TEOREMA PARALELELOR ECHIDISTANTE și segmente proporționale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 3 octombrie 2026

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă. Asta spune teorema paralelelor echidistante, prima unealtă din capitolul despre asemănare. Mai jos găsești raportul a două segmente, segmentele proporționale, teorema, împărțirea unui segment în părți egale și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Segmente proporționale și paralele echidistante

Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, măsurate cu aceeași unitate. Dacă $A B = 6$ cm și $C D = 9$ cm, atunci $\frac{A B}{C D} =$ $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3}$ . Raportul nu are unitate de măsură, dar ambele lungimi trebuie să fie în aceeași unitate înainte să împarți.

Paralelele echidistante

d_{1}

d_{2}

d_{3}

taie pe secanta din stânga segmentele congruente

A B

și

B C

, iar pe secanta din dreapta segmentele congruente

D E

și

E F

Segmentele $A B$ și $C D$ sunt proporționale cu segmentele $M N$ și $P Q$ dacă rapoartele lor sunt egale:

$\frac{A B}{M N} =$ $\frac{C D}{P Q}$

Egalitatea este o proporție obișnuită, deci poți folosi tot ce știi din clasa a VI-a: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, iar un termen necunoscut se află din celelalte trei.

Mai multe drepte paralele sunt echidistante dacă distanța dintre oricare două drepte vecine este aceeași. O dreaptă care le taie pe toate se numește secantă (sau transversală). Paralele echidistante taie pe o secantă segmente congruente și, invers, dacă paralelele taie pe o secantă segmente congruente, atunci ele sunt echidistante.

Teorema paralelelor echidistante. Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă. În figură, $d_{1} ∥ d_{2} ∥ d_{3}$ și $A B = B C$ , deci și $D E = E F$ .

$A B =$ $B C \Rightarrow$ $D E =$ $E F$

Atenție: segmentele de pe a doua secantă sunt congruente între ele, dar nu sunt egale cu cele de pe prima secantă. Lungimea lor depinde de cât de înclinată este secanta. Cu cât secanta este mai aplecată, cu atât segmentele sunt mai lungi.

Cea mai folosită aplicație a teoremei este împărțirea unui segment în părți congruente doar cu rigla și echerul: pe o semidreaptă auxiliară măsori segmente egale, unești ultimul punct cu capătul segmentului și duci paralele. Exercițiile 5 și 8 arată pas cu pas cum se face.

Exerciții rezolvate : teorema paralelelor echidistante

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Raportul a două segmenteușor

Calculează raportul segmentelor $A B = 12$ cm și $C D = 18$ cm. Apoi calculează raportul segmentelor $M N = 6$ cm și $P Q = 1,5$ dm.

Rezolvare pas cu pas

Ambele lungimi sunt în centimetri, deci împarți direct: $\frac{A B}{C D} =$ $\frac{12}{18}$ .
Simplifici cu $6$ : $\frac{12}{18} =$ $\frac{2}{3}$ .
La a doua pereche, unitățile diferă. Transformi: $P Q = 1,5$ dm $= 15$ cm.
$\frac{M N}{P Q} =$ $\frac{6}{15} =$ $\frac{2}{5}$ . Raportul nu are unitate de măsură.

Răspuns: $\frac{A B}{C D} =$ $\frac{2}{3}$ și $\frac{M N}{P Q} =$ $\frac{2}{5}$

EXERCIȚIUL 2Sunt segmentele proporționale? Și un termen necunoscutușor

a) Verifică dacă segmentele $A B = 3$ cm și $B C = 5$ cm sunt proporționale cu segmentele $M N = 4,5$ cm și $N P = 7,5$ cm. b) Segmentele $E F = 6$ cm și $G H = 10$ cm sunt proporționale cu segmentele $I J = 9$ cm și $K L$ . Află lungimea lui $K L$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Calculezi cele două rapoarte: $\frac{A B}{M N} =$ $\frac{3}{4,5} =$ $\frac{30}{45} =$ $\frac{2}{3}$ și $\frac{B C}{N P} =$ $\frac{5}{7,5} =$ $\frac{50}{75} =$ $\frac{2}{3}$ .
Rapoartele sunt egale, deci segmentele sunt proporționale.
b) Scrii proporția: $\frac{E F}{I J} =$ $\frac{G H}{K L}$ , adică $\frac{6}{9} =$ $\frac{10}{K L}$ .
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $6 \cdot K L =$ $9 \cdot 10 =$ $90$ , deci $K L = 15$ cm.

