumagreu

Știind că $\frac{1}{1 \cdot 2} +$ $\frac{1}{2 \cdot 3} +$ $\dots +$ $\frac{1}{n \cdot (n + 1)} =$ $\frac{24}{25}$ , află numărul natural $n$ .

Rezolvare pas cu pas

Suma telescopează la $1 - \frac{1}{n + 1}$ , deci ecuația devine $1 - \frac{1}{n + 1} =$ $\frac{24}{25}$ .
Rearanjez: $\frac{1}{n + 1} =$ $1 - \frac{24}{25} =$ $\frac{1}{25}$ .
Din $\frac{1}{n + 1} =$ $\frac{1}{25}$ rezultă $n + 1 = 25$ , deci $n = 24$ .

Răspuns: $n = 24$

EXERCIȚIUL 8Provocare: o mie de termenigreu

Calculează $S =$ $\frac{1}{1 \cdot 2} +$ $\frac{1}{2 \cdot 3} +$ $\dots +$ $\frac{1}{999 \cdot 1000}$ , fără să aduni fracțiile una câte una.

Rezolvare pas cu pas

Suma are $999$ de termeni, prea mulți ca să-i aduni pe rând, dar descompunerea funcționează la fel.
Toți termenii din mijloc se anulează, rămâne doar $S =$ $\frac{1}{1} - \frac{1}{1000}$ .
Calculez: $S =$ $\frac{1000}{1000} - \frac{1}{1000} =$ $\frac{999}{1000}$ .

Răspuns: $S =$ $\frac{999}{1000}$

Cum recunoști o sumă telescopică

Suma are termeni de forma $\frac{1}{k (k + 1)}$ , adică fracții cu numărătorul $1$ și numitorul produsul a două numere consecutive.
Enunțul are „ $\dots$ ” între termeni, semn că suma continuă după un tipar clar, până la un anumit termen.
Ți se cere să calculezi o sumă cu foarte mulți termeni, unde adunarea directă, fracție cu fracție, ar dura mult prea mult.

Greșeli frecvente la sumele telescopice

Scrii descompunerea invers. Descompunerea corectă e $\frac{1}{k (k + 1)} =$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ , nu invers. Dacă scrii $\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k}$ , la verificare prin aducere la numitor comun obții o fracție negativă, ceea ce nu are sens pentru o sumă de fracții pozitive.
Anulezi și primul termen, sau și ultimul. După ce desfășori suma, termenii din mijloc se anulează perechi-perechi, dar primul termen al primei paranteze și ultimul termen al ultimei paranteze rămân singuri, fără pereche. Nu le șterge din greșeală.
Uiți coeficientul din fața fracției. Dacă termenul e $\frac{2}{k (k + 1)}$ , scoți mai întâi coeficientul $2$ , descompui doar $\frac{1}{k (k + 1)}$ , apoi înmulțești rezultatul final cu $2$ . Dacă uiți coeficientul, rezultatul iese de două ori mai mic decât trebuie.

Exersează : sumele telescopice

Fișă de lucru: Sume telescopice, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare, clasa a V-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Fracții ordinare, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre sumele telescopice

De ce se numește „telescopică” o astfel de sumă?

Pentru că, la fel ca un tub telescopic care se strânge, majoritatea termenilor „dispar” prin anulare, iar din toată suma rămân vizibile doar capetele, adică primul și ultimul termen desfășurat.

Merge metoda și dacă suma nu începe de la primul termen posibil?

Da. Indiferent de unde pornește suma, atâta timp cât termenii sunt de forma $\frac{1}{k (k + 1)}$ și se succed fără să sară vreun $k$ , descompunerea și anularea funcționează la fel.

Cum verific dacă am descompus corect un termen?

Aduci cele două fracții din descompunere la același numitor și verifici că obții înapoi fracția inițială. Dacă nu se potrivește, ai inversat ordinea sau ai greșit un numitor.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 13. Sume telescopice.

Exersează cu fișa de lucru: Sume telescopice — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele sume se numește sumă telescopică?
2. Fie suma $S = (2 - 1) + (3 - 2) + (4 - 3) + (5 - 4)$ . Cât este valoarea lui $S$ ?
3. Care este valoarea sumei telescopice $S = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3})$ ?
4. Suma $S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}$ se calculează folosind descompunerea $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ . Cât este $S$ ?
5. Care este valoarea sumei $S = (1^{2} - 0^{2}) + (2^{2} - 1^{2}) + (3^{2} - 2^{2}) + (4^{2} - 3^{2})$ ?