Răspuns: a) da, ambele rapoarte sunt $\frac{2}{3}$ ; b) $K L = 15$ cm

EXERCIȚIUL 3Aplicarea directă a teoremei pe două secanteușor

Dreptele paralele $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ taie o secantă în punctele $A$ , $B$ , $C$ , cu $A B = B C = 4$ cm, și o altă secantă în punctele $D$ , $E$ , $F$ . Știind că $D F = 14$ cm, calculează $D E$ și $E F$ .

Rezolvare pas cu pas

Pe prima secantă, paralelele determină segmentele congruente $A B$ și $B C$ .
Din teorema paralelelor echidistante, ele determină segmente congruente și pe a doua secantă: $D E = E F$ .
$E$ se află între $D$ și $F$ , deci $D E + E F = D F = 14$ cm, adică $2 \cdot D E = 14$ cm.
$D E = E F = 7$ cm. Observă că nu sunt egale cu $4$ cm: a doua secantă este mai înclinată.

Răspuns: $D E = E F = 7$ cm

EXERCIȚIUL 4Cinci paralele și segmente proporționalemediu

Cinci drepte paralele taie o secantă în punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , cu $A B = B C = C D = D E$ și $A E = 20$ cm, și o altă secantă în punctele $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , $R$ , în această ordine. Știind că $M N = 3$ cm, calculează $A B$ și $M R$ , apoi arată că segmentele $A B$ , $A C$ , $A D$ sunt proporționale cu segmentele $M N$ , $M P$ , $M Q$ .

Rezolvare pas cu pas

Segmentul $A E$ este format din patru segmente congruente: $A B =$ $\frac{20}{4} =$ $5$ cm.
Paralelele taie segmente congruente pe prima secantă, deci și pe a doua: $M N =$ $N P =$ $P Q =$ $Q R =$ $3$ cm și $M R = 4 \cdot 3 = 12$ cm.
Pe prima secantă: $A C = 10$ cm, $A D = 15$ cm. Pe a doua: $M P = 6$ cm, $M Q = 9$ cm.
Rapoartele: $\frac{A B}{M N} =$ $\frac{5}{3}$ , $\frac{A C}{M P} =$ $\frac{10}{6} =$ $\frac{5}{3}$ , $\frac{A D}{M Q} =$ $\frac{15}{9} =$ $\frac{5}{3}$ .
Toate rapoartele sunt egale cu $\frac{5}{3}$ , deci segmentele sunt proporționale.

Răspuns: $A B = 5$ cm, $M R = 12$ cm; toate rapoartele sunt $\frac{5}{3}$

EXERCIȚIUL 5Împărțirea unui segment în trei părți congruentemediu

Segmentul $A B$ are $12$ cm. Pe o semidreaptă $A X$ se iau punctele $C$ , $D$ , $E$ astfel încât $A C = C D = D E$ . Se unește $E$ cu $B$ , iar paralelele prin $C$ și $D$ la $E B$ taie segmentul $A B$ în $M$ și $N$ . Arată că $A M = M N = N B$ și calculează aceste lungimi.

Paralelele prin

C

și

D

sunt punctate pentru că sunt linii ajutătoare ale construcției. Faptul că

A M = M N = N B

se demonstrează, nu se măsoară pe desen.

Rezolvare pas cu pas

Ducem în gând și paralela prin $A$ la $E B$ . Acum avem patru drepte paralele: prin $A$ , prin $C$ (dreapta $C M$ ), prin $D$ (dreapta $D N$ ) și dreapta $E B$ .
Pe secanta $A X$ , ele determină segmentele congruente $A C$ , $C D$ , $D E$ .
Din teorema paralelelor echidistante, pe secanta $A B$ determină tot segmente congruente: $A M = M N = N B$ .
Cele trei segmente formează împreună $A B$ , deci fiecare are $\frac{12}{3} = 4$ cm.
Construcția merge la fel pentru orice număr de părți: pentru cinci părți măsori cinci segmente egale pe $A X$ .

Răspuns: $A M = M N = N B = 4$ cm

EXERCIȚIUL 6Paralela prin mijlocul laturii neparalele a trapezuluimediu

Trapezul $A B C D$ are bazele $A B = 16$ cm și $C D = 10$ cm. Prin mijlocul $M$ al laturii $A D$ se duce paralela la baze, care taie latura $B C$ în $N$ . Arată că $N$ este mijlocul lui $B C$ și calculează lungimea lui $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

Dreptele $A B$ , $M N$ și $D C$ sunt paralele. Pe secanta $A D$ ele determină segmentele $A M$ și $M D$ , congruente, pentru că $M$ este mijlocul lui $A D$ .
Din teorema paralelelor echidistante, pe secanta $B C$ determină tot segmente congruente: $B N = N C$ . Deci $N$ este mijlocul lui $B C$ .
Segmentul $M N$ unește mijloacele laturilor neparalele, deci este linia mijlocie a trapezului.
Linia mijlocie în trapez este semisuma bazelor: $M N =$ $\frac{16 + 10}{2} =$ $\frac{26}{2} =$ $13$ cm.

Răspuns: $N$ este mijlocul lui $B C$ ; $M N = 13$ cm

EXERCIȚIUL 7Latura unui triunghi împărțită în treigreu

În triunghiul $A B C$ , $A C = 15$ cm și $B C = 12$ cm. Punctele $M$ și $N$ împart latura $A B$ în trei segmente congruente, $A M = M N = N B$ . Paralelele prin $M$ și $N$ la $B C$ taie latura $A C$ în $P$ , respectiv $Q$ . Calculează $A P$ , $P Q$ , $Q C$ , $M P$ și $N Q$ .

Pe figură nu sunt marcate segmentele de pe

A C

: faptul că sunt congruente este concluzia exercițiului.

Rezolvare pas cu pas

Ducem paralela prin $A$ la $B C$ . Dreptele paralele prin $A$ , $M$ , $N$ și $B$ determină pe $A B$ trei segmente congruente, deci și pe $A C$ : $A P =$ $P Q =$ $Q C =$ $\frac{15}{3} =$ $5$ cm.
În triunghiul $A N Q$ , $M$ este mijlocul lui $A N$ și $P$ este mijlocul lui $A Q$ , deci $M P$ este linie mijlocie: $N Q = 2 \cdot M P$ .
În trapezul $M B C P$ (cu $M P ∥ B C$ ), $N$ este mijlocul lui $M B$ și $Q$ este mijlocul lui $P C$ , deci $N Q$ este linia mijlocie a trapezului: $N Q =$ $\frac{M P + 12}{2}$ .
Notezi $M P = x$ . Atunci $2 x =$ $\frac{x + 12}{2}$ , adică $4 x = x + 12$ , deci $3 x = 12$ și $x = 4$ .
$M P = 4$ cm și $N Q = 2 \cdot 4 = 8$ cm. Verificare: $\frac{4 + 12}{2} =$ $8$ .

Răspuns: $A P = P Q = Q C = 5$ cm, $M P = 4$ cm, $N Q = 8$ cm

EXERCIȚIUL 8Împărțirea unui segment într-un raport datgreu

Segmentul $A B$ are $20$ cm. Pe semidreapta $A X$ se iau punctele $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , $A_{5}$ , în această ordine, astfel încât $A A_{1} =$ $A_{1} A_{2} =$ $A_{2} A_{3} =$ $A_{3} A_{4} =$ $A_{4} A_{5}$ . Paralela prin $A_{2}$ la $A_{5} B$ taie $A B$ în punctul $M$ . Arată că $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{2}{3}$ și calculează $A M$ și $M B$ .

Paralelele punctate nu fac parte din construcție; sunt desenate ca să vezi cele cinci părți congruente ale lui

A B

Rezolvare pas cu pas

Prin $A$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ ducem paralele la $A_{5} B$ . Pe secanta $A X$ , aceste șase paralele determină cinci segmente congruente.
Din teorema paralelelor echidistante, ele împart și segmentul $A B$ în cinci segmente congruente, fiecare de $\frac{20}{5} = 4$ cm.
Punctul $M$ se află pe paralela prin $A_{2}$ , deci $A M$ cuprinde două dintre aceste părți: $A M = 2 \cdot 4 = 8$ cm.
$M B$ cuprinde celelalte trei părți: $M B = 3 \cdot 4 = 12$ cm.
$\frac{A M}{M B} =$ $\frac{8}{12} =$ $\frac{2}{3}$ . Așa împarți orice segment într-un raport dat: pentru $2 : 3$ iei $2 + 3 = 5$ părți egale.

Răspuns: $A M = 8$ cm, $M B = 12$ cm, $\frac{A M}{M B} =$ $\frac{2}{3}$

Cum recunoști un exercițiu cu paralele echidistante

Enunțul are mai multe drepte paralele tăiate de două secante, iar pe una dintre secante segmentele sunt egale (sau un punct este mijloc).
Ți se cere să împarți un segment în părți egale sau într-un raport dat, folosind o semidreaptă ajutătoare.
Într-un triunghi sau trapez, o latură este împărțită în părți egale și prin punctele de împărțire se duc paralele la o latură sau la baze.

Greșeli frecvente la teorema paralelelor echidistante

Crezi că segmentele de pe cele două secante sunt egale între ele. Teorema spune că segmentele sunt congruente pe fiecare secantă în parte. În exercițiul 3, pe o secantă ai $4$ cm, pe cealaltă $7$ cm. Lungimea depinde de înclinarea secantei.
Aplici teorema când dreptele nu sunt paralele. Fără paralelism, segmentele egale de pe o secantă nu spun nimic despre cealaltă secantă. Verifică întâi, din enunț, că dreptele sunt paralele.
Calculezi raportul fără să aduci lungimile la aceeași unitate. $\frac{6 cm}{1,5 dm}$ nu este $\frac{6}{1,5} = 4$ . Transformi întâi $1,5$ dm $= 15$ cm și obții $\frac{2}{5}$ .

Exersează : teorema paralelelor echidistante

Fișă de lucru: Segmente proporționale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Asemănarea triunghiurilor, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Teorema paralelelor echidistante, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema paralelelor echidistante

Ce înseamnă drepte paralele echidistante?

Sunt drepte paralele la care distanța dintre oricare două drepte vecine este aceeași. Pe orice secantă, ele taie segmente congruente.

Care este diferența dintre teorema paralelelor echidistante și teorema lui Thales?

Teorema paralelelor echidistante lucrează cu segmente congruente: dacă sunt egale pe o secantă, sunt egale pe oricare alta. Teorema lui Thales, din lecțiile următoare, merge mai departe: paralelele păstrează orice raport între segmente, nu doar raportul $1$ .

Cum împart un segment în 5 părți egale fără să-l măsor?

Duci din capătul $A$ o semidreaptă, măsori pe ea cinci segmente egale, unești ultimul punct cu $B$ și duci paralele la această dreaptă prin celelalte puncte. Paralelele împart $A B$ în cinci părți congruente.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Patru drepte paralele sunt tăiate de două secante. Dacă prima secantă determină segmentele de lungimi $3$ cm, $6$ cm și $9$ cm (între paralele consecutive), care sunt lungimile segmentelor determinate de a doua secantă, știind că primul segment al ei are lungimea $2$ cm?
2. Trei drepte paralele echidistante sunt tăiate de o secantă și determină segmentele $A B$ și $B C$ . Ce relație este adevărată conform teoremei paralelelor echidistante?
3. Dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{E F}{G H}$ , cum se numesc segmentele $A B, C D, E F, G H$ ?
4. Trei drepte paralele taie o secantă în segmentele $M N = 4$ cm și $N P = 4$ cm. O altă secantă este tăiată de aceleași paralele în segmentele $M N^{'}$ și $N^{'} P^{'}$ . Dacă $M N^{'} = 7$ cm, cât este $N^{'} P^{'}$ ?
5. Care dintre următoarele proporții exprimă corect că segmentele $a, b, c, d$ sunt proporționale (în această ordine)?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 3 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

DISTANȚA DINTRE DOUĂ PUNCTE în sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

TEOREMA LUI THALES și reciproca ei - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA BISECTOAREI în triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TRIUNGHIURI ASEMENEA - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună